k/n(G)可修系統(tǒng)的多水平修理策略優(yōu)化

劉 聘， 董慶來， 周楚鈺

（延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

k/n(G)系統(tǒng)是可靠性數(shù)學理論中十分重要的基本模型之一，系統(tǒng)由n個部件組成，至少有k個部件正常工作時，系統(tǒng)正常運行［1-3］.k/n(G)系統(tǒng)具有廣泛的實際應用領(lǐng)域，研究人員對此類系統(tǒng)可靠性問題進行了大量的研究［4-6］. Hamdan等［7］考慮對一類加權(quán)n中取k系統(tǒng)引入新的最優(yōu)預防性維護模型；Zhang等［8］針對具有失效依賴的n中取k退化系統(tǒng)研究了一種基于狀態(tài)的維護策略；Krishnamoorthy 等［9］將N-策略應用于k/n(G)系統(tǒng)，該策略是指系統(tǒng)中的故障部件數(shù)達到預定N值時，系統(tǒng)指派修理工維修故障部件；付永紅等［10］在此基礎(chǔ)上建立一個無儲備部件的并聯(lián)非馬氏機器維修模型，研究了一種新型的兩水平(r,s)修理策略，通過預定閾值合理有效地指派兩個等級的修理工進行修理工作；吳文青等［11］基于Krishnamoorthy［9］和付永紅等［10］的成果，以達到合理配置人力資源為目的，研究了具有兩水平修理策略和兩類修理工的表決可修系統(tǒng). 此外，張元元和吳文青［12］假設(shè)k/n(G)系統(tǒng)的修理設(shè)備可更換，討論專職修理工多重休假問題；左凱等［13］對修理工多重休假且修理設(shè)備可更換的n中取k溫儲備系統(tǒng)可靠性進行分析；劉鴻彬等［14］對r/n(G)系統(tǒng)的剩余壽命預測問題進行研究.

在實際當中，例如對某地多個信號傳輸塔的維修，信號塔可能由于內(nèi)部原因或外部沖擊發(fā)生故障，而進行維修工作的修理工按照修理能力的不同被分為多個級別. 如何在考慮部件競爭失效的情況下合理配置人力資源的問題未能解決，因此，本文研究具有多水平修理策略的k/n(G)表決可修系統(tǒng)，系統(tǒng)中的部件可能由于內(nèi)部故障或外部沖擊發(fā)生故障. 利用馬爾可夫分析方法，推導了系統(tǒng)可用度等可靠性指標表達式. 通過調(diào)整多水平修理策略，最小化系統(tǒng)期望成本. 最后，以三水平修理策略為例，驗證了研究結(jié)果的實用性.

1 模型描述

具有多水平修理策略的k/n(G)系統(tǒng)模型假設(shè)如下.

1）系統(tǒng)由n個同型部件組成，每個部件有正常工作和故障兩種狀態(tài)，系統(tǒng)涉及的隨機變量彼此獨立.

2）部件的壽命分布服從負指數(shù)分布F(t)=1-e-λt，0 ＜λ＜∞，t≥0，且部件獨立故障率為λ.

3）該系統(tǒng)在沖擊環(huán)境下工作，沖擊的到來遵循齊次泊松過程，速率為v. 如果沖擊是致命的，它會引起部件故障且相應的概率是p0；認為非致命沖擊對部件沒有影響，概率為1-p0.

