ESSM和Tone方法在熔鹽堆共振計(jì)算中的適用性分析

戴 明張 奧,2程懋松,2

1（中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800）

2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

熔鹽堆采用高溫熔融鹽作為燃料，流動(dòng)的液態(tài)燃料分布于石墨構(gòu)件通道或縫隙、導(dǎo)管外圍、下降環(huán)腔和上下腔室等位置，復(fù)雜的燃料位置分布給共振計(jì)算帶來(lái)了新挑戰(zhàn)。隨著計(jì)算機(jī)算力不斷提高，采用二維全堆模型加工熔鹽堆少群截面成為一種可行方案，這要求共振計(jì)算方法適合處理二維全堆級(jí)問(wèn)題，同時(shí)能考慮堆芯徑向復(fù)雜的燃料位置分布、溫度分布［1］的影響，且具有良好計(jì)算效率［2］。

增強(qiáng)中子流方法［3］結(jié)合傳統(tǒng)的等價(jià)理論或者全局-局部耦合方法［4］是處理壓水堆全堆級(jí)共振計(jì)算的常用方法，上述方法使用Dancoff因子修正，存在幾何模型局限性?？紤]到熔鹽堆中流動(dòng)燃料的位置分布復(fù)雜，本文重點(diǎn)研究不依賴于Dancoff因子修正且適合于復(fù)雜幾何的全堆級(jí)共振計(jì)算方法，包括子群法、嵌入式自屏法（Embedded Self-Shielding Method，ESSM）和Tone方法。子群法能有效處理空間共振自屏，也能用于非均勻溫度分布問(wèn)題［5］。Tone方法［6］是針對(duì)快堆于1975年提出的基于細(xì)群或超細(xì)群的共振計(jì)算方法，SARAX軟件系統(tǒng)使用該方法用于快譜段共振計(jì)算［7］。ESSM方法［8］于2011年提出，Tone和ESSM都是基于等價(jià)理論的迭代式求解方法，在壓水堆中的應(yīng)用已有相關(guān)研究，包括使用均勻共振積分表［9?10］或非均勻共振積分表［11?13］。在特定堆型的數(shù)值堆中，使用非均勻共振積分表的ESSM和Tone方法能夠同時(shí)兼顧計(jì)算效率和精度?？紤]到方法的適用范圍，本文重點(diǎn)研究基于均勻共振積分表的ESSM和Tone方法。

基于均勻共振積分表的ESSM或Tone方法需要 較 精 細(xì) 的 能 群 結(jié) 構(gòu) 來(lái) 保 證 計(jì) 算 精 度［9?10］，如SHEM295和SHEM361能群結(jié)構(gòu)。SHEM295能群結(jié)構(gòu)下ESSM和Tone方法能得到相近的結(jié)果，且計(jì)算效率優(yōu)于子群法，但計(jì)算精度明顯差于子群法［9］。Mao和Zmijarevic提出一種新的Tone方法［10］，在SHEM361能群結(jié)構(gòu)下可獲得與子群法接近的計(jì)算精度。精度改進(jìn)可能來(lái)源于兩方面的原因：一是SHEM361中4.6~22.5 eV內(nèi)能群結(jié)構(gòu)細(xì)化，因?yàn)镾HEM295來(lái) 源于增大SHEM361的4.6~22.5 eV內(nèi)能群勒寬；二是新Tone方法采用帶子群參數(shù)的擬合公式計(jì)算有效截面?？紤]到新Tone方法并沒(méi)有計(jì)算各子群的通量分布，而使用擬合公式和直接插值沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，實(shí)際的精度改進(jìn)來(lái)源于采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)。因此，本文將驗(yàn)證SHEM361能群結(jié)構(gòu)下采用直接插值法的ESSM和Tone方法在熔鹽堆柵元共振計(jì)算的精度。

