以趣味活動提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——“閱讀與思考：勾股定理的證明”案例分析

◎張麗珊

(福建省廈門市禾山中學(xué)，福建 廈門 361009)

“數(shù)學(xué)活動與閱讀與思考”重在培養(yǎng)學(xué)生的綜合與實踐能力，對比當(dāng)前的快節(jié)奏學(xué)習(xí)，它屬于慢節(jié)奏式的教學(xué)，需要教師花時間讓學(xué)生體悟科學(xué)研究精神數(shù)學(xué)活動有利于提高學(xué)生的動手能力，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)審美意識，將知識向能力與智慧遷移，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)筆者以人教版八年級下冊“閱讀與思考：勾股定理的證明”為例，與同行分享點滴思考

一、數(shù)學(xué)活動的有效開展

(一)文本分析

本節(jié)課主要介紹勾股定理的不同證法，教材中是從“閱讀與思考”的角度來講述，而筆者結(jié)合數(shù)學(xué)活動的形式，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，通過拼圖游戲培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的思想，在知識與情境之間轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)知道了趙爽弦圖的證法，但有較大的困惑：古代數(shù)學(xué)家是怎么想到構(gòu)造這樣的圖形來證明定理的呢？我們聯(lián)想網(wǎng)格中計算圖形的面積時采用的割補法，經(jīng)過折疊或軸對稱變換，學(xué)生自然而然地采用不同方法證明勾股定理教學(xué)設(shè)計結(jié)合數(shù)學(xué)活動，重點在于通過拼圖游戲、動手操作、合作交流，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，從不同角度(拼圖或等積法)提高學(xué)生綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力、探究意識，滲透數(shù)形結(jié)合思想，開拓學(xué)生思路，深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(二)學(xué)情分析

對于初二的學(xué)生而言，用構(gòu)造圖形的方法證明定理存在較大的困難教師從具體的網(wǎng)格中的直角三角形入手，通過拼圖的游戲引導(dǎo)學(xué)生探究，符合學(xué)生就近發(fā)展區(qū)，有利于學(xué)生自然而然地驗證勾股定理教材以靜態(tài)的情境呈現(xiàn)勾股定理的多種證法，教師應(yīng)使學(xué)生的思考過程形象化，將知識動態(tài)化，借助于圖形面積的研究，找到各證法之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而使學(xué)生領(lǐng)悟內(nèi)容，達到深度學(xué)習(xí)思考的目的

(三)目標分析

1了解關(guān)于勾股定理的數(shù)學(xué)文化，經(jīng)歷勾股定理的探究證明過程，培養(yǎng)學(xué)生初步體會幾何圖形研究的思路和方法

2通過拼圖游戲、動手實踐、合作交流等教學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，讓學(xué)生親身經(jīng)歷定理的探究，體驗數(shù)學(xué)知識的研究過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

3感悟勾股定理的不同證明方法之間的聯(lián)系，通過割補法構(gòu)造圖形證明勾股定理，進一步培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想，增強學(xué)生的邏輯推理能力,通過對我國古代及現(xiàn)代數(shù)學(xué)家研究勾股定理的成就介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的自信心及自豪感

二、數(shù)學(xué)活動的實施與落實

活動一：想一想

回顧勾股定理的探究過程

師：勾股定理是如何被發(fā)現(xiàn)并證明的呢？

生：是畢達哥拉斯從地磚圖案發(fā)現(xiàn)的，他通過割補法求面積證明了該定理還有趙爽弦圖證法

圖1

圖2

師：(多媒體展示圖1、圖2)那證明思路是什么？

生1：本質(zhì)是正方形面積的不同表示方法

生2：圖1中斜邊=正方形(恰好是正方形的面積)，而正方形的面積也可以表示為正方形=-4(大正方形面積減掉4個全等的直角三角形面積)，列出等式，化簡可得勾股定理

師：同學(xué)們表述得非常好，那么除了趙爽弦圖證法之外，我們看看是否能從這些圖形中獲得啟發(fā)，還有哪些勾股定理的證明方法？

設(shè)計意圖：從學(xué)生已有的知識入手，重視知識的生成過程，允許學(xué)生有不同的表述方式，多媒體展示圖片，形象直觀，以問題為引領(lǐng)，將已學(xué)的知識轉(zhuǎn)化為思路的來源，提供研究問題的方法，將未知轉(zhuǎn)化為已知，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力

