雙邊定數(shù)截尾下Pareto分布的Bayes估計(jì)

劉 芹，周菊玲

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

在可靠性分析與壽命分析等領(lǐng)域中，常會出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失的情形，而雙邊定數(shù)截尾數(shù)據(jù)是一種特殊的缺失數(shù)據(jù)，其模型為：在可靠性實(shí)驗(yàn)中假定選取n個產(chǎn)品投入實(shí)驗(yàn)，直到r個產(chǎn)品失效時(shí)終止實(shí)驗(yàn)，設(shè)觀察到的次序失效數(shù)據(jù)為x1≤x2≤…≤xr。在實(shí)際問題中，由于實(shí)驗(yàn)手段等其他因素的影響，導(dǎo)致有些數(shù)據(jù)未被觀察到。假設(shè)前s-1個數(shù)據(jù)丟失，則剩下的次序數(shù)據(jù)xs≤xs+1≤…≤xr，1≤s≤r≤n，此數(shù)據(jù)即為雙邊定數(shù)截尾樣本。對于此類樣本，有不少學(xué)者對其展開了研究，李艷玲[1]研究了雙參數(shù)指數(shù)分布在雙邊定數(shù)截尾下的貝葉斯預(yù)測問題，郭紅瑩等[2]、鄧嚴(yán)林[3]在雙邊定數(shù)截尾下分別研究了Burr分布、Topp-Leone分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，田霆[4]在雙邊定數(shù)截尾下討論了Weibull分布兩參數(shù)的聯(lián)合置信區(qū)間。

Pareto分布是一種重要的壽命分布，具有遞減的失效函數(shù)，因此常被應(yīng)用于個人收入、股票價(jià)格的波動、保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)等模型。該分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)為：

(1)

式中：a>0，θ>0，a為尺度參數(shù)，θ為形狀參數(shù)。近年來關(guān)于Pareto分布的研究有很多，例如，李如兵等[5]在移動極值排序集抽樣下，針對共軛先驗(yàn)和杰弗萊先驗(yàn)，研究了Pareto分布形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)；周巧娟等[6]基于定數(shù)截尾數(shù)據(jù)，在復(fù)合Mlinex損失下，研究了Pareto分布參數(shù)的穩(wěn)健Bayes估計(jì)；劉璐等[7]在定數(shù)截尾試驗(yàn)時(shí)，給出了Pareto分布參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間，使得估計(jì)更加精確；Han等[8]在不同損失函數(shù)下研究了Pareto分布形狀參數(shù)的E-Bayes估計(jì)及其均方誤差。本文在前面學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，基于雙邊定數(shù)截尾樣本研究Pareto分布在LINEX損失函數(shù)和復(fù)合LINEX函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)問題。

1 預(yù)備知識

在Bayes統(tǒng)計(jì)決策中，無信息先驗(yàn)分布和共軛先驗(yàn)分布是兩種常用的先驗(yàn)分布，Pareto分布參數(shù)的這兩類先驗(yàn)分布有如下形式：

(2)

(3)

對于雙邊定數(shù)截尾樣本，當(dāng)產(chǎn)品服從Pareto分布時(shí)，記x=(xs，xs+1，…，xr)，則由文獻(xiàn)[2]知樣本(xs，xs+1，…，xr)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：

(4)

將(1)式帶入式(4)得到

(5)

2 參數(shù)的Bayes估計(jì)

2.1 LINEX損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)

取LINEX損失函數(shù)

Lc(θ，δ)=ec(θ-δ)-c(θ-δ)-1，c≠0

(6)

這里討論c>0的情況。

引理1 在LINEX損失函數(shù)下，對于任意先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes估計(jì)為

(7)

且若此估計(jì)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)有限，則它是唯一的Bayes估計(jì)。

定理1 設(shè)X=(X1，X2，…,Xn)是服從Pareto分布的簡單隨機(jī)樣本，在LINEX損失函數(shù)下，有以下兩種情況

(8)

(9)

