基于疊合空腔樓板的PTRMD系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力性能及振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究

孫 磊，李書進(jìn)，黃麗珍

（1.湖北工程學(xué)院土木工程學(xué)院，湖北孝感 432000；2.武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北武漢 430070）

引言

得益于高度工業(yè)化的生產(chǎn)模式以及良好的保溫隔熱性能，預(yù)制疊合空腔樓板被廣泛應(yīng)用于各類裝配式建筑結(jié)構(gòu)，而利用裝配式構(gòu)件進(jìn)行合理的阻尼器設(shè)置這一思路也受到了大量學(xué)者關(guān)注［1-3］。李書進(jìn)等［4］以統(tǒng)計(jì)線性化方法分析了TRMD（Tuned Rotary Mass Damper）裝置對(duì)空腔結(jié)構(gòu)在確定性激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)控制效果，并且利用空腔特點(diǎn)有選擇性的放入多個(gè)滾動(dòng)小球，以MTRMD 代替單個(gè)TRMD 的方式，使控制系統(tǒng)更能滿足地震激勵(lì)的寬頻特性。李書進(jìn)等［5］對(duì)這種基于空腔樓板結(jié)構(gòu)的TRMD系統(tǒng)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化工作，運(yùn)用定點(diǎn)理論得出系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)，最后以蒙特卡洛模擬對(duì)比分析了最優(yōu)參數(shù)TRMD 系統(tǒng)與普通參數(shù)TRMD系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)控制結(jié)果。

TRMD 裝置較為單一的耗能機(jī)制限制了減振效率及其應(yīng)用范圍，碰撞耗能機(jī)制的引入為這種空腔阻尼器設(shè)計(jì)提供了新的方向。PMD（Pounding Mass Damper）裝置應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)方的研究已經(jīng)從理論和試驗(yàn)2個(gè)方面展開了大量的研究，理論方面已經(jīng)由Lieber［6］，Grubin［7］，Masri［8-11］等建立的塑性沖擊模型轉(zhuǎn)變?yōu)橛蒍ankowski［12］提出的粘彈性碰撞模型，大量學(xué)者在這種粘彈性模型的基礎(chǔ)上提出了適用于不同類型建筑結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的碰撞調(diào)諧阻尼器。SONG等［13］針對(duì)信號(hào)桿、轉(zhuǎn)換塔以及海底油管設(shè)計(jì)了一種粘彈性碰撞阻尼器，并且取得了良好的減震效果［13］。

以這2 種較為成熟的振動(dòng)控制裝置為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)出的PTRMD（Pounding Tuned Rotary Mass Damper）裝置，已經(jīng)從理論和試驗(yàn)2個(gè)方面獲得了該裝置的減振性能研究結(jié)果并發(fā)表在文中作者的另外一篇論文中［14］。文中在此基礎(chǔ)之上以一個(gè)6層框架結(jié)構(gòu)作為受控結(jié)構(gòu)，通過蒙特卡洛模擬得到了多自由度PTRMD受控結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果。將框架結(jié)構(gòu)層間位移角作為可靠度計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)模擬得到的各層隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果結(jié)合可靠度計(jì)算公式，計(jì)算得到框架結(jié)構(gòu)在未受控和PTRMD 控制作用下可靠度對(duì)比結(jié)果。試驗(yàn)方面，進(jìn)行了碰撞間距、質(zhì)量比和激勵(lì)頻率這些關(guān)鍵參數(shù)分析，結(jié)合幅值和標(biāo)準(zhǔn)差減振率，驗(yàn)證前期數(shù)值模擬結(jié)果的同時(shí)總結(jié)出了各參數(shù)影響規(guī)律。文中的研究成果可為裝配式耗能樓板的研發(fā)和抗震性能研究提供重要參考。

1 PTRMD動(dòng)力學(xué)模型

1.1 PTRMD系統(tǒng)基本介紹

疊合空腔樓板以預(yù)制空腔構(gòu)件拼接安裝結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)整體現(xiàn)澆的模式，實(shí)現(xiàn)裝配式建造過程，樓板具體構(gòu)造如圖1（a）所示。為了更有效的利用空腔構(gòu)件內(nèi)部空間，設(shè)計(jì)了弧形的空腔底板和限位擋板，利用樓板振動(dòng)過程中振子小球的滾動(dòng)和碰撞效應(yīng)實(shí)現(xiàn)耗能減振，空腔模塊內(nèi)部構(gòu)造如圖1（b）所示。

