大直徑單樁海上風機橫向自振頻率實用計算方法

黃永健，余云燕，付艷艷

（蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州 730070）

引言

風能作為一種優(yōu)質(zhì)、清潔的可再生能源，目前正被歐盟國家大范圍推廣使用。截至2020年，歐洲已在12個國家累計建造了116 個海上風電場，共計5 402 臺海上風力發(fā)電機，總裝機容量達25.01 GW［1］。與歐洲國家相比，中國海上風電技術起步較晚，在海上風電功率與裝機容量上仍存在較大差距，目前正處于高速發(fā)展階段。

在海上風機的設計與運營期間，風電系統(tǒng)會受到渦輪機和葉輪掃掠過程中的諧振作用，因而需避免風電系統(tǒng)一階橫向自振頻率與渦輪機的轉(zhuǎn)動頻率（1P 頻率）和葉輪掃掠頻率（2 P/3 P 頻率）發(fā)生重疊而引起共振效應。而海上風電系統(tǒng)設計一般采取“軟-剛”模式［2］，要求風電系統(tǒng)的一階橫向自振頻率介于1 P 頻率與2 P/3 P 頻率之間。為安全起見，作為行業(yè)標準的DNV 規(guī)范［3］建議，在風機系統(tǒng)設計時，應在1 P 頻帶與2 P/3 P 頻帶之間留有10%的安全余度，使得頻率設計容許區(qū)間受限，風機系統(tǒng)頻率計算精度要求進一步提高。

對大直徑海上風機而言，塔筒變截面特性的考慮方式以及樁、土相互作用模型的選擇是風機系統(tǒng)頻率準確預估的關鍵。對于塔筒變截面的特性，常見的研究方法是通過等效截面的方式［4-7］加以考慮，或者輔以有限元軟件對塔筒進行仿真模擬。采用等效截面的方式在一定程度上反映塔筒的變截面特性，但并不全面，相比之下，有限元建模的方式模擬效果較好，但在設計前期由于風機結構尺寸要素的頻繁改動，常需重復建模，工作量較大。同時，為準確計算單樁海上風機系統(tǒng)橫向自振頻率，研究人員采取了不同的計算模型對樁、土相互作用加以考慮，包括等效樁長法［8］，獨立彈簧法［5，7，9］、耦合彈簧法［4，10］、Winkler 地基模型［6］以及p-y曲線法［11-12］等。用彈簧替代復雜的樁、土相互作用能較大程度簡化計算，但彈簧剛度的選擇依賴于對土體剛度的準確預估，而對于成層土，地基剛度的取值尚未形成系統(tǒng)的認識。而p-y曲線法是規(guī)范［3］推薦的分析方法，適用于各種土體的樁、土相互作用模擬，常配合有限元復雜建模使用。然而，在目前風機系統(tǒng)前期設計過程中，由于樁身尺寸及土體參數(shù)的不確定性，常需多次建模進行調(diào)試，過程較為繁瑣。因此，海上風機的前期設計中，風機系統(tǒng)橫向自振頻率的計算仍需一種既能全面考慮塔筒變截面特性，又能考慮樁、土相互作用的快速計算方法。

文中基于Timoshenko 梁理論，以Winkler 地基作為樁、土相互作用模型，采用多段均勻梁組合的方式建立振動方程，旨在為大直徑單樁海上風力發(fā)電機的前期設計提供一種思路簡單、計算精確、利于提升工作效率的頻率預估方法。該方法能精準模擬風機塔筒的變截面特性，同時兼顧考慮土體分層的特點，適用于求解類似結構的各階橫向自振頻率。

1 方程的建立與求解

1.1 計算模型的建立與簡化

如圖1（a）所示，典型的大直徑單樁海上風機支撐結構主要由葉輪—機艙組合件（Rotor Nacelle Assembly，即RNA）、塔筒、連接段與大直徑單樁4部分組成。風機頂部為風機葉片、輪轂和渦輪機組成的葉輪-機艙組合件。RNA 與風機平臺之間為變截面塔筒，塔筒截面直徑在平臺處最大，隨高度的增加逐漸減小。泥面以下為大直徑單樁，塔筒與單樁之間采用連接段和剛性法蘭連接。

