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    兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)晶格材料的等效彈性參數(shù)研究

    2022-09-23 07:03:46吳桂英王志華
    關(guān)鍵詞:楊氏模量晶格結(jié)點(diǎn)

    郭 璐,吳桂英,王志華

    (太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,應(yīng)用力學(xué)研究所,太原 030024)

    晶格材料由于具有優(yōu)異的比剛度、比強(qiáng)度且可表現(xiàn)出較好的韌性,近來(lái)得到了廣泛關(guān)注[1],其可集成晶格結(jié)構(gòu)和復(fù)合材料的優(yōu)勢(shì),實(shí)現(xiàn)在材料和結(jié)構(gòu)兩個(gè)層次上的優(yōu)化,在航天航空、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都存在廣闊的應(yīng)用前景。與傳統(tǒng)輕質(zhì)材料相比,晶格材料由精細(xì)且規(guī)則的單元晶格結(jié)構(gòu)周期性排列而成,其力學(xué)性能高度依賴于單元晶格的特性。目前光刻及增材制造技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶格結(jié)構(gòu)的小尺度幾何控制[2-3],從而制造出具有各種不同優(yōu)異力學(xué)性能的晶格材料。這些晶格材料大致可分為桁架晶格、殼晶格及板晶格,其中桁架晶格主要由結(jié)點(diǎn)連接的桿構(gòu)成[4],殼晶格由彎曲薄壁殼構(gòu)成[5],而板晶格則由封閉薄板構(gòu)成[6]。

    早期關(guān)于桁架晶格的研究主要集中于力學(xué)性能與相對(duì)密度之間的關(guān)系[7]。對(duì)常見(jiàn)的晶格材料主要分為[8]:拉伸主導(dǎo)型晶格(細(xì)觀桿或晶格壁通過(guò)軸力作用來(lái)抵抗外載荷且其他內(nèi)力可忽略不計(jì)),其力學(xué)性能與相對(duì)密度間呈線性關(guān)系;彎曲主導(dǎo)型晶格材料(桿或晶格壁主要承受彎矩作用),其等效楊氏模量及單軸壓縮強(qiáng)度滿足非線性冪率關(guān)系[9]。在以往的研究中,對(duì)彎曲型主導(dǎo)晶格理論分析常用的是經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁模型,該模型假定桿件具有較大的長(zhǎng)徑比,僅考慮彎曲變形的影響。但當(dāng)晶格長(zhǎng)徑比相對(duì)較小時(shí),必須同時(shí)考慮純彎曲和剪切變形[10]的聯(lián)合作用。對(duì)于拉伸主導(dǎo)型晶格的研究,通常采用Truss模型[11]對(duì)其進(jìn)行理論分析,不考慮晶格細(xì)觀桿件彎矩等其他內(nèi)力的影響。

    本文采用Timoshenko梁模型分別建立了BCC及新型FCC晶格材料等效楊氏模量的理論模型,分析了晶格結(jié)點(diǎn)、剪力等因素對(duì)其等效楊氏模量的影響。此外,建立了兩種晶格材料等效剪切模量及泊松比的理論模型,討論了晶格結(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)果的影響。利用ABAQUS對(duì)BCC及FCC晶格材料的彈性力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬研究,并與現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)研究[4]及相應(yīng)理論模型進(jìn)行了對(duì)比。

