幾何直觀融合代數(shù)運算*
——以“向量在平面幾何中的應(yīng)用”教學(xué)為例

李泊明

(江蘇省常州高級中學(xué),213003)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》首次設(shè)置了“幾何與代數(shù)”課程主線,強調(diào)要在必修課程與選擇性必修課程中,突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合,即通過形與數(shù)的結(jié)合,感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián),加強對數(shù)學(xué)整體性的理解.向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具,是進一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ),在解決實際問題中發(fā)揮重要作用[1].誠如章建躍博士所言:“向量應(yīng)用范圍非常廣泛,但在高中,學(xué)習(xí)用向量法解決幾何問題是基本任務(wù)”[2].

然則，遺憾的是，從教學(xué)實踐來看，除非問題中明確出現(xiàn)向量，學(xué)生很難想到運用向量這樣一個數(shù)形結(jié)合的橋梁.這是因為他們不能體會向量的工具作用，自然就難想到應(yīng)用向量知識解決實際問題了.事實上,各種版本的教材都在平面向量這一章的最后專門安排了一節(jié)向量的應(yīng)用，只是受課時所限,一般只排一個課時.但如果對照課程標準的要求,精心設(shè)計這一節(jié)的學(xué)習(xí),不僅可以鞏固學(xué)生對向量的概念以及各種運算的理解,還能讓學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系,更可以讓學(xué)生感受到向量在數(shù)形結(jié)合中的大用處.

以下為“向量在平面幾何中的應(yīng)用”一課的教學(xué)案例及思考.

一、教學(xué)案例

1.復(fù)習(xí)回顧,奠定基礎(chǔ)

師:平面幾何中經(jīng)常涉及求距離和夾角問題,而平面向量的運算,特別是數(shù)量積的定義就有向量的模及向量之間的夾角,因此可以考慮用向量方法解決一些平面幾何的問題.

問題1如何用向量的方法求距離和夾角?請完成下面的表格.

活動設(shè)計因為有了前面的鋪墊,學(xué)生很快給出正確的向量方法(見表1前兩行).

表1

問題2除了求距離和夾角,你還能舉出哪些可以用向量解決的平面幾何中的問題?怎么解決?請繼續(xù)補充填寫上面的表格.

活動設(shè)計經(jīng)過同學(xué)們一番熱烈的討論,上面的表格又成功地續(xù)了三行(見表1).

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生回憶平面幾何中的基本問題,探究如何用向量的語言來表達這些問題,進而思考如何用向量的方法解決這些問題.這樣既復(fù)習(xí)了向量的概念與運算,又為下面用向量法解決平面幾何中的具體問題作好了鋪墊.

2.問題呈現(xiàn),學(xué)生探究

例1證明:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四邊的平方和.

活動設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生作出圖形,并用數(shù)學(xué)語言表達題目要證明的目標:如圖1,已知四邊形ABCD是平行四邊形,證明BD2+AC2=2(BC2+BA2).

設(shè)計意圖這是平行四邊形的經(jīng)典結(jié)論,學(xué)生都有興趣去嘗試證明圖形結(jié)構(gòu)，也容易讓學(xué)生想到向量加法的平行四邊形法則,進而以平行四邊形相鄰兩邊所對應(yīng)的向量為基向量,表示對角線對應(yīng)的向量，既用到了向量的加法、減法、數(shù)量積運算,又回顧了基向量這個重要方法.

如圖2,取例1中的平行四邊形的一半即得如下的三角形中線長公式:設(shè)BE是?ABC中AC邊上的中線,試證明：

變式1在?ABC中,E是AC邊的中點,已知BC=3,BA=1,∠ABC=60°,求BE.

活動設(shè)計學(xué)生討論得出如下方法.

方法3以B為坐標原點建立平面直角坐標系,求得點E的坐標,以下略.

問題3以上三個方法,哪些較好?為什么?

活動設(shè)計學(xué)生經(jīng)過比較能發(fā)現(xiàn)方法2、方法3比較好.因為方法2直截了當?shù)赜没蛄勘硎灸繕?而且計算也很簡單；方法3體現(xiàn)了向量應(yīng)用的基本方法:將幾何對象坐標化,轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)計算.方法1雖然不夠簡潔,但是其中在?ABC中,已知BC,BA,∠ABC,求得AC的方法就是推導(dǎo)了一遍余弦定理:已知三角形中的兩邊以及它們的夾角,求得第三邊!

變式2在?ABC中,E是AC邊上靠近點C的三等分點,已知BC=3,BA=1,∠ABC=60°,求BE.

設(shè)計意圖讓學(xué)生感受探究、辨析的樂趣,進一步感受向量法的應(yīng)用,同時也為解三角形學(xué)習(xí)埋下伏筆.

例2證明三角形的三條高交于一點.

活動設(shè)計學(xué)生自主畫出圖形,同時用數(shù)學(xué)語言清楚地翻譯好題目.

如圖3,已知AD,BE,CF分別是?ABC的三條高,求證:AD,BE,CF相交于一點.

師:如何證明三線交于一點?

平面幾何基礎(chǔ)較好的同學(xué)很快給出證明思路:設(shè)AD,CF交于點H,只要證明BH⊥AC.

師:如何用向量語言表示現(xiàn)在的條件和目標?

師:要是想不到怎么辦?向量的常用方法都試了嗎?

同學(xué)回答道可以考慮建系用坐標算.

師:怎么建系呢?

設(shè)計意圖例2所證的結(jié)論是同學(xué)都知道的,有了前面的鋪墊,大家也不難想到利用向量的數(shù)量積為0來證明線段垂直.但例2中有三個垂直,思維要求很高.在合作探究中滲透向量的兩種基本方法:基向量和建系法.

3.歸納總結(jié),反思提升

活動設(shè)計

師:通過以上問題的解決,請大家總結(jié)用向量方法研究平面幾何問題的一般步驟.

生:第一步,用向量表示問題中所涉及的幾何對象、幾何關(guān)系,將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第二步,進行向量運算;第三步,將運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

師:用向量方法解決平面幾何問題有哪些優(yōu)勢?

生:不用動腦筋作很多輔助線了.

師:是的,數(shù)形結(jié)合,以算代證.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)貫穿整節(jié)課的核心思想,使向量的代數(shù)運算融合幾何直觀，深入人心.

二、幾點思考

1.向量——數(shù)形結(jié)合的載體

在本章中,教科書從形和數(shù)兩個方面建構(gòu)和研究向量.具體地說,向量的幾何表示、向量加法的三角形法則等是從幾何的角度研究向量,而向量的坐標表示、坐標運算則是用代數(shù)的方法研究向量.這種數(shù)形結(jié)合的方法是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的思想方法.

正是由于集形與數(shù)于一身,向量方法才是幾何研究的強大工具.本節(jié)課生動地體現(xiàn)了這一點.向量方法不僅把原來復(fù)雜的幾何關(guān)

系變得清晰可算,而且更加深入到問題的本質(zhì),把幾何直觀和代數(shù)運算更好地融合到一起.

2.向量——數(shù)學(xué)模型的典型

向量是現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型，而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的最好方法就是經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程.在用向量解決本節(jié)課中的幾何問題時學(xué)生經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學(xué)建模過程:

《課程標準》也明確提出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景,反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值”.開展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動,設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程，將建模思想融入日常教學(xué)，也是數(shù)學(xué)新課程改革的一個重要方向.

向量作為一個典型的數(shù)學(xué)模型,其應(yīng)用是開展數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動不可多得的素材.如果能深入挖掘教材中這部分內(nèi)容的價值,一定可以提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).