以樁底為原點，沿高度增加方向為x軸，考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響建立Timoshenko梁橫向振動方程進行求解，風機整體計算模型如圖1（b）所示。風機整體計算模型由塔筒、連接段以及全埋入單樁3部分組成，其基本假設如下：

（1）風機頂部采取集中質(zhì)量mRNA的方式對葉輪-機艙組合件進行簡化；

（2）將塔筒分為NT段，每一段選用所截取圓臺塔筒的中位線所在截面作為該段等效截面，考慮塔筒截面直徑沿高度方向線性變化，高度為LT，壁厚恒定為tT，底部和頂部外徑分別用Db和Dt表示；

（3）假定連接段為等截面段，截面直徑與樁身直徑相同，連接段高LS，外徑為DS，壁厚為tS；

（4）風機泥面以下考慮樁、土相互作用的影響，以Winkler 地基模型進行模擬，樁身按土體分層情況分成NP段，單樁埋深LP，外徑為DP，壁厚為tP。

（5）風機支撐結構總共分為(NP+NT+1)段，以r表示風機支撐結構中的第r段，r=1,2,···,(NP+NT+1)，第r段梁長為lr，風機分段如圖1（c）所示。

圖1 風機系統(tǒng)計算模型Fig.1 Analysis models of OWTs

1.2 樁身部分求解

文獻［13］指出，土體阻尼對風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率的影響較小，可忽略不計。泥面以下的大直徑單樁，假設樁徑沿深度方向不變，采用Winkler地基模擬樁、土相互作用，并采用分段的方式考慮分層土體的不同力學特性，建立樁身部分的橫向振動方程［14］為：

式中，i表示所在的土層序號，i=1,2,3···,NP，vpi(x,t)和θpi(x,t)分別為泥面以下單樁的橫向位移和截面轉(zhuǎn)角；Ap和Ip分別為泥面以下單樁的截面面積和截面慣性矩，下標p表示單樁的相關變量，彈性模量E、剪切模量G與密度ρ為材料常數(shù)，取決于材料屬性，κ為截面剪切系數(shù)，可通過κ=2(1+υ)/(4+3υ)取值［15］，其中v為泊松比，鋼材取0.3。ki為樁周土彈簧剛度，與土體的彈性模量ESi有關，可根據(jù)Markris和Gazetas［16］的方法ki=1.2ESi取值。

令vpi(x,t)=?pi(x)eiωt，θpi(x,t)=φpi(x)eiωt，變量分離后可得特征方程：

式中：ω為風機系統(tǒng)橫向自振頻率；Fpi=s1p(s1ps2ps3p-s2pηQi-1)+ηMi；。

式（2）的通解按照參數(shù)的不同存在以下4 種情況：（1）Hpi＞＞Fpi＞0；（2）Fpi＜0；（3）Hpi＜0，Hpi2＞Fpi＞0；（4）Fpi＞Hpi2。算例試算結果表明，大直徑海上風機系統(tǒng)的一階橫向自振頻率屬于第4 種情況，可解得相應的振型函數(shù)為：

1.3 塔筒及連接段部分求解

風機運行過程中，塔筒和葉輪—機艙組合件會受到氣動阻尼的影響，連接段也會受到水動力阻尼的影響。但文獻［17］指出，氣動阻尼和水動力阻尼對風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率的影響并不顯著，由此建立塔筒及連接段部分等效截面的無阻尼橫向振動方程：

式中：j表示第j段，j=(NP+1),(NP+2),(NP+3),···,(NP+NT+1)，vj(x,t)、θj(x,t)、Aj和Ij分別為第j段梁的橫向位移、截面轉(zhuǎn)角、等效截面面積和等效截面慣性矩。

令vj(x,t)=?j(x)eiωt，θj(x,t)=φj(x)eiωt，根據(jù)文獻［18］可得梁橫向位移和截面轉(zhuǎn)角分別為：

式中，C1j,C2j,C3j,C4j為待定系數(shù)，其中，

1.4 橫向頻率特征方程

如圖1（c）所示，由第r段梁與第r+1段梁在連接點xr處的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的連續(xù)關系［19］可得：

