一類高階奇異多點邊值問題正解的存在性

王 峰

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 鹽城機電分院基礎(chǔ)部, 江蘇 鹽城 224005)

0 引言

邊值問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理的多個分支,是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一.近年來,關(guān)于非線性多點邊值問題正解的存在性,已有很多學(xué)者做了研究[1-4].特別地,對于高階奇異多點邊值問題正解的存在性,產(chǎn)生了很多有意義的研究成果,如張國偉等人[5]利用不動點指數(shù)理論,在與相應(yīng)線性算子本征值有關(guān)的條件下得到了非線性奇異(k,n-k)多點邊值問題至少存在一個正解的結(jié)論.Li[6]研究了懸臂梁方程在非線性項滿足超線性和次線性增長的條件下解的存在性問題.Dang[7]運用單調(diào)迭代法,獲得了一類四階邊值問題解的存在性結(jié)論.綜合眾多研究結(jié)果,多采用錐上的不動點定理、迭代法等.

不同于以往的方法,本文構(gòu)造了一個合適的錐和凸泛函, 利用推廣的錐拉伸與錐壓縮不動點定理,研究了一類高階奇異(k,n-k)多點共軛邊值問題

(1)

正解的存在性,其中0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai∈[0, +∞),λ≠0并且允許q(t)在t=0和t=1奇異.有關(guān)錐的概念及性質(zhì)見文獻[8].

1 預(yù)備知識

引理1[10,11]設(shè)k(t,s)由式(2)定義,則

α(t)g(s)≤k(t,s)≤β(t)g(s), ?(t,s)∈[0, 1]×[0, 1],

其中

(2)

引理2[5]設(shè)x∈Cn[0, 1]滿足

令

(3)

(4)

由式(3)易知Φ(t)≥0,t∈[0, 1],且根據(jù)Euler積分的性質(zhì)知Φ(0)=1,Φ(1)=0.由式(4)易知K(t,s)在[0, 1]×[0, 1]連續(xù),并且K(t,s)≥0,0≤t,s≤1.

假設(shè)如下條件成立，

(Η3)f:[0, +∞)→[0, +∞)連續(xù).

定義算子

(5)

引理3 若條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,則A:P→P全連續(xù).

證明記

于是A=A1+A2.由文[4]可知A1:P→P全連續(xù),易見A2:P→P全連續(xù),所以A:P→P全連續(xù).

稱x(t)為邊值問題(1)的正解,如果對任x(t)∈C[0, 1]∩Cn(0, 1),均有x(t)>0,t∈(0, 1),并且滿足邊值問題(1).

引理4 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若A有不動點x≠θ,則x是邊值問題(1)的正解.

證明設(shè)x是A的不動點,那么x∈P.顯然x∈C[0, 1]∩Cn(0, 1).

(6)

又Φ(n)(t)=0,t∈(0, 1), 所以x(t)滿足(-1)n-kx(n)(t)=λq(t)f(x(t)).

2 主要結(jié)論

定理2 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若存在常數(shù)m,n(0

則邊值問題(1)至少有一正解.

證明定義

P1={x∈P|x(t)≥M‖x‖,ζ≤t≤1-ζ}

(7)

則A:P1→P1.事實上,容易驗證P1是C[0, 1]中的錐,并且P1?P.

?t∈[ζ, 1-ζ],?s,z∈[0, 1],由引理 1知

由此可知，對?x∈P1,ζ≤t≤1-ζ,z∈[0, 1]，有

所以(Ax)(t)≥M‖Ax‖,ζ≤t≤1-ζ.因而A(P1)?P1, 所以A:P1→P1.

定義

(8)

由文[12]知ρ是凸泛函,綜上ρ:P1→[0, +∞)是一致連續(xù)的凸泛函,ρ(θ)=0并且ρ(x)>0,x∈P{θ}.

令

Ω1={x∈C[0, 1]|ρ(x)

由文[12]易知P1∩Ω1與P1∩Ω2均是有界的.

類似地,可得如下定理.

定理3 假設(shè)條件(Η1),(Η2)和(Η3)滿足,若存在常數(shù)m,n且0

則邊值問題(1)至少有一正解.