基于非線性吸振器的深水導管架平臺減振特性研究

陳益群，劉利琴，羅 超，吳志強，胡文韜

(1.天津大學a.建筑工程學院;b.機械工程學院，天津 300072；2.海洋石油工程股份有限公司，天津 300461)

0 引 言

隨著海洋資源的開發(fā)走向深水海域，越來越多的深水導管架平臺投入使用。由于長期承受波浪、風、流、地震等環(huán)境載荷的作用，不可避免地會引起導管架平臺系統(tǒng)的振動問題。特別是深水導管架平臺的剛度較小，低階自振頻率會落入波浪能量主要頻率范圍，產(chǎn)生較為劇烈的振動[1]。這不但會損壞平臺的結(jié)構(gòu)強度，還會對在平臺上進行施工的人員身心健康與工作能力產(chǎn)生很大影響。因此開展波浪激勵下海洋平臺的減振研究，對平臺安全非常重要。

國內(nèi)外學者對導管架平臺的振動問題開展了一系列研究：孫樹民[2]通過在獨樁平臺上附加質(zhì)量調(diào)制阻尼器（TMD）進行了波浪激勵和地震激勵下的減振分析，結(jié)果表明，TMD對波浪激勵作用下獨樁平臺的減振非常有效；Patil[3]在導管架平臺上安裝粘彈性摩擦阻尼器，增加了原結(jié)構(gòu)的粘性阻尼和橫向剛度，從而極大降低了海洋平臺的振動響應(yīng)；李寧[4]運用LQG 控制算法來對海洋平臺進行磁流變阻尼器半主動振動控制和魯棒性研究，結(jié)果表明，雖然半主動控制和主動控制下的TMD 對平臺均具有十分良好的減振效果，但有源控制需要傳感器、外部能源等設(shè)備，比被動控制減振要求更為復雜，而且被動控制理論設(shè)計更為簡易，更適合在工程領(lǐng)域中使用。

傳統(tǒng)的TMD 線性吸振器減振頻帶較窄，在偏離減振頻帶時可能會出現(xiàn)振動放大現(xiàn)象[5]?；诖耍藗冄芯苛朔蔷€性吸振器（NVA），這是一種減振頻帶寬、魯棒性能好的減振裝置。一般來說，使用同等質(zhì)量的線性吸振器與非線性吸振器進行減振分析，非線性吸振器往往會有更好的減振效果[6]。非線性的形式多樣，許多學者采用了純立方剛度的非線性吸振器作為研究對象，在面對沖擊載荷的情況下，滿足一定的立方剛度條件時，結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)能量不可逆?zhèn)鬟f（TET）現(xiàn)象[7]。受簡諧激勵時，會出現(xiàn)一種特殊的強調(diào)制響應(yīng)（SMR）[8-9]。出現(xiàn)TET 和SMR 的情況下，主系統(tǒng)中的大部分能量會傳遞到非線性吸振器中，通過阻尼元件進行耗散，從而實現(xiàn)減振的效果。對于NVA 的解析分析，目前多采用復變量平均法[10]。Luongo 和Zulli[11]采用了多尺度法混合諧波平衡法對方程進行解析求解，這種方法不需要進行復變量替換，參數(shù)的物理意義更加清晰。

本文基于非線性吸振器（NVA）對深水導管架平臺的波激振動進行減振研究。采用多尺度混合諧波平衡法[11]對動力學方程進行解析求解，分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與非線性特性，并基于振動傳遞率[12]對非線性吸振器的參數(shù)進行優(yōu)化。

1 平臺減振動力學建模

波浪作用下海洋平臺的第一階模態(tài)振動響應(yīng)占據(jù)整個結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要部分[13]，且一階頻率更加接近波浪頻率。為了簡化計算，突出結(jié)構(gòu)的主要振動特性，考慮平臺運動為單自由度（以下稱為主系統(tǒng)），吸振器為附加的一個含有非線性立方剛度的振子（以下稱為子系統(tǒng)），如圖1所示，并寫出兩自由度運動方程：

圖1 海洋平臺減振模型Fig.1 Offshore platform vibration control model

式中：m1為平臺的一階模態(tài)質(zhì)量；m2為NVA 的質(zhì)量；c1和c2分別為海洋平臺和吸振器的阻尼；k1為平臺剛度；k2為吸振器的立方剛度；x1、x?1、x?1分別為主系統(tǒng)水平位移、速度、加速度；x2、x?2、x?2分別為附加的子系統(tǒng)水平位移、速度、加速度。平臺受到的波浪載荷處理為規(guī)則波fcos(Ωt)。