將式（3）和式（6）分別代入式（8），整理可得：

式中：Cr,C(r+1)分別為第r段梁與第r+1段梁振型函數(shù)的待定系數(shù)；Zr為待定系數(shù)的系數(shù)矩陣。

考慮式（9）中r分別為1,2,···,(NP+NT+1)，作進一步推導可得和C1關系為：

式中，Z=。

如圖1（b）所示，風機樁底邊界條件按鉸接考慮，即位移和彎矩為零：

塔筒頂部自由，集中質(zhì)量的慣性力與塔筒內(nèi)力平衡，有：

將式（3）代入式（11）中，整理可得：

將式（6）代入式（12），整理可得塔筒頂部邊界條件：

式中，

聯(lián)立式（10）和式（14），可得塔筒頂部邊界條件表示如下：

進一步聯(lián)立（13）和式（16），求解可得：

式中，R=[BTZ]T。

為使式（17）有非零解，其系數(shù)矩陣行列式必為零，即：

式（18）為包含系統(tǒng)橫向自振頻率ω的超越方程，基于matlab軟件，通過二分法求解即可得到系統(tǒng)的橫向自振頻率。

2 方法有效性驗證

如圖1（b）所示，采用Winkler 模型考慮樁、土相互作用，對風機系統(tǒng)的一階橫向自振頻率進行求解。選取文獻［10］中的4 個海上風機作為算例，各風機具體規(guī)格參數(shù)如表1 所示。各風機地層情況及土層預估模量見表2。土層信息可通過表中數(shù)據(jù)來源作進一步了解。根據(jù)各風機地層信息，配合文獻［20-21］中的經(jīng)驗數(shù)據(jù)對地層土體彈性模量進行預估，數(shù)值根據(jù)砂土的內(nèi)摩擦角?或黏土的不排水抗剪強度ccu線性插值確定。采用Arany的三彈簧法［10］所得結果及風機現(xiàn)場實測頻率［10］對本方法的有效性進行評估，結果如表3所示，表中相對誤差均由計算結果與現(xiàn)場實測頻率比較得到。為觀察塔筒變截面特性對風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率的影響，文中通過將塔筒分為1段，4段和16段的情況對變截面影響進行量化分析。

表1 風機規(guī)格參數(shù)表Table 1 Specifications of four offshore wind turbines

表2 地層屬性及土體參數(shù)表Table 2 Ground profile and soil parameters

表3 整體計算模型一階橫向自振頻率與實測頻率對照表Table 3 Comparison on fundamental transverse frequencies of four turbines among results of proposed model and measured frequencies Hz

計算結果顯示，在考慮樁、土相互作用的情況下，忽略塔筒變截面特性的影響，即當NT=1 時，計算結果與現(xiàn)場實測頻率相比普遍偏小，誤差范圍在6.88 %～13.86 %而當NT=4 時，計算結果與實測頻率相近，最大誤差為4.07 %，計算精度基本滿足要求。隨著分段數(shù)目的增大，當塔筒按16 分段考慮時，本方法計算結果與Arany 的方法所得結果差異較小，與現(xiàn)場實測頻率相對誤差均在3.50%以內(nèi)，對于風機系統(tǒng)前期設計而言是可以接受的。且從算例的計算結果可以看出，相比NT=4 時所得結果，NT=16 時所得結果在計算精度上更加穩(wěn)定，在設計時適宜采用塔筒16 分段的方式進行計算。綜上分析，在考慮了塔筒變截面特性及樁、土相互作用后，文中結果與現(xiàn)場實測頻率基本一致，對風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率的預測是準確有效的。

3 參數(shù)影響分析

風機系統(tǒng)頻率控制要求嚴苛，而風機本身的規(guī)格參數(shù)、土體模量以及運營期間的海床平面變化等因素都會對其造成一定的影響。且在風機運營過程中，一階橫向自振頻率起主要控制作用，其余各階對風機的振動也存在一定的貢獻，為進一步量化各因素對風機系統(tǒng)各階橫向自振頻率的影響，現(xiàn)以算例中的Burbo Bank風電場風機為例，就各因素對風機前三階橫向自振頻率的影響進行探討。