考慮溫度分布的共振計(jì)算是個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，高精度的求解需要采用基于連續(xù)通量的蒙特卡羅方法或基于溫度擾動(dòng)（Temperature Perturbation Technique，TPT）的超細(xì)群碰撞概率法［14］。由于上下腔室打混或?qū)Я靼宓拇嬖冢谡９r下熔鹽堆堆芯徑向溫度分布較均勻，但不排除極端堵塞情況下出現(xiàn)較大差異［15］?？紤]到全堆級(jí)共振計(jì)算的規(guī)模，本文研究基于等價(jià)理論來(lái)近似考慮溫度分布的影響。Tone方法的均勻截面假設(shè)［16?17］在理論上不適合帶溫度分布共振計(jì)算，但文獻(xiàn)［9］中對(duì)于帶溫度分布算例的Tone方法計(jì)算結(jié)果精度與ESSM方法及均勻溫度下的基本相同。文獻(xiàn)［10］中新Tone方法并不需要求解子群方程，計(jì)算時(shí)可同時(shí)使用不同溫度下子群參數(shù)的擬合公式，然而該研究沒(méi)有評(píng)估新Tone方法對(duì)存在溫度分布的燃料棒計(jì)算精度。因此，本文也將評(píng)估SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于等價(jià)理論的ESSM和Tone方法是否適合帶溫度分布下熔鹽堆共振計(jì)算。本文提出了Tone-N方法，它通過(guò)額外引入兩個(gè)固定源方程來(lái)考慮其它燃料區(qū)影響。

基于ThorLAT柵格計(jì)算程序［18］，本研究設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)了使用均勻共振積分表的子群法、ESSM、Tone和Tone-N共振計(jì)算方法。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)，首先通過(guò)VERA組件基準(zhǔn)題驗(yàn)證共振計(jì)算方法實(shí)施的正確性，然后針對(duì)均勻溫度或存在溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元進(jìn)行計(jì)算及分析，包括與能群數(shù)更少的XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果對(duì)比，來(lái)初步驗(yàn)證SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于均勻共振積分表插值的ESSM和Tone方法對(duì)于熔鹽堆的適用性。

1 共振計(jì)算理論

1.1 子群法

在共振能區(qū)采用窄共振近似，中子通量可表示為：

式中：σp，r為共振核素的勢(shì)散射截面；σb為背景截面；σ為共振核素的有效總截面。

由式（1）可知，中子通量隨有效總截面的改變將遠(yuǎn)小于其隨能量的改變，它是共振核素總截面的平滑函數(shù)。子群法即將中子通量對(duì)能量的積分轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)有效截面的積分，該平滑函數(shù)可表式為離散形式：

式中：p為能群g內(nèi)有效截面的概率密度；ωk為子群k權(quán)重；σk為子群k截面；φk為子群k通量；K為能群g內(nèi)的子群數(shù)。子群權(quán)重和子群截面又被稱為子群參數(shù)。

單個(gè)共振核在共振能區(qū)的多區(qū)慢化方程為：

采用統(tǒng)計(jì)共振模型，結(jié)合子群定義式（2），共振核素的微觀散射源可表示為：

將式（4）代入式（3），子群k的慢化方程可表示為：

式中：Σ+為非共振核素的宏觀總截面；Σk為共振核素子群k的總截面為共振核素子群l的微觀散射截面。

可通過(guò)迭代求解式（5）內(nèi)子群通量，然后通過(guò)并群均勻化得到有效截面：

這套方法的前提條件是確定式（4）中子群參數(shù)，并期望它們與背景截面無(wú)關(guān)，從而能適用于不同的幾何模型?？紤]無(wú)限均勻介質(zhì)，式（5）可直接給出通量的表達(dá)式，將其代入式（6），可得到有效截面與背景截面的關(guān)系：

由多群數(shù)據(jù)庫(kù)可得到共振核素位于無(wú)限均勻介質(zhì)內(nèi)在給定離散背景截面點(diǎn)的有效截面，基于上述離散表點(diǎn)可采用帕德近似擬合得到與背景截面無(wú)關(guān)的子群參數(shù)。在實(shí)際非均勻系統(tǒng)求解時(shí)，共振核素背景截面不需要顯式求解，直接使用式（6）得到有效截面。

