基于總體最小二乘的灰色模型在基坑沉降預(yù)測中的應(yīng)用

雷前坤

(遵義黔通達檢測試驗有限責(zé)任公司, 貴州遵義 563000)

目前，變形預(yù)測中常采用的方法有回歸分析法、時間序列法、灰色模型等[1]。其中，灰色模型對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的優(yōu)越性，在變形預(yù)測領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-7]。傳統(tǒng)灰色模型對于原始數(shù)據(jù)序列之后的1～2期數(shù)據(jù)具有較高的預(yù)測精度，隨著預(yù)測期數(shù)的增加其精度會越來越低。針對傳統(tǒng)灰色模型的不足，引入了動態(tài)灰色模型，一方面它繼承傳統(tǒng)灰色模型的優(yōu)點，另一方面又及時去掉數(shù)據(jù)序列中失去預(yù)測意義的老數(shù)據(jù)的同時又加入最新的數(shù)據(jù)，不斷更新，從而提高了模型預(yù)測的精度。動態(tài)灰色模型根據(jù)加入的信息不同分為2種：①若加入的是預(yù)測值，則稱為灰色遞補動態(tài)預(yù)測模型；②若加入的信息為實測值，則稱為新陳代謝灰色預(yù)測模型[6-7]。無論是傳統(tǒng)灰色模型還是動態(tài)灰色模型，傳統(tǒng)的方法都是采用經(jīng)典最小二乘對模型進行解算。由于灰色模型中的系數(shù)矩陣部分元素是由觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成的，因此系數(shù)矩陣中也必然含有誤差，因而采用經(jīng)典最小二乘進行解算，由于無法顧及系數(shù)矩陣中的誤差，得到的結(jié)果不是最優(yōu)的?？傮w最小二乘在解算模型參數(shù)時，能顧及到系數(shù)矩陣中的誤差[8-9]。基于此，文中利用總體最小二乘來求解灰色模型中的灰參數(shù)。文中以一基坑沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，分別采用經(jīng)典最小二乘和總體最小二乘對幾種灰色模型的參數(shù)進行求解，并進行沉降建模預(yù)測分析，得出有益結(jié)論。

1 模型建立

1.1 傳統(tǒng)灰色模型

傳統(tǒng)灰色模型建模過程[6-7]，設(shè)非負離散等間隔數(shù)列為：

(1)

對其進行一次累加得到：

(2)

對X(1)建立一階白化微分方程：

(3)

系數(shù)矩陣及觀測向量如下。

(4)

(5)

采用最小二乘法，解算得到參數(shù):

(6)

將參數(shù)帶回白化微分方程可得:

(7)

對上式進行累減計算可以得到:

x(0)(n+1)=x(1)(n+1)-x(1)(n)

(8)

從而可以得到模擬值或預(yù)測值:

(9)

1.2 動態(tài)灰色模型

1.3 基于總體最小二乘的灰色模型

從灰色模型的系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)可以看出，其第一列是由觀測數(shù)據(jù)累加得到的，由于觀測量不可避免的含有誤差，故系數(shù)矩陣中必然含有誤差。因此，如果忽略系數(shù)矩陣中的誤差，得到的結(jié)果是不合理的，且理論上也不完善。根據(jù)文獻[9]，設(shè)α為待估參數(shù)，Yn為觀測向量，C為系數(shù)矩陣，EC為系數(shù)矩陣C中的誤差矩陣，eY是觀測向量中的誤差向量，則有：

Y+eY=(C+EC)α

(10)

將增廣矩陣進行奇異值分解：

(11)

式中：

總體最小二乘解可由增廣矩陣右奇異向量的最后一列求得，即參數(shù)α的估值為

(12)

2 算例分析

取文獻[10]中的算例數(shù)據(jù)。表1為一基坑6號點2015年10月24日至2015年11月15日的12期沉降監(jiān)測值，利用前7期的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)建立模型，后5期的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)作為預(yù)測的參考值。表2統(tǒng)計了采用的方案，表3為實測值與各種方案所得到的預(yù)測值，表4為相對誤差及均方根誤差(RMSE)統(tǒng)計結(jié)果。為了更直觀的比較各種方案的預(yù)測結(jié)果，將實測值與各種方案所得預(yù)測值繪制成圖1和圖2。