導管架平臺的樁腿直徑相對于波浪波長一般小于0.2，目前主要使用莫里森公式計算作用于樁腿上的波浪力。單位長度上樁腿水平受載為

式中：ρ為海水密度；Cd為拖曳力系數(shù)；Cm為慣性力系數(shù)；D為特征長度，這里為樁腿的直徑；u為某高度水質(zhì)點的水平速度；u?為某高度水質(zhì)點的水平加速度。u和u?由AIRY波理論得到。

2 運動方程解析分析

2.1 基于多尺度混合諧波平衡法的運動方程求解

為了簡化推導過程，進行以下變量替換：

式中，z為主系統(tǒng)和子系統(tǒng)的相對位移。子系統(tǒng)質(zhì)量相對主系統(tǒng)來說較小，為了使用多尺度混合諧波平衡法對方程求解，引入小量ε?1對一些變量進行重新標度，變量替換之后的運動方程為

引入?yún)f(xié)調(diào)因子σ，表示外激勵頻率接近平臺一階固有頻率的程度，Ω=ω+εσ。設(shè)解為

式中，t0=t，t1=εt，并引入

式中，cc為共軛復數(shù)。A是變量t1的待定復函數(shù)，z11通過諧波平衡法設(shè)解：

其中，B1是變量t1的待定復函數(shù)。將式（11）～（12）代入式（8）中，消去永年項，得到的一階攝動解的關(guān)系可以表示系統(tǒng)的慢不變流形方程，如式（13）所示：

式（13）得到了系統(tǒng)的不變流形方程，表示主系統(tǒng)和非線性吸振器的振幅關(guān)系。

把式（11）、（12）代入式（7），消去永年項，得到第一個可解性條件為

為了進一步分析二階攝動，需要對式（10）作進一步分析。將式（11）、（12）、（14）代入式（7），求得x12，其中z12再由諧波平衡法來設(shè)解，得到：

將式（12）、（15）代入式（10）中，消除永年項后得到的解表達式與式（13）進行B=B1+εB2重組，得到第二個可解性條件為

將式（17）代入式（14）、（16）中，分離實虛部，得到關(guān)于a、b、α、β的四個方程和解的形式，如式（18）所示：

由式（18）數(shù)值求解a、b、α、β四個變量，最終求得系統(tǒng)的一階攝動解為

2.2 幅頻響應(yīng)曲線

上一節(jié)的推導結(jié)果可以得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)時程圖，進一步求解幅頻響應(yīng)曲線，可以更加全面地觀察振動響應(yīng)特性。

考慮式（19）當a?=0，b?=0，γ?1=0，γ?2=0時，可以得到系統(tǒng)的平衡解，推導出以下由γ1和γ2表示的方程：

通過三角函數(shù)的關(guān)系可以將式（21）中的γ1和γ2消去，可以得到兩個含有a、b、σ的方程，再進行代換消去a，可以得到只含有b和σ的非線性方程。求解方程則可以得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。具體b和σ的表達式可參考附錄A。

2.3 平衡解穩(wěn)定性分析

同樣，當式（18）中a?=0，b?=0，γ?1=0，γ?2=0時，為了分析平衡解的穩(wěn)定性，需要將式（18）寫成直角坐標形式，由式（20）得到

式中，p1=acos(γ2)，q1=asin(γ2)，p2=bcos(γ2-γ1)，q2=bsin(γ2-γ1)，v1=σ，v2=0。將式（23）代入可解性條件式（14）、（16）并分離實虛部，得到以下四個表達式：

寫出式（24）的向量形式，并求其雅克比矩陣，并寫出該雅克比矩陣的特征方程式（25），其中特征方程系數(shù)的表達式在附錄A中給出。

根據(jù)羅斯霍爾維茲準則，可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性如下：

（1）當δ4=0時，發(fā)生鞍結(jié)分岔，系統(tǒng)平衡點數(shù)目發(fā)生變化；

（2）當δ1δ3＞0，δ1δ2δ3-δ32-δ12δ4=0時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