活動二：拼一拼

拼圖游戲，展示不同的圖形(圖3～7)

師：你能否拼出含有正方形的圖案？運用手中的四個全等的直角三角形紙片，動手試一試，比一比，看誰先拼出來4人小組合作交流，看看能拼出多少種圖案，并探究這些圖案是否都能驗證我們的猜想

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

師生活動：通過拼圖游戲，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識通過動手實踐，從“形”的角度看“可拼”，從“數(shù)”的角度看“可算”，感悟數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵，把靜態(tài)的知識變成動態(tài)的思考，驅(qū)動學(xué)生動手、動腦，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有效發(fā)掘數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)價值

活動三：研一研

探究證明勾股定理的不同方法

多媒體展示學(xué)生所拼的圖案(圖8)及勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為,，斜邊長為,則=+

圖8

師：我們觀察勾股定理等式的結(jié)構(gòu)特征，這些圖案中有以直角三角形的斜邊為邊長的正方形嗎？

生：有

師：大家從中發(fā)現(xiàn)勾股定理的其他證明方法了嗎？

生：我們只要將幾個三角形重新拼接就可以證明

師：非常棒！很簡潔的證法，這就是傳說中的畢達哥拉斯的證法，看來同學(xué)們可以當(dāng)數(shù)學(xué)家了還有其他證法嗎？

生：也可以通過大正方形的圖形面積得到(學(xué)生上臺展示，如圖9)

圖9

師：非常好，同一張圖，既可以用拼圖證法，又可以用面積研究數(shù)量關(guān)系證法還有其他方法嗎？

生：我們小組不需要4個直角三角形紙板，只需要兩個，把一個正方形從中分成兩半，變成直角梯形(圖10)，通過梯形面積的不同表示方法可得：1梯形面積公式計算；2看成2個全等的直角三角形及一個等腰直角三角形的面積之和

圖10

師：這證法非常有創(chuàng)新意識，這種證法也叫“總統(tǒng)”證法，是由美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·艾伯拉姆·加菲爾德證明，看來你們是未來的領(lǐng)導(dǎo)人！從前面幾種證法中你們能否獲得啟發(fā)，思考還有沒有其他證法？

生：我們從畢達哥拉斯的證法獲得啟示，可以用拼圖解釋勾股定理

師：厲害！這種證法也是印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的證法(圖11)

圖11

生：我們還發(fā)現(xiàn)了兩幅圖可以用來驗證完全平方公式(+)-2=+(∵斜邊=+)

師：同學(xué)們非常棒，大家真正做到了用心思考，體會知識之間的聯(lián)系

師生活動：從眾多不同的圖案中選取適用于驗證猜想的圖形，有向有序觀察思考(斜邊→正方形面積)，培養(yǎng)學(xué)生的目標導(dǎo)向意識教師引導(dǎo)學(xué)生通過前面割補法的圖形聯(lián)想到拼圖構(gòu)造正方形，通過面積的不同表示方法得到定理的證明教師在幾種證法之后對古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的研究進行介紹，開闊學(xué)生視野，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的趣味與價值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)面積證法本質(zhì)是等積法，是正方形面積的不同表示(整體與局部)，學(xué)生從中感悟圖形的巧妙拼接，體會數(shù)形結(jié)合之美從補到割的圖中，我們可將其看成直角三角形沿斜邊折疊的過程或是軸對稱的變換過程，而“總統(tǒng)”證法則是由正方形分割而成

設(shè)計意圖：通過拼圖活動，重視學(xué)生的動手實踐能力，做到“低起點”，有趣味，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，使學(xué)生體會從數(shù)到形(如斜邊→正方形面積)，再從形到數(shù)(如4個直角三角形→2表示)的數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生未來學(xué)習(xí)一次函數(shù)打下基礎(chǔ)通過對數(shù)學(xué)家的介紹，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，增強學(xué)生學(xué)習(xí)熱情通過了解不同的證明方法之間的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)之美，發(fā)展學(xué)生的想象能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

活動四：說一說

歸納小結(jié)

師生一起回顧整堂課所學(xué)的主要內(nèi)容，請學(xué)生回答以下問題：

1勾股定理的內(nèi)容是什么？它有什么作用？

2在探究勾股定理的過程中，我們是如何探究的？

師生活動：一起制作本節(jié)課的思維導(dǎo)圖并展示

設(shè)計意圖：讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)的過程中感受數(shù)學(xué)文化之美，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以問題為引領(lǐng)，以舊有知識為啟發(fā)，注重知識的生成過程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，并通過制作思維導(dǎo)圖促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)研究方法并內(nèi)化遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗

