零極點(diǎn)特性在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用

肖 涵，李苑青

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)〔深圳〕 實(shí)驗(yàn)與創(chuàng)新實(shí)踐教育中心，廣東 深圳 518055）

一、課程實(shí)驗(yàn)簡介

“數(shù)字信號處理”課程是通信工程、電子科學(xué)、信息工程等專業(yè)的核心課程，具有知識點(diǎn)多、理論性強(qiáng)、應(yīng)用性強(qiáng)特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在工程實(shí)踐及科學(xué)研究中。數(shù)字濾波器設(shè)計是“數(shù)字信號處理”課程的一個重要內(nèi)容，是圖像處理、模式識別等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，國內(nèi)外高校一般會在理論教學(xué)的同時，配置相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)字濾波器的理解與學(xué)以致用的能力。

數(shù)字濾波器的性能與濾波器的零極點(diǎn)分布密切相關(guān)，濾波器頻響特性曲線的形態(tài)是所有極點(diǎn)和零點(diǎn)共同作用的結(jié)果。系統(tǒng)的極點(diǎn)分布多用于判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)。系統(tǒng)的零點(diǎn)分布影響濾波器的相頻特性，例如，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)則為“最小相位系統(tǒng)”。在實(shí)際應(yīng)用中，零極點(diǎn)分布圖除可以用于判斷系統(tǒng)因果性與穩(wěn)定性外，與系統(tǒng)的其他性能（濾波器類型、通頻帶位置等）之間同樣聯(lián)系緊密。對于零極點(diǎn)的計算，若系統(tǒng)函數(shù)的分母、分子多項式階數(shù)較高，手工計算極點(diǎn)與零點(diǎn)比較麻煩，可采用MATLAB中的求根函數(shù)roots來計算。在“數(shù)字信號處理”的實(shí)驗(yàn)部分，對于已知系統(tǒng)函數(shù)的數(shù)字濾波器，分析零極點(diǎn)分布主要用到MATLAB中的zplane函數(shù)。我校針對信號處理類實(shí)驗(yàn)，配備了虛擬儀器平臺，通過在平臺上直接輸入數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母的系數(shù)，可以直接得到零極點(diǎn)分布圖。本文圍繞零極點(diǎn)分布與濾波器類型、通頻帶特性，結(jié)合虛擬儀器平臺與軟件仿真，探討零極點(diǎn)特性在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。

二、極點(diǎn)與零點(diǎn)在濾波器實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用

根據(jù)濾波器結(jié)構(gòu)是否存在反饋，數(shù)字濾波器可以分為FIR濾波器和IIR濾波器。FIR濾波器為非遞歸型濾波器，具有嚴(yán)格的線性相頻特性且由于其單位脈沖響應(yīng)為有限長度的，F(xiàn)IR濾波器為穩(wěn)定的系統(tǒng)。IIR濾波器結(jié)構(gòu)中存在反饋回路，其對于輸入信號的響應(yīng)是無限延續(xù)的，IIR濾波器可能是不穩(wěn)定的。

（一）濾波器零點(diǎn)分布與阻帶中心頻率

N階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

FIR濾波器的極點(diǎn)在圓心處，在MATLAB仿真中利用zplane（B,1）來繪制FIR濾波器的零點(diǎn)分布，其中B為表示b的數(shù)值序列。圖1為軟件計算及虛擬儀器平臺得到的3階FIR濾波器零點(diǎn)分布，右圖中顯示了零點(diǎn)的極坐標(biāo)及零點(diǎn)-圓心連線長度、與實(shí)軸正向夾角。

為了得到FIR濾波器的頻率響應(yīng)特性，一種方式是在MATLAB中直接計算，另一種方式是在虛擬儀器平臺上搭建濾波器，將離散時間信號輸入至濾波器來得到濾波器的頻率特性。圖2是學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器，通過掃頻法或逐點(diǎn)法得到濾波器的幅頻響應(yīng)。函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生模擬信號輸入至采樣保持器，采樣時鐘由數(shù)字輸出模塊提供，在一個采樣脈沖時刻對模擬信號采樣，信號幅度在下一個采樣脈沖前處于穩(wěn)定狀態(tài)，采樣保持器輸出的離散時間信號進(jìn)入濾波器。通過掃頻或逐點(diǎn)測量，可以得到圖1系數(shù)下濾波器的阻帶中心頻率。