表1 沉降實測值 單位：mm

表2 采用方案

表3 實測值與各方案預(yù)測值 單位：mm

表4 相對誤差

圖1 實測值與經(jīng)典最小二乘解算預(yù)測值

圖2 實測值與總體最小二乘解算預(yù)測值

分析表3、表4、圖1和圖2，可得出結(jié)論：

(1)表3中，從基于經(jīng)典最小二乘的預(yù)測結(jié)果來看，新陳代謝灰色預(yù)測模型預(yù)測得到的結(jié)果更接近實測值，灰色遞補動態(tài)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果次之，傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)測結(jié)果最差。采用總體最小二乘解算后進行建模預(yù)測，各種模型預(yù)測得到的預(yù)測結(jié)果相對于經(jīng)典最小二乘都有所提高，其中又以基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預(yù)測模型預(yù)測得到的結(jié)果為最優(yōu)。以上表明，采用總體最小二乘來求解灰色模型中的灰參數(shù)，可以提高模型的預(yù)測精度。

(2)表4中，從平均相對誤差和均方根誤差來看，平均相對誤差和均方根誤差最大的為傳統(tǒng)灰色模型，其平均相對誤差為9.76%，均方根誤差為3.84 mm，最小的為基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預(yù)測模型，其平均相對誤差和均方根誤差分別為4.78%和1.08 mm，結(jié)果明顯小于傳統(tǒng)灰色模型，其余預(yù)測模型的平均相對誤差和均方根誤差按方案表順序依次遞減。以上表明，基于總體最小二乘的新陳代謝預(yù)測模型的預(yù)測精度要高于其他5種模型。

(3)從圖1和圖2中實測值與各種模型的預(yù)測值曲線來看，基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預(yù)測模型的預(yù)測值曲線走向與實測值更加接近，但11月15日第5期的預(yù)測值曲線走向卻發(fā)生了較大變化。這表明，雖然采用總體最小二乘來求解新陳代謝灰色預(yù)測模型中的灰參數(shù)能在一定程度上提高模型的預(yù)測精度，但預(yù)測期數(shù)不宜過長，從本算例來看，控制在4期以內(nèi)的預(yù)測結(jié)果較為理想。這也表明，在實際沉降預(yù)測工作中，應(yīng)根據(jù)預(yù)測值與實測值的具體情況，采用新的數(shù)據(jù)序列重新建立新的預(yù)測模型進行預(yù)測，以提高預(yù)測結(jié)果的精度。

3 結(jié) 論

基于經(jīng)典最小二乘解的灰色模型由于無法顧及系數(shù)矩陣中的誤差，致使建立的預(yù)測模型精度不高，本文利用總體最小二乘來解算灰色模型中的灰參數(shù)，提高了模型的預(yù)測精度。綜合本文研究結(jié)果，得出幾點結(jié)論和建議:

(1)從模型預(yù)測結(jié)果來看，新陳代謝灰色預(yù)測模型更適合用來進行基坑沉降預(yù)測。

(2)從模型解算方法來看，宜采用總體最小二乘來解算灰色模型中的灰參數(shù)。

(3)文中只采用了灰色模型進行建模預(yù)測分析，而除了灰色模型外，還有時間序列模型、回歸分析法等可以用來進行建模預(yù)測，后續(xù)的工作可以將其他模型與基于總體最小二乘的新陳代謝灰色預(yù)測模型進行對比研究，得出更適合基坑沉降的預(yù)測模型。

(4)充分挖掘各種預(yù)測模型的優(yōu)勢，在不同的預(yù)測階段采用優(yōu)勢模型來預(yù)測，以使預(yù)測結(jié)果更加可靠。

(5)后續(xù)研究可從數(shù)據(jù)處理方法和新模型的構(gòu)建著手，如對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理后再建模、挖掘新的模型解算方法、挖掘建立新的更加符合實際的預(yù)測模型。