1.2 ESSM方法

根據(jù)等價(jià)理論構(gòu)建均勻共振積分表時(shí)，在背景截面σe，g下NJOY求解的無(wú)限均勻介質(zhì)的慢化方程為：

將式（4）中的統(tǒng)計(jì)共振模型代入式（3），并對(duì)能群g、立體角和體積進(jìn)行積分，可得：

然后將式（8）右邊共振核素的微觀散射源同樣采用統(tǒng)計(jì)共振模型。令式（8）和（9）等價(jià)，可得到背景截面σe，g的表達(dá)式：

先假設(shè)通量、有效總截面及有效散射截面，通過(guò)式（3）得到該共振能群的通量φ(r)g，再通過(guò)式（10）得到背景截面，根據(jù)等價(jià)理論可插值得到新的有效總截面及散射截面，該過(guò)程迭代至通量收斂。

1.3 Tone方法

使用碰撞概率法表示式（3）：

式中：Pij(u)為區(qū)域i產(chǎn)生的中子在區(qū)域j發(fā)生首次碰撞的概率。

共振核素的微觀散射源采用式（4）中的統(tǒng)計(jì)共振模型，假設(shè)同一燃料區(qū)Gx內(nèi)的任意平源區(qū)j和i的共振核素微觀散射源相等［9］：

把式（12）代入式（11），并利用碰撞概率的互易關(guān)系，可得：

式（13）右邊第二項(xiàng)表示位于其他燃料區(qū)的該共振核素對(duì)于燃料區(qū)Gx的貢獻(xiàn)。

Tone方法引入一個(gè)關(guān)鍵近似，即碰撞概率的精細(xì)能群相關(guān)性只與碰撞發(fā)生的目標(biāo)平源區(qū)i相關(guān)，可表示為：

根據(jù)碰撞概率的互易性及守恒性，可推出該近似的精細(xì)能群相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式，有：

結(jié)合式（13）、（14）和（15），可得：

其中：

對(duì)比式（16）和（8），可知式（16）與構(gòu)建均勻共振積分表時(shí)NJOY通量求解器求解得到的通量表達(dá)式相似。

Tone方法采用均勻截面假設(shè)，即對(duì)于所有燃料區(qū)該共振核素的微觀散射源和總微觀截面都取為待求燃料區(qū)Gx的值，αi(u)與βi(u)即反映該假設(shè)的影響，采用該假設(shè)后αi(u)與βi(u)等于0，式（16）與（8）等價(jià)，結(jié)合碰撞概率的互易性，式（16）中背景截面可表示為：

觀察式（17），它的分子和分母與碰撞概率法的一般通量表達(dá)式相似（比如式（11）），因此可通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)固定源輸運(yùn)方程將Tone方法推廣到任意輸運(yùn)求解方法。這兩個(gè)固定源輸運(yùn)方程可表示為：

求解式（18）后，式（17）可表示為：

與ESSM類似，在式（19）得到背景截面后，通過(guò)均勻共振積分表插值得到有效總截面，然后再次求解式（18）更新背景截面，該過(guò)程迭代至通量收斂。

1.4 Tone-N方法

對(duì)于多燃料區(qū)，為評(píng)估不同燃料間的相互影響，避免Tone方法中均勻截面假設(shè)，本文提出了Tone-N方法。式（16）對(duì)能群g積分：

其中：

為求αi g和βi g，與（18）式類似，可額外引入兩個(gè)固定源方程進(jìn)行求解，這兩個(gè)固定源方程的源項(xiàng)為：

與式（19）類似，可用上述固定源方程求解的通量來(lái)表示αi g和βi g：

2 共振計(jì)算的實(shí)現(xiàn)

上述共振方法可歸結(jié)到一套計(jì)算流程來(lái)實(shí)現(xiàn)。引入非共振核素的輸運(yùn)修正，上述共振方法可統(tǒng)一寫成如下單共振核素慢化方程形式：

表1 子群法、ESSM、Tone和Tone-N在慢化方程上的差異Table 1 Difference in neutron slowing-down equations for different methods

式（24）的迭代求解流程如圖1所示，并在ThorLAT［18］柵格程序中實(shí)現(xiàn)。首先從多群數(shù)據(jù)庫(kù)中通過(guò)溫度插值得到相應(yīng)溫度的各背景截面下的有效截面。子群法采用帕德近似擬合得到子群參數(shù)。然后，針對(duì)單共振核素假設(shè)進(jìn)行所有共振核素的內(nèi)迭代及外迭代循環(huán)。