圖1 疊合樓板及空腔模塊內(nèi)部構(gòu)造示意圖Fig.1 Structure diagram of composite floor slab and cavity mold block

PTRMD系統(tǒng)從功能上分為滾動(dòng)調(diào)諧阻尼器和碰撞阻尼器兩部分，整個(gè)裝置包括：弧形軌道、滾動(dòng)質(zhì)量小球、設(shè)置于軌道上的限位擋板以及粘貼在擋板表面的粘彈性阻尼材料，裝置具體構(gòu)造見圖2。通過調(diào)節(jié)限位擋板位置、小球質(zhì)量及半徑可以達(dá)到改變裝置控制頻率的目的，以滿足不同受控結(jié)構(gòu)的需要。

圖2 PTRMD受控體系簡(jiǎn)化圖Fig.2 Schematic diagram of PTRMD

1.2 PTRMD系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

PTRMD 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)［15］運(yùn)動(dòng)方程中會(huì)涉及到的變量和參數(shù)為：PTRMD裝置中小球的質(zhì)量m，受控結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼，分別表示為Ms、Ks和Cs；運(yùn)動(dòng)過程中受控結(jié)構(gòu)位移為xs，小球相對(duì)圓弧形軌道圓形的滾動(dòng)角度為θ，軌道半徑為R和小球半徑為r，ρ=R-r，μ為軌道摩擦系數(shù)。

整個(gè)運(yùn)動(dòng)方程分為2個(gè)部分：

（1）小球自由振動(dòng)階段（|θ|≤θm，θm為粘彈性限位裝置與小球碰撞時(shí)的小球運(yùn)動(dòng)角度），摩擦是PTRMD系統(tǒng)的主要耗能形式，運(yùn)動(dòng)方程的矩陣形式為：

（2）小球與粘彈性緩沖材料碰撞階段（|θ|＞θm），系統(tǒng)耗能方式將會(huì)從摩擦耗能轉(zhuǎn)變成碰撞力耗能，得到碰撞階段的運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中：kp和cp分別為求得的等效碰撞剛度和阻尼。

2 PTRMD受控結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果

2.1 高斯隨機(jī)過程模型

理想白噪聲模型的特點(diǎn)是具有均勻分布的功率譜密度且符合高斯過程，在白噪聲模型的基礎(chǔ)上，通過改變雙邊功率譜密度的取值可實(shí)現(xiàn)Kanai-Tajimi 模型，以堅(jiān)硬地表土層作為研究對(duì)象，其對(duì)應(yīng)的ωg=5π、ζg=0.63［16］，代入到式（3），可計(jì)算得到，圖3為生成的Kanai-Tajimi樣本曲線。

圖3 模擬得到的Kanai-Tajimi樣本Fig.3 Kanai-Tajimi samples

2.2 多自由度PTRMD受控結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果

為了研究PTRMD 系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)控制效果，本小節(jié)以一個(gè)6層框架結(jié)構(gòu)為計(jì)算對(duì)象，將PTRMD 裝置設(shè)置在結(jié)構(gòu)頂層，具體模型簡(jiǎn)圖如圖4所示，地震動(dòng)隨機(jī)模型采用Kanai-Tajimi模型，考慮到進(jìn)行可靠度分析的樣本精度要求，蒙特卡洛模擬的樣本數(shù)量為5 000，每條樣本取點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 024。只考慮一階和二階振型質(zhì)量。首先通過計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的一階自振頻率為ω1=9.149 3 rad/s，二階自振頻率為ω2=26.913 6 rad/s，受控主結(jié)構(gòu)質(zhì)量為每層16 315 kg，一共6 層，結(jié)構(gòu)層間剛度為23.5×103kN/m，在質(zhì)量和剛度確定的情況下由結(jié)構(gòu)一階和二階頻率可算得主結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，小球與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比設(shè)置為0.02，算的小球質(zhì)量為1 957.8 kg，主結(jié)構(gòu)和PTRMD裝置具體參數(shù)見表1。

圖4 6層多自由度PTRMD受控結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖（單位：m）Fig.4 Simplified diagram of six-layer structure controlled by PTRMD（Unit：m）