3 算例和結(jié)果分析

3.1 平臺減振結(jié)果分析

本文算例參數(shù)[14]有：深水導管架平臺，樁腿長度為249 m，水深為218 m，等效樁腿直徑為1.83 m，一階模態(tài)質(zhì)量為7 852 307 kg，一階固有頻率為2.046 rad/s，主結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.02。根據(jù)主結(jié)構(gòu)模型，初步選取非線性吸振器參數(shù)為ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034。計算海況取1.5 m波高、周期為3.07 s。

根據(jù)2.1節(jié)中的求解方法，得到近似解析解的響應(yīng)時歷曲線，并與數(shù)值模擬結(jié)果進行對比（數(shù)值解采用四階龍格庫塔方法直接求解方程組（1）），對比結(jié)果如圖2所示。

圖2 響應(yīng)時間歷程（σ=0）Fig.2 Response time history(σ=0)

圖2（a）表明，平臺響應(yīng)為非簡諧的概周期運動，吸振器與平臺的相對運動明顯大于平臺自身的運動。此時，作用于主系統(tǒng)的部分能量轉(zhuǎn)移到了吸振器中，使得平臺的運動響應(yīng)減小，從而實現(xiàn)了減振目的。比較圖2（a）和圖2（b）的結(jié)果表明，數(shù)值解與解析解吻合較好，驗證了多尺度混合諧波平衡法求解的有效性。

圖3給出了根據(jù)解析解求出的幅頻響應(yīng)曲線，并根據(jù)2.2節(jié)中的方法判定解的穩(wěn)定性。圖中直線表示穩(wěn)定的周期解，點劃線表示出現(xiàn)了不穩(wěn)定解，其中不穩(wěn)定解包括出現(xiàn)了Hopf分岔與鞍結(jié)分岔。計算表明，發(fā)生Hopf分岔時，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)出現(xiàn)了概周期現(xiàn)象，系統(tǒng)的振動幅值不斷變化。圖3（a）表明，主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線在固有頻率附近向下彎曲，整體表現(xiàn)不穩(wěn)定解，最低幅值為0.005 m左右。

圖3 幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curve

圖3（b）表明，子系統(tǒng)響應(yīng)在左上角出現(xiàn)了部分區(qū)域響應(yīng)相對較高的平衡解，經(jīng)分析，為協(xié)調(diào)因子σ=[-0.18，-0.072]時出現(xiàn)了多解，具體解的情況受初始條件影響。圖3（b）共振區(qū)域運動響應(yīng)明顯放大，同向表現(xiàn)為不穩(wěn)定解。因此，這時在共振區(qū)域附近，大部分能量轉(zhuǎn)移到了非線性吸振器上，使得平臺的運動幅值減小。以下通過數(shù)值方法計算不同初始條件下的響應(yīng)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同初值的主子系統(tǒng)相對位移時程響應(yīng)（σ=-0.1）Fig.4 Time history response at different initial values

圖4表明，在初始位移較小時，平衡點幅值在0.006 m 附近，如圖4（a）所示；初始位移較大時，平衡點的幅值在0.035 m左右。根據(jù)圖3（a），在這個多解范圍內(nèi)，主系統(tǒng)位移幅值會偏大一些，然而整體仍小于0.011 m。在發(fā)生這類鞍結(jié)分岔時需要格外注意，可能會發(fā)生跳躍現(xiàn)象使得結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)放大，非線性吸振器反而增大了系統(tǒng)振動幅值。

3.2 平臺減振系統(tǒng)強調(diào)制響應(yīng)機理

平衡解穩(wěn)定性分析表明，系統(tǒng)響應(yīng)可能發(fā)生類似概周期的強調(diào)制響應(yīng)。因此分析其特有的強調(diào)制響應(yīng)對認識基于非線性吸振器的海洋平臺減振效果有重要意義。將式（17）代入式（13），分離實虛部，得到不變流形的具體方程為

根據(jù)式（26）可得到慢不變流形，如圖5所示。

圖5反映了系統(tǒng)中a、b的變化關(guān)系，可以看到不變流形含有穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩個部分。當系統(tǒng)沿著慢不變流形運動到達N1點時，發(fā)生跳躍至Nu點；接著系統(tǒng)運動沿著不變流形向下運動，到達N2點時，又會跳躍到Nd點，繼續(xù)向上運動，形成一個往復的跳躍循環(huán)，這就是發(fā)生強調(diào)制響應(yīng)的機理。