式（24）求解時(shí)需要計(jì)算相關(guān)的系數(shù)矩陣，如果采用碰撞概率法，則計(jì)算碰撞概率矩陣；如果采用代數(shù)壓縮加速方法（Algebraic Collapsing Acceleration，ACA）［18］的 源 項(xiàng) 孤 立 特 征 線 方 法（Method Of Characteristics，MOC），則計(jì)算ACA系數(shù)矩陣及自碰撞因子。由于子群截面是固定的，內(nèi)迭代時(shí)子群法的系數(shù)矩陣只求解一次即可，而ESSM、Tone和Tone-N方法需要更新有效截面，系數(shù)矩陣需要不斷更新，這增加了時(shí)間開(kāi)銷。由于Tone和Tone-N方法的多個(gè)固定源方程系數(shù)矩陣相同，只需要針對(duì)一個(gè)固定源方程求解。如果采用ACA加速的MOC方法，由于ACA加速是預(yù)處理的綜合加速方法，可以不更新ACA系數(shù)矩陣，能節(jié)省時(shí)間且不影響計(jì)算精度。

求解慢化方程時(shí)，先假設(shè)初始通量，并取無(wú)限稀釋截面為初始有效截面，通過(guò)表1中的源項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算相應(yīng)源項(xiàng)，然后求解式（24）來(lái)更新通量。ESSM或Tone方法分別采用式（10）或式（19）計(jì)算背景截面，Tone-N方法采用式（21）和式（23）計(jì)算背景截面，通過(guò)插值更新相應(yīng)的有效總截面或散射截面。該內(nèi)迭代過(guò)程直至式（24）求解的通量收斂。式（24）求解時(shí)所有共振能群統(tǒng)一求解，能有效減少M(fèi)OC方法讀取特征線的次數(shù)，提高求解效率。

本文中燃料區(qū)由不同的材料號(hào)區(qū)分，每個(gè)材料會(huì)指定相應(yīng)溫度。在ESSM、Tone和Tone-N方法中，溫度分布直接對(duì)應(yīng)到材料的溫度，每個(gè)燃料區(qū)將使用溫度相關(guān)的共振積分表來(lái)插值計(jì)算有效截面，從而近似考慮溫度分布的影響。在子群法中，由于不同溫度下共振核素的子群參數(shù)并不相同，所有溫度點(diǎn)不能同時(shí)求解。一種方式是把不同溫度點(diǎn)當(dāng)成不同的共振核素，按式（24）的單共振核素假設(shè)來(lái)迭代計(jì)算處理，即所謂的不相關(guān)模型；另一種方式是采用全相關(guān)模型［5］，即引入一個(gè)所有溫度點(diǎn)的循環(huán)（如圖1所示），在求解當(dāng)前溫度點(diǎn)核素時(shí)，其他溫度點(diǎn)的核素都使用當(dāng)前溫度點(diǎn)的子群參數(shù)，但源項(xiàng)保留自身的散射源，該散射源可來(lái)自上次外迭代計(jì)算。全相關(guān)模型即求解如下慢化方程：

圖1 實(shí)現(xiàn)Subgroup、ESSM、Tone和Tone-N方法的集成計(jì)算流程Fig.1 Integrated calculation process for implementation of subgroup,ESSM,Tone and Tone-N methods

不相關(guān)模型和全相關(guān)模型的計(jì)算量是相同的，都增加了溫度點(diǎn)迭代，會(huì)比ESSM或Tone方法更加耗時(shí)。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 VERA組件基準(zhǔn)題

本文選取部分VERA組件基準(zhǔn)題［19］對(duì)ThorLAT中不同共振計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證，包括1/8 VERA-2A、VERA-2F、VERA-4A-2D、1/8 VERA-4B-2D以及1/8 VERA-4C-2D，其中VERA-2為17×17燃料棒組成的單組件模型，而VERA-4-2D為3×3組件組合模型?；鶞?zhǔn)題參考結(jié)果數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)［19］。所選基準(zhǔn)題包括可燃毒物、AIC控制棒和B4C控制棒模型，能更全面驗(yàn)證共振計(jì)算方法的正確性，并覆蓋不同求解規(guī)模來(lái)分析各共振計(jì)算方法效率。所有模型采用12線程并行計(jì)算，計(jì)算平臺(tái)CPU為2.20 GHz的Intel至強(qiáng)銀牌4214。微觀截面庫(kù)選用由ENDF/B-VII.1加工的SHEM361能群結(jié)構(gòu)的Draglib數(shù)據(jù)庫(kù)［20］。求解時(shí)設(shè)定極角數(shù)為4，方位角數(shù)為64，特征線間距為0.025 cm，采用材料網(wǎng)格代數(shù)歸并加速方法（Material-Mesh Algebraic Collapsing Acceleration，MMACA）［18］加速M(fèi)OC源迭代。Subgroup方法在子群并群均勻化時(shí)采用SPH因子修正。