表1 受控結(jié)構(gòu)和PTRMD裝置參數(shù)表Table 1 Parameters for the PTRMD model

計(jì)算得到PTRMD 受控結(jié)構(gòu)頂層位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差、層間位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和減振率，分別列于圖5 至圖8。通過對(duì)比六層多自由度結(jié)構(gòu)頂層的位移標(biāo)準(zhǔn)差，可發(fā)現(xiàn)在0～2 s 的時(shí)間段3 條位移標(biāo)準(zhǔn)差曲線幾乎重合差異并不明顯，在1.8 s 附近PTRMD 受控結(jié)構(gòu)位移標(biāo)準(zhǔn)差開始趨于穩(wěn)定，并在2 s 后保持在0.006 m 附近，未受控結(jié)構(gòu)則持續(xù)上升一直到6 s時(shí)才開始趨于穩(wěn)定最終穩(wěn)定在0.009 m附近，從這一結(jié)果可看出PTRMD對(duì)受控結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)控制效果非常明顯。圖6可看出未受控結(jié)構(gòu)的每層位移方差最大值是遠(yuǎn)大于PTRMD 受控結(jié)構(gòu)，并且隨著層高增加差距越大。圖7 反應(yīng)的是結(jié)構(gòu)層間位移方差最大值對(duì)比，整體發(fā)展趨勢(shì)是低樓層層間位移更大，隨著樓層的增加層間位移不斷減小，符合樓層位移的發(fā)展規(guī)律，未受控結(jié)構(gòu)的層間位移方差最大值是遠(yuǎn)大于PTRMD 受控結(jié)構(gòu)。圖8中結(jié)構(gòu)各層層間位移峰值減振率、中值減振率與均值減振率數(shù)值表現(xiàn)都較優(yōu)秀，特別是第4 層峰值減振率達(dá)到64.24%；第6 層為結(jié)構(gòu)頂層位移減震率，其均值也達(dá)到12.57%。從以上結(jié)果可分析得到，PTRMD系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的控制效果是十分有效的。

圖5 受控結(jié)構(gòu)頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差Fig.5 Displacement standard deviation

圖6 受控結(jié)構(gòu)不同樓層位移方差最大值Fig.6 The maximum displacement variance

圖7 受控結(jié)構(gòu)層間位移方差最大值Fig.7 The maximum variance of interlayer displacement

圖8 減震率柱狀圖Fig.8 Shock absorption rate histogram

更詳細(xì)的計(jì)算結(jié)果列于表2中，包括受控和未受控結(jié)構(gòu)各層層間位移以及結(jié)構(gòu)頂層位移的峰值、中值和均值。數(shù)值結(jié)果對(duì)比也可看出PTRMD受控結(jié)構(gòu)各類型位移響應(yīng)均小于未受控結(jié)構(gòu)。

表2 不同樓層位移響應(yīng)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of displacement response results of different floors

3 隨機(jī)地震動(dòng)作用下的整體抗震可靠度分析

為了更深入的研究PTRMD 對(duì)結(jié)構(gòu)性能產(chǎn)生的影響，選取蒙特卡洛方法對(duì)PTRMD 系統(tǒng)和未受控結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行分析［17-19］。根據(jù)文中研究的振動(dòng)控制裝置的適用背景，以框架結(jié)構(gòu)的層間位移作為結(jié)構(gòu)整體可靠度的判別標(biāo)準(zhǔn)，由受控結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)作用下的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，求得各層層間位移標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)合給定的樓層各層層高可得到層間位移角響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，設(shè)為σθ，根據(jù)文獻(xiàn)［20］中可靠度計(jì)算公式：

式中：θb為框架結(jié)構(gòu)不同破壞要求下的層間位移角限制標(biāo)準(zhǔn)，而結(jié)構(gòu)失效概率則可寫為：

框架結(jié)構(gòu)層間位移角根據(jù)設(shè)防水準(zhǔn)的不同其極限值也有所不同，我們參考RC 框架結(jié)構(gòu)的可靠度標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置，表3［20］中列出了RC 框架結(jié)構(gòu)設(shè)防水準(zhǔn)為完好、輕微破壞、中等破壞和嚴(yán)重破壞等5個(gè)不同狀態(tài)時(shí)的層間位移角極限值，選擇輕微破壞時(shí)的層間位移角極限值作為可靠度和失效概率的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)。進(jìn)行隨機(jī)動(dòng)力分析的PTRMD 系統(tǒng)各項(xiàng)參數(shù)參考表1，將樣本數(shù)量為5 000 和樣本取點(diǎn)個(gè)數(shù)為1 024 的Kanai-Tajimi 譜作用于受控結(jié)構(gòu)得到隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，計(jì)算得到層間位移標(biāo)準(zhǔn)差并將標(biāo)準(zhǔn)差曲線列于圖9～圖10。