證(i)由(2)和(5)式，根據(jù)Bayes公式可得θ在無信息先驗(yàn)分布下的后驗(yàn)分布

(10)

式(10)的分母可化為

由引理1可知，在無信息先驗(yàn)分布下參數(shù)的Bayes估計(jì)為

(ii)由(3)和(5)式，根據(jù)Bayes公式可得參數(shù)θ在共軛先驗(yàn)分布下的后驗(yàn)分布為

(11)

由引理1可知在共軛先驗(yàn)分布下參數(shù)的Bayes估計(jì)為

2.2 復(fù)合LINEX損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)

復(fù)合LINEX損失函數(shù)的表達(dá)式為

L(θ，δ)=L-c(θ，δ)+Lc(θ，δ)=e-c(θ-δ)+ec(θ-δ)-2，c>0

引理2 在復(fù)合LINEX損失函數(shù)下，對任意先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes估計(jì)為

(12)

定理2 設(shè)X=(X1，X2，…,Xn)是服從Pareto分布的簡單隨機(jī)樣本，在復(fù)合LINEX損失函數(shù)下，有以下兩種情況

(13)

(14)

由引理2，類似定理1 的證明過程即可證得。

3 數(shù)值模擬

表1 模擬結(jié)果

由表1可知，在同一個損失函數(shù)下，對比兩先驗(yàn)先分布下參數(shù)估計(jì)的均方誤差，發(fā)現(xiàn)共軛先驗(yàn)分布下參數(shù)估計(jì)的均方誤差較小，因此參數(shù)θ取共軛先驗(yàn)分布時(shí)，參數(shù)的Bayes估計(jì)更接近真值；在同一個先驗(yàn)分布下，LINEX損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)的均方誤差較小，同時(shí)在LINEX損失下，參數(shù)θ取共軛先驗(yàn)分布時(shí)，參數(shù)的Bayes估計(jì)模擬效果更好。

4 實(shí)例分析

Arnold在其著作中給出了一組服從Pareto分布的數(shù)據(jù)。 50名高爾夫球手收入超過70 000美元，他們到1980年為止的收入為3581、1690、1433、1184、1066、1005、883、841、778、753、2474、1684、1410、1171、1056、1001、878、825、778、746、2202、1627、1374、1109、1051、965、871、820、771、729、1858、1537、1338、1095、1031、944、849、816、769、712、1829、1519、1208、1092、1016、912、844、814、759、708美元，且這些數(shù)據(jù)服從尺度參數(shù)a≈703，形狀參數(shù)θ≈2.23的Pareto分布。

首先將上述數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，然后利用R軟件根據(jù)這組數(shù)據(jù)選取其中符合要求的部分進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。這里僅考慮在不同損失函數(shù)下先驗(yàn)分布選Γ分布的參數(shù)估計(jì)，設(shè)c=10，α=100，β=100。結(jié)果如表2所示。

表2 形狀參數(shù)的Bayes估計(jì)

由表2可知，當(dāng)樣本量一定并且先驗(yàn)分布選Γ分布時(shí)，參數(shù)在LINEX損失下估計(jì)的偏差最小，此時(shí)的參數(shù)估計(jì)效果較好，且與數(shù)值模擬的結(jié)果一致。

5 結(jié)論

雙邊定數(shù)截尾是一種在可靠性試驗(yàn)中會遇到的特殊截尾數(shù)據(jù)。本文在雙邊定數(shù)截尾場合下，基于LINEX損失函數(shù)和復(fù)合LINEX損失函數(shù)，采用Bayes估計(jì)的方法對Pareto分布中的形狀參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在無信息先驗(yàn)分布和Γ先驗(yàn)分布下，將不同損失函數(shù)下參數(shù)的Bayes估計(jì)與其真值進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明，在LINEX損失下，選用Γ先驗(yàn)分布時(shí)，參數(shù)估計(jì)更接近真值，并且通過實(shí)例也驗(yàn)證了此結(jié)論。