活動五：做一做

1(廣東·中考)如圖12①，已知小正方形的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形；把正方形邊長按原方法延長一倍得到正方形(如圖12②)……如此下去，則正方形的面積為________

圖12

2通過上網(wǎng)或到圖書館等方式查找有關(guān)史料及其他有趣的不同證明方法

設(shè)計意圖：考查學(xué)生運用勾股定理的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，滲透方程思想，延伸課后閱讀，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力

活動六：思一思

在拼圖游戲探究的過程中時間較多，除了古代數(shù)學(xué)家的研究，教師可介紹青朱出入圖或運用全等三角形及等底等高證明《幾何原本》中的證法等(圖13)

圖13

三、數(shù)學(xué)活動對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的價值與意義

(一)數(shù)學(xué)活動有利于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

教師通過活動，給予學(xué)生充分時間探索、獨立思考、合作交流，激發(fā)學(xué)生探索的欲望，重視教材的價值，對教材資源靈活運用，將“閱讀與思考”與“數(shù)學(xué)活動”相結(jié)合數(shù)學(xué)活動及探究過程從易到難，拾級而上，數(shù)學(xué)思想方法豐富，有聯(lián)想、分類討論、數(shù)形結(jié)合、符號意識等；系統(tǒng)有條理，從特殊到一般，猜想→驗證→應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生探究意識，研究問題的方法，讓課堂知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成能力培養(yǎng)，從而達到深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(二)數(shù)學(xué)活動課對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的價值

數(shù)學(xué)活動課通常是通過借助三角板、紙板等作圖工具或一些模型及計算機技術(shù)等，讓學(xué)生操作(折紙、拼圖等)，親身體會知識形成，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)其幾何直觀能力、動手操作能力及綜合實踐能力，有效發(fā)掘數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價值，這在幾何教學(xué)中常發(fā)揮令人意想不到的作用以人教版八年級上冊第53頁第十二章數(shù)學(xué)活動2——用全等三角形研究“箏形”為例：

活動一：(“拼一拼”“找一找”)

問題1：如圖14所給圖形，請同學(xué)們以小組為單位，上臺展示自己所拼的圖形

圖14

追問1：以四人為一小組，將所拼的圖形記錄下來哪些圖形是大家熟悉的？哪些是不熟悉的？

追問2：請同學(xué)們說一說我們拼出的這些圖形分別是什么

引出“箏形”概念：兩組鄰邊分別相等的四邊形

活動二：小組合作，探究性質(zhì)(“探一探”“做一做”)

圖15

問題2：那么我們研究一個圖形，可以從哪方面進行研究(回顧研究思路)？

追問1：構(gòu)成“箏形”的元素有哪些？

追問2：能否從這些元素出發(fā)，研究“箏形”有何性質(zhì)？

活動三：師生共同總結(jié)“箏形”的性質(zhì)

活動四：動手實踐，驗證猜想

問題3：對于“箏形”，從定義出發(fā)，你能得出它的性質(zhì)嗎？運用所學(xué)，驗證猜想并用A4紙剪一個“箏形”

教師利用三角形紙板引導(dǎo)學(xué)生通過活動，經(jīng)歷概念的探究過程，在活動中通過細致觀察、動手操作、合作交流、大膽猜想、證明猜想等教學(xué)環(huán)節(jié)探究“箏形”具有哪些性質(zhì)，完成對“箏形”認識的同時體會幾何圖形研究的一般思路和方法在折紙活動中，教師激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動探索數(shù)學(xué)知識，鼓勵創(chuàng)新性思維(不同的折紙方法表示不同的邏輯推理)，培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)展能力，重視學(xué)生素質(zhì)的可持續(xù)發(fā)展，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

(三)數(shù)學(xué)活動課的意義

學(xué)生通過趣味活動與綜合實踐課尋找普遍適用的思考方法，并且分享發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的喜悅教師為何不直接給出概念，而是從收集到的東西尋找條件呢？這是因為根據(jù)不同的分析方式，學(xué)生有可能得出不一樣的結(jié)論，經(jīng)過和小伙伴們討論，靠自己的能力得出答案時，他們能從中學(xué)會思考問題的方法和步驟，并獲得發(fā)現(xiàn)的喜悅