表2列出了ThorLAT中不同共振計(jì)算方法對(duì)VERA基準(zhǔn)題的計(jì)算結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知，三種共振計(jì)算方法的keff及棒功率分布與基準(zhǔn)題的SCALE參考解符合較好，最大keff偏差為223×10-5，出現(xiàn)在子群法計(jì)算AIG控制棒插入的VERA-4B-2D模型，最大功率偏差出現(xiàn)在B4C控制棒插入的VERA-4C-2D模型，約為2%，三種共振計(jì)算方法精度相當(dāng)。在求解效率方面，Tone方法與ESSM方法耗時(shí)接近，且明顯優(yōu)于子群法，共振計(jì)算時(shí)間降低約55%。

表2 ThorLAT中不同共振計(jì)算方法對(duì)VERA基準(zhǔn)題計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of VERA benchmark problems by using different resonance calculation methods in ThorLAT

3.2 通道式熔鹽堆燃料柵元

以通道式熔鹽堆的燃料柵元為對(duì)象，計(jì)算了三個(gè)算例：均勻溫度的單燃料區(qū)、均勻溫度的10燃料區(qū)和帶溫度分布的10燃料區(qū)，如圖2所示。燃料柵元中熔鹽通道半徑為2 cm，對(duì)邊距為10 cm。材料成分如表3所示。計(jì)算時(shí)忽略了溫度對(duì)材料密度的影響。均勻溫度算例的溫度設(shè)定為900 K。如圖2所示，三個(gè)算例具有相同等體積劃分的平源區(qū)。參考解來(lái)自蒙特卡羅程序OpenMC［21］計(jì)算。ThorLAT和OpenMC使用的數(shù)據(jù)庫(kù)都來(lái)源于ENDF/BVIII.0。

表3 通道式熔鹽堆燃料柵元各材料的核素原子密度Table 3 Nuclide atomic densities of the materials in the fuel lattice of the channel-type MSR

圖2 通道式熔鹽堆燃料柵元計(jì)算模型Fig.2 Models for the fuel lattice of a channel-type MSR

3.2.1 Subgroup、ESSM和Tone共振計(jì)算法對(duì)比

不同共振方法計(jì)算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果如表4所列，其中Subg1為不相關(guān)模型子群法，Subg2為全相關(guān)模型子群法。對(duì)于均勻溫度算例，ThorLAT的計(jì)算結(jié)果與OpenMC參考解符合良好。最大keff偏差為1.80×10-3，U-238最大吸收截面偏差不超過(guò)3.35%，最大的U-238總吸收率偏差為1.84%。U-235最大吸收截面偏差較大，但U-235總吸收率偏差只有0.86%。與VERA基準(zhǔn)題的結(jié)論相似，子群法、ESSM和Tone三個(gè)方法的計(jì)算精度相當(dāng)。均勻溫度的10燃料區(qū)算例的計(jì)算結(jié)果與均勻溫度的單燃料區(qū)的非常接近，說(shuō)明無(wú)溫度分布下進(jìn)一步增加燃料區(qū)對(duì)計(jì)算精度影響有限。圖3具體給出了均勻溫度的10燃料區(qū)算例中各燃料區(qū)及各共振能群的U-238吸收率偏差分布。ESSM和Tone方法的偏差分布相似，進(jìn)一步體現(xiàn)兩種方法精度相當(dāng)。在30 eV的U-238共振峰處，兩種方法會(huì)高估燃料區(qū)內(nèi)部反應(yīng)率，而子群法計(jì)算更準(zhǔn)確，但從表4可知，該共振峰處偏差對(duì)總吸收率的影響較小。