3.1 塔筒、連接段高度對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響

考慮泥面以上部位塔筒和連接段高度對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響，保持風機其余尺寸要素不變，以塔筒高66 m與連接段高23 m為基準展開變量分析，計算結果顯示風機系統(tǒng)橫向自振頻率隨塔筒和連接段高度變化較為均勻。如圖2 所示，塔筒高度分別變化-10 m，-5 m，5 m，10 m，即塔筒高度分別為56 m，61 m，71 m，76 m 時，風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率較原一階自振頻率分別變化了20.0 %，9.3 %，-8.2 %，-15.3 %；二階橫向自振頻率分別變化17.0%，8.0%，-7.2%，-13.8%；三階橫向自振頻率分別變化19.9%，9.2%，-8.0%，-15.0%。而當連接段高度分別變化-10 m，-5 m，5 m，10 m，即連接段高度為13 m，18 m，28 m，33 m 時，風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率分別變化10.8%，5.3%，-5.1%，-10.0%；二階橫向自振頻率分別變化23.6%，11.0%，-9.5%，-17.7%；三階橫向自振頻率分別變化17.9%，8.1%，-6.9%，-13.0%。分析顯示，在塔筒和連接段既有高度變化量相同情況下，風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率對塔筒高度變化敏感性較強，而對連接段高度變化敏感性稍弱，風機系統(tǒng)二階和三階橫向自振頻率對連接段高度變化敏感性較一階有所增強，在風機系統(tǒng)設計時應加以綜合考慮。

圖2 塔筒與連接段高度對風機系統(tǒng)前三階橫向自振頻率的影響Fig.2 The first three order frequency affected by height of tower and transition piece

3.2 土體模量對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響

分析土體模量變化對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響，土體按均質(zhì)土考慮，結果如圖3所示。可以發(fā)現(xiàn)，當土體為黏土、粉質(zhì)黏土、粉土、粉砂、細砂等土質(zhì)時，地基模量在2 MPa到40 MPa之間［20］，此時隨著地基土模量的增加，風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率從0.199 Hz迅速增加到0.309 Hz。而當土體模量大于40 MPa，即土體為密砂、巖性材料等土質(zhì)［17］時，風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率逐漸趨于穩(wěn)定，隨地基土模量的增加僅有輕微的上漲。類似的趨勢在土體模量變化對風機系統(tǒng)二階和三階橫向自振頻率的影響曲線中也有體現(xiàn)。且對比圖3可以發(fā)現(xiàn)，土體模量變化對風機系統(tǒng)第三階橫向自振頻率影響最大，對第二階影響中等，對第一階影響最小?？傮w而言，土體模量對前三階風機系統(tǒng)橫向自振頻率影響極大，系統(tǒng)設計時必須考慮樁、土相互作用對風機系統(tǒng)橫向自振頻率偏移的影響。為減小風機運營過程中系統(tǒng)一階橫向自振頻率的偏移，應在風電場選址時盡可能選擇高模量土層地區(qū)進行風電場建設，或?qū)浫醯鼗扇∵m當?shù)募庸檀胧┮蕴岣叩鼗耐馏w模量。

圖3 土體模量變化對風機系統(tǒng)前三階橫向自振頻率的影響Fig.3 The first three order frequency affected by soil modulus

3.3 海床平面高度變化對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響

海洋中由于海流的沖刷、搬運、堆積作用以及海底滑坡、地震等自然災害的影響，海床平面高度時有變化。而海床高度變化對樁埋入深度和連接段高度均有直接影響，對海床高度變化進行定量分析，結果如圖4。其中，當海床平面高度變化為正值時，意味著海床平面上升，樁埋入深度增加，而連接段高度減小。反之則為海床平面下降，樁埋深減小，連接段高度增加。從圖4 可以看出，隨著海床平面從降低6 m 到升高6 m，風機系統(tǒng)前三階自振頻率均出現(xiàn)類似線性的變化。其中，一階橫向自振頻率從0.268 Hz增大至0.320 Hz，漲幅達18.4%，二階橫向自振頻率漲幅達38.6%，三階橫向自振頻率漲幅達21.2%。分析表明，風機系統(tǒng)前三階橫向自振頻率受海床平面高度變化影響較大，在海洋滑坡等自然災害頻發(fā)地區(qū)，在設計時必須充分考慮海床平面高度變化對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響。

圖4 海床平面高度變化對風機系統(tǒng)前三階橫向自振頻率的影響Fig.4 The first three order frequency affected by seabed height