圖9 層間位移標(biāo)準(zhǔn)差Fig.9 The standard deviation of story-drift

圖10 層間位移標(biāo)準(zhǔn)差Fig.10 The standard deviation of story-drift

表3 RC框架結(jié)構(gòu)層間位移角限制標(biāo)準(zhǔn)Table 3 Limit standard for story-drift of RC frame structure

觀察層間位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖可發(fā)現(xiàn)，層間位移標(biāo)準(zhǔn)差最大值隨著樓層的增加逐漸減小，以輕微破壞設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)的層間位移角極限值作為標(biāo)準(zhǔn)，將各個(gè)曲線中的數(shù)據(jù)代入到式（4）和式（5）進(jìn)行計(jì)算，可得到各層的可靠度和失效概率，將得到的失效概率結(jié)果列于表4。

表4 結(jié)構(gòu)層間位移失效概率Table 4 Failure probability of story-drift

分析表中的數(shù)據(jù)可看出，第1 層未受控結(jié)構(gòu)失效概率比PTRMD 受控結(jié)構(gòu)高0.5×10-5，而第2 層結(jié)構(gòu)則從數(shù)據(jù)上表現(xiàn)出未受控失效概率低于受控結(jié)構(gòu)的情況，差值達(dá)到0.9×10-4。從第3 層開始受控結(jié)構(gòu)失效概率均要小于未受控結(jié)構(gòu)，且差值呈增大趨勢(shì)，第4層差值達(dá)到0.918×10-3，最后到第5層受控結(jié)構(gòu)失效概率為0。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ图霸囼?yàn)工況

試驗(yàn)的目的是為了在理論分析結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步驗(yàn)證PTRMD 裝置的有效性，在對(duì)該裝置的前期研究成果中已發(fā)現(xiàn)碰撞間距、質(zhì)量比的設(shè)置以及外部激勵(lì)頻率對(duì)PTRMD 的減振性能影響較大［21］，故整個(gè)試驗(yàn)工況設(shè)置分為以下4個(gè)方面：（1）PTRMD模型與PMD模型對(duì)比；（2）不同碰撞間距PTRMD模型對(duì)比；（3）不同質(zhì)量比PTRMD模型對(duì)比；（4）不同頻率激勵(lì)作用下PTRMD模型對(duì)比。

試驗(yàn)所使用的振動(dòng)臺(tái)儀器具體參數(shù)及各模型基本參數(shù)見表5，PMD 模型、PTRMD 模型及縮尺比例框架結(jié)構(gòu)模型外觀如圖11所示。分別選取簡(jiǎn)諧波和地震波作為試驗(yàn)激勵(lì)，其中地震波包括Cape波、El Centro波、Kobe波和North波，具體參數(shù)見表6。

表5 試驗(yàn)儀器及模型參數(shù)Table 5 Instrumental and model parameters

表6 地震波特性Table 6 The characteristics of each seismic wave

圖11 PMD模型、PTRMD模型及縮尺框架結(jié)構(gòu)模型Fig.11 PMD，PTRMD and frame structure

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

為了從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中分析出準(zhǔn)確的信息，根據(jù)工況及參數(shù)整理了以下試驗(yàn)結(jié)果，見圖12：

圖12 振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果Fig.12 Results of the shake table tests

圖12（續(xù)）Fig.12 （Continued）

（1）圖12（a）～（d）為4種不同地震波作用下，不同碰撞間距PTRMD 及平底的PMD 控制下的主結(jié)構(gòu)位移標(biāo)準(zhǔn)差減震率和峰值位移減震率。

首先，可觀察到標(biāo)準(zhǔn)差減震率并不是始終大于峰值減震率，Cape 波、El Centro 波和North 波工況下標(biāo)準(zhǔn)差減震率最大值均可達(dá)到0.45 以上，峰值減震率基本在0.03 以下；Kobe 波則表現(xiàn)出峰值減震率反而大于標(biāo)準(zhǔn)差減震率，其峰值減震率在0.025～0.3范圍內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)差減震率在-0.04～0.08范圍。