圖3 均勻溫度的10燃料區(qū)算例中U-238吸收率偏差分布Fig.3 Error distributions of U-238 absorption rates for case with 10 fuel zones and the uniform temperature distribution

表4 不同共振方法計(jì)算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果對(duì)比Table 4 Fuel zone homogenized results for different methods

當(dāng)燃料區(qū)存在溫度分布時(shí)，子群法的精度要低于ESSM和Tone方法。全相關(guān)模型子群法中U-238的最大吸收截面偏差及共振能群最大通量偏差較大，超過(guò)了40%。不相關(guān)模型的子群法中U-238總吸收率偏高5.60%，導(dǎo)致keff偏低了3.45×10-3。ESSM和Tone方法計(jì)算結(jié)果相似，U-238最大吸收截面偏差分別為2.02%和1.35%，U-238總吸收率偏差分別為1.01%和0.87%，U-235總吸收率偏差分別為0.52%和0.51%，這說(shuō)明基于等價(jià)理論的ESSM和Tone方法能較好地處理溫度分布下共振計(jì)算。圖4給出了詳細(xì)的帶溫度分布的10燃料區(qū)算例下U-238吸收率偏差分布。ESSM方法在低能段共振區(qū)稍優(yōu)于Tone方法，但表4中結(jié)果表明總體上兩種方法計(jì)算精度相似。采用不相關(guān)模型的子群法會(huì)明顯高估低能段U-238的吸收率，而采用全相關(guān)模型的子群法會(huì)嚴(yán)重低估低能區(qū)相關(guān)共振峰處（36.8 eV、66.2 eV、103.0 eV和190.2 eV）的U-238吸收率，特別是燃料區(qū)內(nèi)部區(qū)域，從而影響子群法處理溫度分布問(wèn)題的計(jì)算精度。

圖4 帶溫度分布的10燃料區(qū)帶算例中U-238吸收率偏差分布Fig.4 Error distributions of U-238 absorption rates for case with 10 fuel zones and the nonuniform temperature distribution

表4列出三種共振計(jì)算方法的計(jì)算時(shí)間。ESSM和Tone方法計(jì)算時(shí)間接近，且明顯少于子群法的計(jì)算時(shí)間。圖5給出了這三種方法每個(gè)共振能群的方程數(shù)及內(nèi)迭代求解次數(shù)。子群法方程數(shù)最多且迭代次數(shù)最多，因此計(jì)算耗時(shí)最長(zhǎng)。Tone方法方程數(shù)比ESSM的多一倍，但它迭代次數(shù)最小，所以它的計(jì)算時(shí)間與ESSM接近。由圖5可知Tone方法具有最優(yōu)的迭代穩(wěn)定性。均勻溫度的10燃料區(qū)算例中，需要進(jìn)行插值的燃料區(qū)數(shù)增加了10倍，導(dǎo)致ESSM和Tone方法的計(jì)算時(shí)間增加。當(dāng)存在溫度分布時(shí)，子群法需要引入溫度點(diǎn)循環(huán)，而ESSM和Tone方法計(jì)算時(shí)間基本不變，體現(xiàn)了ESSM和Tone方法在處理溫度分布共振計(jì)算時(shí)顯著的效率優(yōu)勢(shì)。

圖5 不同共振方法的各共振能群方程數(shù)及內(nèi)迭代求解次數(shù)Fig.5 Number of equations and iterations in each resonant group for different methods

3.2.2 Tone-N與Tone結(jié)果對(duì)比

表5列出了Tone-N方法對(duì)通道式熔鹽堆的燃料柵元算例的計(jì)算結(jié)果。與表4中Tone方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，無(wú)論是否有多燃料區(qū)存在，Tone-N方法得到的結(jié)果與Tone方法的基本一致，Tone-N方法求解的方程數(shù)是Tone方法的兩倍，因而計(jì)算更耗時(shí)。圖6給出了帶溫度分布算例中Tone-N計(jì)算的U-238微觀吸收截面與Tone方法的相對(duì)偏差，兩者的結(jié)果只在低能段幾個(gè)共振峰處有較小偏差。由于空間自屏效應(yīng)，內(nèi)部區(qū)域的截面低于外部區(qū)域，Tone-N方法避免了均勻截面假設(shè)，內(nèi)部區(qū)域計(jì)算時(shí)會(huì)考慮外部區(qū)域更大截面的影響，將得到更大的背景截面，使得計(jì)算的吸收截面比Tone方法高。同理，Tone-N計(jì)算的外部區(qū)域截面比Tone方法偏低。以上結(jié)果說(shuō)明Tone方法中均勻截面假設(shè)影響較小，驗(yàn)證了該假設(shè)的合理性。