    1 仿金屬晶體晶格材料模型的建立

    1.1 晶格材料模型

    兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)的單元晶格如圖1所示?;诮饘傥⒂^較常見(jiàn)的面心立方(FCC)晶體結(jié)構(gòu),構(gòu)造了一種新穎的FCC晶格單元,如圖1(b)所示,考慮到設(shè)置z方向桿件的晶格材料在外載作用下極易因豎直桿件的屈曲而導(dǎo)致材料整體破壞,本文FCC單元晶格中未添加豎直支撐桿件。此外,在圖1(b)所示FCC晶格框內(nèi)添加八面體晶格單元,可得常見(jiàn)的具有較高比剛度的Octet[11]單元晶格。故具有相同單元晶格體積及桿件尺寸的FCC比Octet晶格有更小的相對(duì)密度,更加符合“輕質(zhì)化(減輕材料相對(duì)密度的同時(shí)提高等效剛度)”需求。目前已有大量研究者對(duì)BCC晶格材料(圖1(a))的彈塑性力學(xué)行為進(jìn)行了較全面的研究[12]。而有關(guān)圖1(b)所示FCC晶格材料的相關(guān)報(bào)道很少見(jiàn)。根據(jù)DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell's準(zhǔn)則,假設(shè)單元晶格各結(jié)點(diǎn)連接桿數(shù)為Z,則拉伸主導(dǎo)型晶格拓?fù)錁?gòu)型需滿足Z≥12,即BCC屬于彎曲主導(dǎo)型晶格,F(xiàn)CC屬于拉伸主導(dǎo)型晶格。

    圖1 兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)的單元晶格Fig.1 Unit cells of two lattice materials mimicking metal crystal structures

    1.2 晶格材料相對(duì)密度

    GüMRüK et al[12]假設(shè)晶格材料結(jié)點(diǎn)為球體(圖1(a)),確定BCC晶格材料的相對(duì)密度為:

    (1)

    (2)

    圖2 相對(duì)密度理論模型與CAD模型結(jié)果的比較Fig.2 Comparison of the predictions for relative density from theory and CAD models

    2 晶格材料的等效彈性參數(shù)理論

    2.1 晶格材料柔度矩陣

    如圖1所示BCC與FCC單元晶格的立方對(duì)稱性決定了其線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可由式(3)表述??赏ㄟ^(guò)確定各單元晶格的等效楊氏模量(E*)、泊松比(ν*)及等效剪切模量(G*)來(lái)確定晶格材料的柔度矩陣。

    (3)

    2.2 BCC晶格材料的等效彈性參數(shù)

    2.2.1BCC晶格材料的等效楊氏模量

    BCC單元晶格承受單軸壓縮載荷時(shí)其力學(xué)簡(jiǎn)圖如圖3所示?;赥imoshenko梁[12]理論,考慮桿件承受軸力、剪力及彎矩的聯(lián)合作用,確定N1=psinθ/4,F(xiàn)1=pcosθ/4,其中p=σzL2為簡(jiǎn)化的集中力載荷。根據(jù)對(duì)稱性①桿在z方向位移為:

    (4)

    圖3 單軸壓縮下BCC晶格材料力學(xué)簡(jiǎn)圖Fig.3 Mechanical diagram of BCC lattice materials under uniaxial compression

    其中,k1為基于晶格細(xì)觀桿橫截面形狀的剪切因子;I為桿截面慣性矩;Es,Gs分別為桿基體材料楊氏模量及剪切模量??傻肂CC晶格材料等效楊氏模量為:

    (5)

    2.2.2BCC晶格材料泊松比

    與式(4)類似的,可知單軸壓縮載荷作用下BCC單元晶格①桿沿x方向(圖3)位移為:

    (6)

    聯(lián)立式(4)可得材料泊松比為:

    (7)

    2.2.3BCC晶格材料等效剪切模量

    假設(shè)BCC晶格在x-y平面內(nèi)發(fā)生面內(nèi)剪切,如圖4所示。

    (8)

    圖4 平面剪切BCC晶格材料受力簡(jiǎn)圖Fig.4 Schematic diagram of BCC lattice materials under in-plane shear

    (9)

    整理得到BCC晶格結(jié)構(gòu)等效剪切模量為:

    (10)

    2.3 FCC晶格材料的等效彈性參數(shù)

    2.3.1FCC晶格材料泊松比

    據(jù)DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell's準(zhǔn)則,F(xiàn)CC單元晶格屬于拉伸主導(dǎo)型晶格。HE et al[13-14]通過(guò)假設(shè)拉伸主導(dǎo)型Octet單元晶格細(xì)觀桿件的自由體變形模式(圖5(b))對(duì)其等效彈性參數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)。類似地,假設(shè)FCC單元晶格單軸壓縮載荷下①桿變形模式如圖5(b)所示。

    圖5 單軸壓縮載荷下FCC 1/4單元晶格受力簡(jiǎn)圖Fig.5 Schematic diagram of FCC 1/4 unit lattice under uniaxial compression