其次，碰撞間距對(duì)PTRMD 減震效果的影響的確十分明顯，但規(guī)律并不固定。Cape波和El Centro 波的峰值減震率最大值均出現(xiàn)在間距49 mm 時(shí)，Cape 波達(dá)到0.028；Kobe 波和North 波則在間距87 mm 時(shí)峰值減震率表現(xiàn)最好，Kobe波達(dá)到0.3，North波達(dá)到0.26。

最后，對(duì)比平底的PMD 減震率發(fā)現(xiàn)，除了El Centro 波作用下出現(xiàn)68mm 碰撞間距的PTRMD 峰值減震率低于PMD，其他工況下PTRMD 模型的峰值減震率均優(yōu)于PMD 模型。標(biāo)準(zhǔn)差減震率表現(xiàn)則有所差異，除El Centro 出現(xiàn)PMD 減震率最低的情況外，其他3 種波作用下，PMD 標(biāo)準(zhǔn)差減震率都較為優(yōu)秀。

（2）簡(jiǎn)諧波激勵(lì)下?lián)醢彘g距設(shè)置為68 mm，圖12（e）～（f）分別表現(xiàn)了激勵(lì)頻率變化影響效果及頻率比與質(zhì)量比耦合影響效應(yīng)。首先，圖12（e）可看出位移標(biāo)準(zhǔn)差與位移峰值變化趨勢(shì)一致，這一點(diǎn)符合簡(jiǎn)諧激勵(lì)特點(diǎn)；而激勵(lì)頻率對(duì)受控結(jié)構(gòu)位移影響明顯，最小位移出現(xiàn)在2.45 Hz，最大位移出現(xiàn)在2.30 Hz，差距達(dá)9 mm。

圖12（f）進(jìn)一步得到了3 種不同質(zhì)量比μ（小球質(zhì)量/主結(jié)構(gòu)質(zhì)量）PTRMD 模型峰值位移比，P為帶PTRMD 模型主結(jié)構(gòu)峰值位移，P0為未受控主結(jié)構(gòu)峰值位移。在頻率比1.0～1.05 范圍，3 條曲線均滿足質(zhì)量比越大位移比越大，即減振效果越明顯；與此同時(shí)，3 條曲線的最小值也都出現(xiàn)在頻率比1.025 位置處，說明PTRMD 也具備調(diào)諧阻尼器的共振耗能最優(yōu)特點(diǎn)；最后，可發(fā)現(xiàn)圖12（f）中μ=0.032時(shí)曲線發(fā)展較為平緩，說明質(zhì)量比較小時(shí)雖然無法獲得最優(yōu)的減振效果，但其對(duì)頻率的敏感度降低魯棒性得到提升。

5 結(jié)論

文中采用蒙特卡洛方法，研究了多自由度PTRMD 受控結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，并根據(jù)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果得到了，不同地震波激勵(lì)作用下碰撞間距對(duì)減震率影響過程以及簡(jiǎn)諧波激勵(lì)作用下頻率和質(zhì)量比等參數(shù)于減振率的相關(guān)曲線，通過對(duì)比分析可得出以下結(jié)論：

（1）頂層位移標(biāo)準(zhǔn)差、各層位移方差最大值及層間位移方差最大值的對(duì)比都表現(xiàn)出PTRMD 受控結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)小于未受控結(jié)構(gòu)，說明PTRMD裝置對(duì)隨機(jī)激勵(lì)引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)具有良好的控制效果。

（2）多自由度結(jié)構(gòu)1～3層的失效概率結(jié)果差異不大，從第4層開始PTRMD 受控結(jié)構(gòu)的失效概率開始逐漸小于未受控結(jié)構(gòu)，說明PTRMD 裝置的應(yīng)用不僅不會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度產(chǎn)生負(fù)面影響，還會(huì)隨著樓層的增加減小結(jié)構(gòu)的失效概率。

（3）試驗(yàn)結(jié)果表明，一般情況下PTRMD 對(duì)受控結(jié)構(gòu)位移幅值控制效果要優(yōu)于PMD 裝置，最優(yōu)碰撞間距的設(shè)置也會(huì)受到激勵(lì)特征的影響；質(zhì)量比越大獲得的最優(yōu)減振率越高，質(zhì)量比越小則裝置對(duì)頻率的敏感度越低，所以在具體的參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)要考慮減振率與魯棒性之間的平衡協(xié)調(diào)。