4）有l(wèi)個級別的修理工且其修理時間服從參數(shù)分別為μ1，μ2，…，μl的負指數(shù)分布G(t)=1-e-μjt，0 ≤μ＜∞，t≥0，j=1，2，…，l. 所述的級別是按修理能力進行劃分的，修理能力越高，級別越高. 當工作部件發(fā)生故障時，系統(tǒng)將根據(jù)多水平修理策略指派各級修理工修理故障部件，其中，多水平修理策略表示為(d1,d2,…,dl)，0 ≤d1≤…≤dl≤n-k+1. 當系統(tǒng)中的故障部件數(shù)達到d1值時，系統(tǒng)立刻指派一級修理工進行維修工作.若修理工作順利，故障部件修理完畢，則一級修理工撤出系統(tǒng)；若修理工作不順利，故障部件數(shù)持續(xù)增加到d2值時，系統(tǒng)立刻指派二級修理工，若修理工作順利，故障部件數(shù)小于d2值時，二級修理工撤出系統(tǒng)，由一級修理工繼續(xù)進行修理工作，直到故障部件修理完畢，若在此期間，故障部件數(shù)又一次達到d2值，則二級修理工再次進行修理工作. 以此類推，若故障部件數(shù)持續(xù)增加到dl值時，此時系統(tǒng)指派l級修理工，若故障部件數(shù)達到n-k+1，則系統(tǒng)發(fā)生故障，此時其余k-1 個部件不再發(fā)生故障. 其中，假設(shè)各級修理工對故障部件的修理為完全維修.

令L(t)表示時刻t系統(tǒng)中有i個部件處于故障狀態(tài)（包括在修理中的部件），L(t)=i，i=0，1，…,n-k+1.令J(t)表示時刻t系統(tǒng)指派某級修理工修理故障部件，設(shè)

多水平(d1,d2,…,dl)修理策略的系統(tǒng)維修流程如圖1所示，根據(jù)模型描述和狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖易知，隨機過程{L(t),J(t)|t≥0} 的狀態(tài)空間為

圖1 多水平修理策略系統(tǒng)維修流程圖Fig.1 The system repair flow chart with the multi-level maintenance strategy

為了方便討論，記ξi=(n-i)(λ+vp0),i=0,…,n-k，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.2 State transition diagram of the system

假設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率表示為：

根據(jù)馬爾可夫過程理論和系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率滿足如下方程

系統(tǒng)模型的求解步驟如下：

步驟1：將上述方程中的pi,j變形為帶有p0,0的表達式.

步驟2：根據(jù)正則性條件，即式（9），求得p0,0并將其代入步驟1 的pi,j.

步驟3：利用求解出的pi,j推導系統(tǒng)可靠性指標.

令p0,0=Δ，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分別表示為

2 系統(tǒng)可靠性指標

1）系統(tǒng)首次故障前平均時間（MTTFF）.

根據(jù)Tian和Zhang［15］、曹晉華和程侃［16］的結(jié)論，系統(tǒng)中有n-k+d1+1個狀態(tài)，排列方式為：

令系統(tǒng)故障的狀態(tài)為過程的吸收態(tài)，可得

其中：初始概率向量為(α1×(n-k+d1),01×2)，α1×(n-k+d1)=e1×(n-k+d1)(i),i=1,2,…,n-k+d1，e1×(n-k+d1)(i)表示系統(tǒng)以狀態(tài)i為初始狀態(tài)時，在向量中對應位置的元素為1，其余位置的元素均為0. 例如，系統(tǒng)以(1,0)為初始狀態(tài)時，α1×(n-k+d1)=(0,1,0,…,0)1×(n-k+d1).

這里：

其他可靠性指標如系統(tǒng)平均故障部件數(shù)，系統(tǒng)平均停工時間等均可推導得出.

3 優(yōu)化模型

通過調(diào)整多水平(d1,d2,…,dl)修理策略的閾值dj(j=1,2,…,l)，使系統(tǒng)期望成本最小化. 令Cs表示系統(tǒng)預期維修成本，Cdj代表系統(tǒng)在第j個水平的單部件預期維修成本，通常認為Cd1≤Cd2≤…≤Cdl-1≤Cdl，則Cs表示為

由于系統(tǒng)可用度是評估所提出的維護策略的重要標準，因此，本文以系統(tǒng)可用度作為約束條件，令As表示系統(tǒng)可用度，則As表示為

以系統(tǒng)維修成本最小化為目標，以系統(tǒng)可用度為約束條件，令Amin表示系統(tǒng)運行的最小可用度，系統(tǒng)優(yōu)化模型表示為