    考慮FCC單元晶格對(duì)稱性,取其1/4單元晶格進(jìn)行分析(圖5(a)),①,②桿受力相等且有相同的變形模式。僅考慮桿件的面內(nèi)變形,根據(jù)圖5(b)幾何關(guān)系及Timoshenko梁模型有:

    (11)

    (12)

    (13)

    由式(11)可知,①、②桿剪力與軸力的比值正比于(d/L)2,忽略二階小量并考慮FCC單元晶格在J1結(jié)點(diǎn)處沿x軸受力平衡,整理式(11)、式(13)可得δz與δx之間關(guān)系,并確定FCC晶格材料泊松比為:

    (14)

    2.3.2FCC晶格等效楊氏模量

    考慮晶格J1節(jié)點(diǎn)處沿z軸方向受力平衡,即2N1sinα+2F1cosα=P/4,綜合上式并整理式(11)、(12)、(13)、(14)可得FCC晶格材料等效楊氏模量為:

    (15)

    2.3.3FCC晶格材料等效剪切模量

    FCC單元晶格在x-y平面受剪應(yīng)力作用如圖6所示。認(rèn)為周期性排列FCC晶格材料中J1節(jié)點(diǎn)剛度大于J2節(jié)點(diǎn)(圖6(b)),即J1節(jié)點(diǎn)處不易發(fā)生變形。為簡(jiǎn)化理論模型,僅考慮③桿承受軸力作用(圖6(b)):

    (16)

    (17)

    圖6 x-y平面剪切下FCC單元晶格受力Fig.6 Unit lattice of FCC subjected to shear loading in x-y plane

    3 仿金屬晶體晶格材料的等效彈性參數(shù)的數(shù)值模擬研究

    利用ABAQUS對(duì)上述兩種晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下的線彈性力學(xué)性能進(jìn)行數(shù)值模擬研究。ZHANG et al[15]通過(guò)數(shù)值研究表明對(duì)于d/L小于0.125的晶格材料,單元晶格細(xì)觀桿的梁?jiǎn)卧驅(qū)嶓w單元網(wǎng)格劃分對(duì)晶格材料線彈性力學(xué)性能的影響可忽略不計(jì)。但當(dāng)d/L大于0.125時(shí),實(shí)體單元網(wǎng)格劃分則明顯優(yōu)于梁?jiǎn)卧猍12]。使用C3D4實(shí)體單元對(duì)單元晶格細(xì)觀桿進(jìn)行網(wǎng)格劃分如圖7所示。對(duì)單元晶格施加周期性邊界約束[16],即在單元晶格相對(duì)面上建立約束方程且保證相對(duì)面上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),取單元晶格8個(gè)頂點(diǎn)為主節(jié)點(diǎn),定義主節(jié)點(diǎn)與各面內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移邊界條件,通過(guò)設(shè)置主節(jié)點(diǎn)自由度及位移加載來(lái)模擬不同應(yīng)力狀態(tài)下的晶格材料彈性力學(xué)行為[16]。

    研究文獻(xiàn)[12]表明對(duì)于晶格特征尺寸L取1.25~8 mm范圍內(nèi)的晶格材料,具有相同d/L參數(shù)的同種晶格材料具有大致相同的彈性力學(xué)性能。為節(jié)約計(jì)算資源,建立5 mm×5 mm×5 mm的BCC及FCC單元晶格,通過(guò)改變桿直徑尺寸確定晶格材料d/L參數(shù)。對(duì)不同d/L參數(shù)的晶格模型均進(jìn)行了網(wǎng)格敏感性分析,以圖7(c)所示d/L=0.15的BCC晶格為例,當(dāng)網(wǎng)格尺寸小于0.15 mm時(shí),其線彈性應(yīng)力-應(yīng)變曲線誤差較小且等效楊氏模量誤差小于4%,忽略不計(jì),故取有限元模型網(wǎng)格尺寸為0.15 mm.