圖1 軟件（左）與虛擬儀器平臺（右）計算零點(diǎn)分布（b0=1，b1=-1.3，b2=0.902）

圖2 虛擬儀器平臺搭建的3階FIR濾波器

（二）濾波器零點(diǎn)分布與濾波器類型

N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其中在c和d分別為濾波器的零點(diǎn)與極點(diǎn)。采用幾何方法研究IIR濾波器零點(diǎn)與極點(diǎn)分布對頻率特性的影響，系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)處出現(xiàn)峰值、且極點(diǎn)越靠近單位圓，幅度特性的峰值越高越尖銳；系統(tǒng)函數(shù)在零點(diǎn)處出現(xiàn)谷值，且零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零。因此，可以根據(jù)z平面上零點(diǎn)與極點(diǎn)的位置，對給定頻率范圍內(nèi)濾波器的類型進(jìn)行快速判斷。

在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的預(yù)習(xí)部分，學(xué)生通過IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子多項式系數(shù)初步判斷濾波器的類型，圖3是實(shí)驗(yàn)中虛擬儀器平臺計算的三種3階濾波器的零極點(diǎn)分布圖（綠色x為極點(diǎn)，紅色○為零點(diǎn)）。三種濾波器的2階極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)，即濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定。其中（1）所示對應(yīng)的濾波器的2階零點(diǎn)位于z平面實(shí)軸-1位置處，由此判斷（0，2）范圍內(nèi)濾波器類型為低通；（2）中濾波器的2階零點(diǎn)位于z平面實(shí)軸1位置處，因此可以判斷（0，2）范圍內(nèi)濾波器類型為高通；（3）中濾波器有兩個1階零點(diǎn)，分別位于z平面實(shí)軸-1位置與1位置處，由此判斷濾波器在（0，2）范圍內(nèi)為高通濾波器。此外，若給出對模擬信號采樣的頻率，可估計濾波器的幅頻響應(yīng)。

圖3 三種濾波器z平面的零極點(diǎn)圖

（三）濾波器極點(diǎn)位置與峰值頻率

圖4 虛擬儀器平臺搭建的3階IIR濾波器

三、采樣頻率與濾波器的特性

在實(shí)踐應(yīng)用中，對模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理的過程可能會涉及采樣頻率的改變，采樣頻率改變后濾波器的通阻帶位置將發(fā)生偏移。為了在改變采樣頻率后保持?jǐn)?shù)字濾波器的通頻帶位置不變，一種方式是重新設(shè)計濾波器，而另一種方式則是通過改變極點(diǎn)位置得到新的濾波器參數(shù)。數(shù)字濾波器的中心頻率和阻帶截止頻率可通過軟件仿真計算準(zhǔn)確得到，而基于虛擬儀器平臺搭建數(shù)字濾波器則有助于學(xué)生理解濾波器設(shè)計與實(shí)現(xiàn)過程中的實(shí)際問題。虛擬儀器平臺搭建的數(shù)字濾波器，模擬信號經(jīng)過采樣保持器離散化后輸入濾波器。若加倍采樣頻率，濾波器的中心頻率將改變，理論上將極點(diǎn)相位調(diào)整為原相位的一半，可保持濾波器的中心頻率不變。在實(shí)驗(yàn)過程中，利用虛擬儀器平臺可求出零極點(diǎn)位置，但濾波器的中心頻率可能需要微調(diào)才能達(dá)到設(shè)計參數(shù)指標(biāo)。

需引起學(xué)生注意的是，如果只改變極點(diǎn)位置而系統(tǒng)函數(shù)分子多項式系數(shù)不變，由于采樣信號的頻譜與采樣頻率成正比關(guān)系，采樣頻率提高后濾波器幅頻響應(yīng)的峰值幅度將增大，考慮到虛擬儀器平臺硬件條件的限制，在實(shí)驗(yàn)中信號可能由于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)飽和而造成濾波器輸出信號信噪比降低，因此，在采樣頻率發(fā)生變化后除需關(guān)注輸出端的幅頻響應(yīng)，還需關(guān)注濾波器的中間節(jié)點(diǎn)。綜上，在設(shè)計數(shù)字濾波器時極點(diǎn)與單位圓的距離要適當(dāng)，如果距離單位圓過近，濾波器系統(tǒng)具有非常高的增益，容易導(dǎo)致濾波器節(jié)點(diǎn)的信號發(fā)生飽和；而零點(diǎn)位于單位圓上，可使濾波器的幅頻響應(yīng)在阻帶具有最大的衰減。

結(jié)語

本文從零極點(diǎn)特性出發(fā)，在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中利用虛擬儀器平臺及仿真軟件繪制了零極點(diǎn)在z平面上的分布，分析了零極點(diǎn)分布對濾波器類型、通頻帶特性的影響，并探索了模擬信號離散化過程中采樣頻率對濾波器通頻帶位置及增益的影響。教學(xué)實(shí)踐表明，通過本文所述實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有助于學(xué)生對零極點(diǎn)特性與數(shù)字濾波器的設(shè)計形成直觀的認(rèn)識，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生對知識點(diǎn)的理解與應(yīng)用。