3.4 大直徑單樁的樁長與樁徑對風機系統(tǒng)橫向自振頻率的影響

在風機系統(tǒng)設計過程中，樁的直徑與埋入深度是影響風機系統(tǒng)橫向自振頻率的關鍵要素之一。為分析樁長與樁徑的影響，現(xiàn)將土體考慮為單一土層，考慮風電場土體多為密砂層，故假定地基土模量為40 MPa，其結果如圖5 所示，圖中給出樁徑分別為2.5 m、3.5 m、4.5 m、5.5 m、6.5 m 和7.5 m 時風機前三階橫向自振頻率隨樁長的變化曲線。變化曲線由上升段和平直線段兩部分組成。在樁長較短時，系統(tǒng)橫向自振頻率隨樁長的增加呈現(xiàn)迅速增加的趨勢，而后隨著樁長的增加，系統(tǒng)橫向自振頻率受樁長變化的影響逐漸減弱，而當樁長超過某一臨界點后，樁長的繼續(xù)增加對系統(tǒng)橫向自振頻率幾乎不產(chǎn)生影響，曲線趨于平直線。同樣的頻率變化趨勢在樁徑上也有所體現(xiàn)。當樁徑較小時，樁徑變化對系統(tǒng)橫向自振頻率的影響較大，但隨著樁徑的繼續(xù)增加，其影響程度在逐漸降低。風機系統(tǒng)前兩階橫向自振頻率在樁長變化下的影響曲線較為類似，而對于第三階橫向自振頻率，當樁長較短時，擁有更大直徑單樁的風機系統(tǒng)頻率更小，但不同直徑系統(tǒng)的頻率差距不大，且樁徑越大，其曲線臨界點對應的樁長越長，在樁長足夠長的情況下，對應的橫向自振頻率也更高。曲線表明，大直徑長樁具有較好的抗頻率偏移能力，在設計中應在保證經(jīng)濟合理性的情況下盡量予以采用。

圖5 樁長與樁徑的變化對風機系統(tǒng)前三階橫向自振頻率的影響Fig.5 The first three order frequency affected by diameter and length of pile

4 結論

基于Timoshenko 梁理論，考慮樁、土相互作用和風機的塔筒變截面特性，建立了大直徑單樁海上風機橫向自振頻率的實用求解方法，并通過4 個實際風機的現(xiàn)場實測頻率對文中簡化方法的有效性進行驗證。該方法在完成首次推導及matlab 程序錄入后，僅需在程序中改動相應的風機尺寸以及土層參數(shù)，即可獲得相應的風機系統(tǒng)橫向自振頻率，因而有利于大幅減少設計前期有限元重復建模所需要的時間，從而達到提升工作效率的目的。

同時，文中方法不僅適用于自身結構部位的頻率敏感性分析，還可用于計算分析風機運營期間產(chǎn)生的頻率偏移現(xiàn)象，經(jīng)過算例分析，得到如下結論和建議：

（1）塔筒的變截面特性對風機系統(tǒng)一階橫向自振頻率的準確預估意義較大?？紤]樁、土相互作用及塔筒變截面特性后，計算結果與實測數(shù)據(jù)基本吻合，具有良好的一致性。

（2）土體模量較小時，風機系統(tǒng)橫向自振頻率受土體模量影響很大，自振頻率隨土體模量的增加呈現(xiàn)較大的增長；土體模量大于40 MPa后，土體模量的變化對風機系統(tǒng)橫向自振頻率影響較小，幾乎可忽略不計。

（3）在相同變化量的情況下，塔筒的高度變化對風機系統(tǒng)橫向自振頻率有較大的影響，連接段高度對風機系統(tǒng)橫向自振頻率影響較弱。海床平面高度變化通過影響樁的埋入深度與連接段的高度，進而導致風機系統(tǒng)橫向自振頻率產(chǎn)生較大的偏移。在樁徑與樁長的選取上，大直徑柔性長樁具有較好的抗頻率偏移能力。

（4）文中方法適用于土體模量恒定的超固結土、巖層及土層厚度不大的砂土，但對于土層厚度較大的砂土層，土體模量隨深度線性增加的現(xiàn)象不可忽視，應對土層模量適度加權或作分層處理。