4 數(shù)值算例

本節(jié)將通過數(shù)值算例驗證所得研究結(jié)果，根據(jù)第2節(jié)的推導步驟，以一個具有三水平(d1,d2,d3)修理策略的表決系統(tǒng)為例. 假設(shè)安裝3個傳輸塔(k=3)就能滿足某一區(qū)域的通信需求，為了提高通信的質(zhì)量，管理者現(xiàn)安裝13個傳輸塔(n=13) . 若故障塔的數(shù)量小于3個時(d1=3)，不影響該區(qū)域的通信；反之，指派一級修理工對故障塔進行修理. 若故障塔的數(shù)量持續(xù)增加到6個時(d2=6)，指派二級修理工；若故障塔的數(shù)量持續(xù)增加到9個時(d3=9)，指派三級修理工. 在此期間，傳輸塔可能受到風力等外部環(huán)境的影響，假設(shè)外部沖擊的v=0.1，p0=0.3，傳輸塔的工作壽命服從參數(shù)為λ的負指數(shù)分布，修理工的修理時間分別服從參數(shù)為μ1、μ2、μ3的負指數(shù)分布. 選取參數(shù)獨立故障率、各水平維修率以及系統(tǒng)運行的最小可用度分別為λ=0.2，μ1=1.2，μ2=1.5，μ3=2.0，Amin=0.95，單部件預期維修成本為Cd1=100，Cd2=200，Cd3=300，相關(guān)結(jié)果保留至小數(shù)點后10位.

表1和表2分別給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布pi,j、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M、各水平修理工修理部件的概率等可靠性指標以及不同初始條件下系統(tǒng)首次故障前的平均時間的數(shù)值結(jié)果. 從表2中可以看出，系統(tǒng)在初始時刻的故障部件越多，其首次故障前的平均時間就越小，這符合實際情形.

表1 3/13(G)表決可修系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of the steady-state probability distribution of the system 3/13(G)

表2 不同初始條件下3/13(G)表決可修系統(tǒng)首次故障前平均時間Tab.2 MTTFF of the system 3/13(G)under different initial conditions

首先，為了說明部件的競爭失效對系統(tǒng)可靠性的影響，系統(tǒng)可用度A和故障頻度M在不同故障率下的變化趨勢如圖3所示. 可以看出，隨著部件獨立故障率λ的增大，系統(tǒng)可用度A不斷減小，故障頻度也隨之升高；當給定λ時，沖擊速率v越大，系統(tǒng)可用度越小，而故障頻度越大. 這是因為部件由于內(nèi)部原因或外部沖擊而發(fā)生故障，導致系統(tǒng)可用度降低.

圖3 不同故障率下系統(tǒng)可靠性指標的變化趨勢Fig.3 Change trends of system reliability indexes under different failure rates

其次，不同維修閾值對系統(tǒng)期望維修成本的影響如表3所示，最小系統(tǒng)預期維修成本為172.32. 可以看出，二級修理工進入系統(tǒng)的時間越晚，系統(tǒng)預期維修成本越小，但系統(tǒng)可用度越低，因此需要根據(jù)實際情況調(diào)整維修策略.

表3 不同維修閾值下系統(tǒng)的期望成本Tab.3 Expected costs of the system under different maintenance thresholds

5 結(jié)論

本文針對k/n(G)表決可修系統(tǒng)，考慮多水平修理策略對維修成本的影響. 利用馬爾可夫分析方法建立了系統(tǒng)模型，推導了系統(tǒng)可用度、首次故障前平均時間等可靠性指標，并建立維修成本優(yōu)化模型，最后以三水平修理策略為例驗證了研究結(jié)果的實用性. 結(jié)果表明，多水平修理策略更符合實際情況對各級修理工的不同需求，對系統(tǒng)維修成本的優(yōu)化問題也有很大的影響.