一題多解拓展思維 觸類旁通提升素養(yǎng)
——一道?？碱}的探究

王 義

(安徽省碭山中學(xué)，235300)

一、試題呈現(xiàn)

設(shè)拋物線M:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(4,m)(m>0)是拋物線M上的一點(diǎn),且|PF|=5.

(1)求拋物線M的方程;

(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線M于A,B兩點(diǎn)(A,B異于點(diǎn)P),點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,若?FAC的面積為6,求直線l的方程.

二、總體分析

本題是以拋物線為載體,表面上是考查直線方程與三角形面積相關(guān)問題,實(shí)為考查圓錐曲線的對(duì)稱問題及直線恒過定點(diǎn)問題及直線斜率之和(積)、之比為定值問題,能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,提升運(yùn)算能力、邏輯推理及化歸與轉(zhuǎn)化能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、解法探究

對(duì)第(1)問,易知拋物線M的方程為y2=4x,具體過程略下面主要考慮第(2)問的解答.

視角1直接運(yùn)用三角形面積公式

解法1由題意可知直線AB的斜率不能為0,由焦點(diǎn)F(1,0),可設(shè)直線AB的方程為x=my+1,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,-y2).

=4|m|=6，

故直線AB的方程為2x±3y-2=0.

視角2運(yùn)用拋物線性質(zhì)

解法3由題意可知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的傾斜角為α,直線AB的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程y2=4x,得

k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,-y2),注意k=tanα,則

所以直線AB的方程為2x±3y-2=0.

解法4由解法3,可得

故直線AB的方程為2x±3y-2=0.

視角3靈活運(yùn)用面積公式

解法5由題意可知直線AB的斜率不能為0,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,-y2),直線AB的方程為x=my+1,代入y2=4x,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.

故直線AB的方程為2x±3y-2=0.

評(píng)注解法5利用幾何圖形求解面積,得出直線方程,注意點(diǎn)A,B的位置,必要時(shí)可以分類討論,能有效培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

視角4利用三角形面積的坐標(biāo)公式

解法6同上設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x2,-y2),直線AB的方程為x=my+1,可得y1+y2=4m,y1y2=-4.

故直線AB的方程為2x±3y-2=0.

評(píng)注利用三角形面積的坐標(biāo)形式,方法直接、簡(jiǎn)單易懂,是最佳策略.

視角5轉(zhuǎn)化思路巧解三角形面積

解法7設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，C(x2,y2),則點(diǎn)B(x2,-y2).設(shè)直線AC的方程為x=my+n,代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.

所以直線直線AC的方程為x=my-1,恒過定點(diǎn)(-1,0).

四、拓展探究

仿照上述問題求解過程,不難證明下列結(jié)論(限于篇幅,這里從略).

以上4個(gè)結(jié)論在橢圓,雙曲線中也有類似的結(jié)論,讀者可自行探究.

五、反思提升

從不同的角度出發(fā)去思考問題,可得到不同的解法,發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,體會(huì)知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與化歸,構(gòu)建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)體系.這樣既能提高分析解決問題的能力,又能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.另外，作為一線教師,不能只停留在解法的探究上,還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目深入探究,發(fā)揮題目的最大價(jià)值,讓學(xué)生能做一題,通一類,真正實(shí)現(xiàn)一題多解,多解歸一.