    圖7 有限元模型及網(wǎng)格敏感性分析Fig.7 Finite element model and mesh sensitivity analysis

    材料模型采用各向同性理想彈塑性模型[17],彈性模量為140 GPa,材料遵循Mises屈服準(zhǔn)則,屈服強(qiáng)度為0.144 GPa,泊松比為0.3.

    4 結(jié)果與討論

    如圖8所示為d/L=0.12,5 mm×5 mm×5 mm的FCC單元晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下變形模式及Mises應(yīng)力分布圖。在x-y平面剪切應(yīng)力狀態(tài)下,1/4單元晶格中③桿內(nèi)力最大,比其他桿中內(nèi)力值大近一倍(圖8(b)).驗(yàn)證了FCC等效剪切模量理論模型的基本假設(shè)是合理的。

    圖8 不同應(yīng)力狀態(tài)下FCC單元晶格的變形模式與Mises應(yīng)力分布圖Fig.8 Deformation form and Mises stress distribution of FCC unit lattice under different stress states

    4.1 BCC晶格材料的歸一化等效彈性參數(shù)

    為排除基體材料的影響,僅考慮單元晶格構(gòu)型對(duì)晶格材料等效彈性參數(shù)的影響,將晶格材料等效楊氏模量及剪切模量歸一化為E*/Es,G*/Es.

    如圖9(a)所示為BCC晶格材料在單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的歸一化等效楊氏模量理論計(jì)算結(jié)果、數(shù)值模擬結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]的對(duì)比。驗(yàn)證了理論模型及數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。

    圖9 不同應(yīng)力狀態(tài)下BCC單元晶格的歸一化等效彈性參數(shù)與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between theoretical and numerical simulation results of equivalent elastic parameters of BCC materials under different stress states

    采用Timoshenko梁模型的理論模型結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果吻合最好(圖9(a)黑色實(shí)線)。忽略軸力作用同樣可以得到較準(zhǔn)確的理論結(jié)果(圖9(a)紅色劃線),即單軸壓縮載荷下BCC晶格彈性階段各細(xì)觀桿件的拉壓變形很小,可忽略不計(jì)。對(duì)d/L大于0.1的BCC晶格材料,忽略單元晶格中結(jié)點(diǎn)的影響(圖9(a)藍(lán)色點(diǎn)線)會(huì)使理論計(jì)算結(jié)果偏小,例如當(dāng)d/L=0.15時(shí),其理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果相對(duì)誤差為40.6%.同時(shí)剪切力對(duì)d/L較大的BCC晶格材料影響較為顯著(圖9(a)橙色點(diǎn)線),當(dāng)d/L大于0.15時(shí),忽略剪切力作用會(huì)低估BCC晶格材料的等效楊氏模量。

    對(duì)BCC晶格材料的等效剪切模量理論分析中,由于理論模型的簡(jiǎn)化,僅討論結(jié)點(diǎn)尺寸對(duì)其結(jié)果的影響。如圖9(b)所示,隨著B(niǎo)CC晶格材料d/L的增加,結(jié)點(diǎn)的影響逐漸增大。當(dāng)d/L大于0.15時(shí),結(jié)點(diǎn)的影響較大。這與圖2中所示BCC晶格結(jié)點(diǎn)相對(duì)體積隨d/L的增大而快速增加相吻合。

    4.2 FCC晶格材料的歸一化等效彈性參數(shù)

    FCC單元晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下的歸一化等效彈性參數(shù)的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比如圖10所示。

    采用Timoshenko梁模型的理論計(jì)算結(jié)果(圖10(a)黑色實(shí)線)與數(shù)值模擬結(jié)果基本保持一致。隨著d/L的增加,忽略彎曲作用的理論模型與數(shù)值模擬誤差逐漸增大(圖10(a)紅色劃線),即FCC晶格桿的彎曲變形占比逐漸增加,且當(dāng)d/L大于0.15時(shí)其增加更為顯著。故當(dāng)d/L大于0.15時(shí),不可忽略FCC晶格桿的彎曲變形。此外,剪切力對(duì)FCC單元晶格等效楊氏模量的影響極小可忽略不計(jì)(圖10(a)橙色點(diǎn)劃線),這是由于FCC單元晶格屬于拉伸主導(dǎo)型晶格,晶格主要通過(guò)各細(xì)觀桿的拉壓來(lái)抵抗外載荷和整體變形,同時(shí)FCC晶格桿彎曲變形中剪切力彎曲占比較小,故剪切力作用影響較小,可忽略不計(jì)。對(duì)d/L大于0.1的FCC晶格材料,忽略單元晶格結(jié)點(diǎn)的理論計(jì)算結(jié)果偏小 (圖10(a)藍(lán)色點(diǎn)線),會(huì)低估FCC晶格材料的等效楊氏模量,例如當(dāng)d/L=0.2時(shí),忽略結(jié)點(diǎn)的理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果間相對(duì)誤差較大為27.0%.