圖5 慢不變流形Fig.5 Slowly invariant manifold

但是產(chǎn)生這種跳躍現(xiàn)象還需要滿足一定的參數(shù)條件，主要影響參數(shù)包括非線性吸振器本身的參數(shù)和外激勵幅值的影響。在ρ2=0.02，κ=100，ξ2=0.0034 的參數(shù)下，就發(fā)生了這種強調(diào)制響應(yīng)，如圖2所示。發(fā)生這類強調(diào)制響應(yīng)時，外激勵頻率往往接近結(jié)構(gòu)固有頻率，此時結(jié)構(gòu)的部分能量會明顯地傳遞到NES 中，從而減小了主系統(tǒng)的振動幅值。

3.3 平臺減振效果評價

本節(jié)對平臺的減振性能進行評價。首先采用振動傳遞率的評價方法，確定非線性吸振器的最優(yōu)參數(shù)，獲得最優(yōu)的非線性吸振器剛度和阻尼。振動傳遞率定義為T=RMS(x1)/F，這里F=0.002 54，表示海洋平臺振動有效值與外激勵幅值的比值[12]。

以下結(jié)合全局搜索的方法，基于振動傳遞率的評價方法對非線性吸振器參數(shù)進行優(yōu)化。為了考慮到在共振頻率附近的整體減振效果，這里的RMS（x）取σ∈[-0.2 0.2]時，協(xié)調(diào)參數(shù)σ與數(shù)值掃頻計算得到的有效值曲線圍成的面積，得到系統(tǒng)振動傳遞率三維圖，如圖6所示。

由圖6 可知，不同的參數(shù)組合下，可以得到不同的減振效果。在較差的參數(shù)組合條件下，最大振動傳遞率達到了24.65；而在較好的參數(shù)組合條件下，最小振動傳遞率達到14.3，最小振動傳遞率對應(yīng)的非線性吸振器的剛度κ=279、阻尼ξ2=0.0011。優(yōu)化參數(shù)非線性剛度和阻尼在κ∈[300,600]和ξ2∈[0.012,0.02]范圍內(nèi)變化時，仍能保持振動傳遞率低于17.4的減振效果。

圖6 基于振動傳遞率的參數(shù)優(yōu)化圖Fig.6 Parameter optimization diagram based on vibration transmission rate

將得到的優(yōu)化參數(shù)代入式（1），求解得到如圖7所示的幅頻響應(yīng)曲線。優(yōu)化后的參數(shù)幅頻響應(yīng)曲線，在σ=0 時主系統(tǒng)的振動幅值為0.005 6 m，而減振前的振動幅值為0.015 m，此時的減振效果為62.7%，在偏左區(qū)域存在動力放大現(xiàn)象，偏右區(qū)域則整體振動幅值偏小。此時主要表現(xiàn)為鞍結(jié)分岔現(xiàn)象，在大范圍內(nèi)出現(xiàn)多解，但共振區(qū)域內(nèi)右側(cè)的減振性能相對參數(shù)優(yōu)化之前有了較好的提升。

圖7 幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude-frequency response curve

4 結(jié) 論

本文基于非線性吸振原理研究規(guī)則波激勵下海洋平臺的被動減振，建立了海洋平臺-非線性吸振器系統(tǒng)兩自由度耦合動力學方程，采用多尺度混合諧波平衡法研究了系統(tǒng)的非線性動力特性。主要結(jié)論如下：

（1）附加了非線性吸振器之后深水海洋平臺系統(tǒng)可能會出現(xiàn)鞍結(jié)分岔和Hopf 分岔的現(xiàn)象，具有明顯的非線性。

（2）全局搜索的方法優(yōu)化后，非線性吸振器在共振頻率附近有很好的減振效果。同時給出了優(yōu)化參數(shù)后的幅頻響應(yīng)曲線，可以很好地觀察到其在整個頻率變化下的減振性能和非線性特性，更加全面地了解設(shè)計的非線性吸振器。

（3）非線性吸振器的非線性剛度和阻尼在一定范圍內(nèi)變化時，仍可以保持較好的減振性能，相對于線性吸振器而言，具有較好的穩(wěn)定性。在σ=0時，最優(yōu)減振效果為62.7%。

附錄A：