圖6 在帶溫度分布算例中Tone-N計(jì)算的U-238微觀吸收截面與Tone方法的偏差Fig.6 Deviations of U-238 absorption cross sections calculated by using Tone-N and Tone’s method for the case with 10 fuel zones and the nonuniform temperature distribution

表5 Tone-N方法計(jì)算得到的燃料區(qū)均勻化結(jié)果Table 5 Fuel zone homogenized results obtained with the Tone-N methods

3.2.3 XMAS172和SHEM361計(jì)算結(jié)果比較

為評(píng)估較少能群下各類共振方法的計(jì)算精度，選取開(kāi)源XMAS172能群結(jié)構(gòu)的Draglib數(shù)據(jù)庫(kù)，并對(duì)帶溫度分布的10燃料區(qū)算例進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如表6所示。全相關(guān)模型子群法相比于其它方法精度較高，特別是keff和U-238總吸收率偏差。ESSM、Tone或Tone-N在172群下偏差較大，keff偏差達(dá)到5.00×10-3以上，U-238最大吸收截面偏差達(dá)到9%左右。

表6 XMAS172能群結(jié)構(gòu)下帶溫度分布的10燃料區(qū)算例的燃料區(qū)均勻化計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 6 Fuel-zone homogenized Results in the XMAS172 energy group structure for the case with 10 fuel zones and nonuniform temperature distribution

為進(jìn)一步說(shuō)明增加能群數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響，以Tone方法為例，對(duì)比了兩種能群結(jié)構(gòu)下最內(nèi)圈U-238吸收截面偏差分布，如圖7所示。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果。下面分三個(gè)能段進(jìn)行討論：

1）22.5 eV以 下 能 區(qū)。6.2~7.5 eV和19.5~22.6 eV這兩個(gè)共振能群的U-238吸收率占共振能區(qū)總吸收率60%左右，采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)時(shí)這兩群的計(jì)算偏差較大，嚴(yán)重影響計(jì)算精度，但在SHEM361能群結(jié)構(gòu)中這兩個(gè)能群由于采用能群細(xì)分不再屬于共振能區(qū)，這能有效處理該能段內(nèi)空間自屏、不同共振核素或同一共振核素不同溫度下共振峰間干涉效應(yīng)。

2）22.5 ~400.0 eV的可分辨共振區(qū)。SHEM361能群結(jié)構(gòu)下Tone方法對(duì)于能譜緩慢變化能區(qū)結(jié)果符合較好，但對(duì)于能譜畸變位置存在一定偏差。由于通量畸變處能群勒寬較小，這對(duì)總吸收率影響有限，進(jìn)而對(duì)計(jì)算精度影響較小。Tone方法采用式（14）的近似來(lái)簡(jiǎn)化共振峰內(nèi)精細(xì)譜的碰撞概率，進(jìn)而得到與精細(xì)譜無(wú)關(guān)的背景截面表達(dá)式，導(dǎo)致求解背景截面時(shí)無(wú)法準(zhǔn)確考慮精細(xì)譜的影響，造成XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果偏差較大。為減少該近似帶來(lái)的偏差，可通過(guò)增加能群數(shù)得到更逼近精細(xì)譜的能譜結(jié)構(gòu)，比如采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果。這也是采用XMAS172能群結(jié)構(gòu)的子群法結(jié)果優(yōu)于Tone方法的原因，因?yàn)樽尤悍ㄍㄟ^(guò)概率表方式能近似體現(xiàn)具有較大勒寬共振能群的能譜信息。