    對(duì)于FCC晶格材料等效剪切模量,由于理論模型的簡(jiǎn)化僅考慮結(jié)點(diǎn)的影響。如圖10(b)所示,忽略結(jié)點(diǎn)將在一定程度上低估FCC晶格材料的剪切模量,當(dāng)d/L=0.2時(shí),忽略結(jié)點(diǎn)體積的理論結(jié)果比有限元結(jié)果小12%.

    4.3 晶格材料等效彈性參數(shù)的比較

    BCC與FCC晶格材料泊松比理論模型及數(shù)值模型結(jié)果基本保持一致(圖11(a)),驗(yàn)證了式(7)、(14)理論模型的準(zhǔn)確性。圖11(b)、(c)表明相同密度的BCC及FCC晶格材料,F(xiàn)CC晶格材料具有更高的歸一化楊氏模量,且其歸一化楊氏模量-相對(duì)密度曲線始終位于BCC曲線上方(圖11(b)),即FCC晶格具有更大的比楊氏模量。而相同密度的BCC晶格材料具有更高的歸一化剪切模量,即有更大的比剪切模量。

    圖11 BCC與FCC晶格材料等效彈性參數(shù)的比較Fig.11 Comparison of equivalent elastic parameters between BCC and FCC lattice materials

    將本文中兩種晶格材料的歸一化彈性模量與其它常見(jiàn)晶格材料進(jìn)行了比較,結(jié)果表明FCC晶格材料較大多數(shù)晶格材料具有更高的比剛度,其歸一化彈性模量與相對(duì)密度間大體上呈線性關(guān)系(圖11(d)粉色劃線),且相對(duì)密度為5%~10%的FCC晶格材料具有與等相對(duì)密度Octet晶格材料基本一致的歸一化楊氏模量。

    5 結(jié)論

    本文對(duì)BCC及FCC兩種晶格材料的等效彈性參數(shù)進(jìn)行了理論及數(shù)值模擬研究,分析比較晶格結(jié)點(diǎn)尺寸、剪切力等對(duì)晶格材料等效彈性參數(shù)的影響。主要結(jié)論如下:

    1) 采用Timoshenko梁模型的BCC及FCC晶格材料的等效楊氏模量理論模型與數(shù)值模擬結(jié)果有更好的吻合。

    2) 晶格結(jié)點(diǎn)對(duì)BCC及FCC晶格等效楊氏模量及剪切模量均有較大影響,且隨著晶格d/L參數(shù)的增大而增大。忽略結(jié)點(diǎn)效應(yīng)會(huì)低估晶格材料的線彈性力學(xué)性能。

    3) 對(duì)彎曲主導(dǎo)型BCC晶格材料的等效楊氏模量理論模型,其軸力影響很小可忽略不計(jì)。而對(duì)于拉伸主導(dǎo)型FCC晶格材料,當(dāng)d/L大于0.15時(shí),細(xì)觀桿件的彎曲變形對(duì)其等效楊氏模量理論模型結(jié)果影響較大,故桿的彎曲不可忽略。

    4) 相同密度的FCC晶格比BCC晶格材料具有更高的歸一化楊氏模量,BCC晶格則比FCC晶格具有更高的歸一化剪切模量。此外,相對(duì)密度為5%~10%的FCC晶格材料具有與等相對(duì)密度Octet晶格材料基本一致的歸一化楊氏模量。FCC晶格材料較大部分晶格材料具有更高的抗壓比剛度。

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