3）400.0 eV以上的共振能區(qū)。Tone方法在兩種能群結(jié)構(gòu)中都能給出較好結(jié)果。ESSM方法同樣能得到圖7類似結(jié)果。綜上所述，在可分辨共振能區(qū)增加能群數(shù)可得到更逼近精細(xì)譜的能譜結(jié)構(gòu)，從而有效改進(jìn)ESSM和Tone方法的計(jì)算精度。

圖7 帶溫度分布算例中最內(nèi)圈計(jì)算結(jié)果(a)和(b)分別是采用XMAS172或SHEM361能群結(jié)構(gòu)時(shí)Tone方法計(jì)算的U-238吸收截面偏差，(c)和(d)分別是OpenMC計(jì)算的針對(duì)XMAS172或SHEM361能群結(jié)構(gòu)的共振能區(qū)歸一化能譜Fig.7 The results of the inner-most region for the case with 10 fuel zones and nonuniform temperature distribution(a)and(b)are the deviations of the U-238 absorption cross sections obtained with the Tone's method under XMAS172 or SHEM361 energy group structures respectively,(c)and(d)are the normalized fluxes calculated by OpenMC under the two energy group structures respectively

4 結(jié)語(yǔ)

本文探討適合于熔鹽堆的共振計(jì)算方案。首先介紹了適用于復(fù)雜幾何且不依賴Dancoff因子修正的子群法、ESSS、Tone和Tone-N共振計(jì)算方法理論，其中Tone-N方法是通過(guò)引入兩個(gè)額外的固定源方程來(lái)考慮多燃料區(qū)間相互影響的一種新方法。然后對(duì)這些方法的通用單共振核素慢化方程形式進(jìn)行了總結(jié)，設(shè)計(jì)了統(tǒng)一的計(jì)算流程，并在ThorLAT柵格計(jì)算程序中實(shí)現(xiàn)了該統(tǒng)一計(jì)算流程。采用SHEM361能群結(jié)構(gòu)，先通過(guò)VERA組件基準(zhǔn)題驗(yàn)證ThorLAT中共振計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)的正確性，然后針對(duì)均勻溫度或存在徑向溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元進(jìn)行了計(jì)算及分析。

VERA組件基準(zhǔn)題中keff及棒功率分布與參考解符合良好，說(shuō)明了方法實(shí)現(xiàn)的正確性。子群法、ESSM和Tone方法對(duì)于VERA基準(zhǔn)題的計(jì)算精度相當(dāng)，但ESSM和Tone方法計(jì)算效率比子群法提升1倍以上。

對(duì)于均勻溫度或存在徑向溫度分布的通道式熔鹽堆燃料柵元計(jì)算表明：1）ESSM和Tone方法計(jì)算的keff偏差在1.50×10-3以內(nèi)，最大燃料區(qū)均勻化U-238吸收截面偏差低于3.1%，在帶溫度分布算例中這兩種方法計(jì)算結(jié)果比不相關(guān)模型或全相關(guān)模型的子群法精度高且具有顯著的效率優(yōu)勢(shì)；2）與ESSM方法相比，Tone方法具有更穩(wěn)定的迭代收斂；3）Tone-N方法的計(jì)算結(jié)果與Tone方法基本相同，說(shuō)明了Tone方法中均勻截面假設(shè)的合理性；4）與XMAS172能群結(jié)構(gòu)的結(jié)果對(duì)比表明，在可分辨共振能區(qū)增加能群數(shù)可得到更逼近精細(xì)譜的能譜結(jié)構(gòu)，從而有效改進(jìn)精度。

綜上所述，通過(guò)熔鹽堆燃料柵元模型的計(jì)算，本文初步驗(yàn)證了SHEM361能群結(jié)構(gòu)下基于均勻共振積分表插值的ESSM和Tone方法對(duì)于熔鹽堆共振計(jì)算的適用性。

作者貢獻(xiàn)聲明戴明：負(fù)責(zé)本論文方案設(shè)計(jì)，程序開(kāi)發(fā)，數(shù)據(jù)整理分析，論文撰寫和修改；張奧：負(fù)責(zé)基準(zhǔn)題參考解計(jì)算及結(jié)果數(shù)據(jù)整理，論文修改及校訂；程懋松：參與方案設(shè)計(jì)，對(duì)文章的知識(shí)性內(nèi)容作批評(píng)性審閱，論文修改。