例談數(shù)學(xué)解題中的平衡性

吳劍俠

(江蘇省南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，210023)

著名法國數(shù)學(xué)家龐加萊曾說:在解題證明中,各部分的平衡可以給予我們美感.同時,平衡也是一種文化觀點,更是一種境界,世界上萬事萬物都在追求一種平衡.除此之外,平衡也是一種重要思想,諸如高斯求和,包括由此展開的等差數(shù)列中am+an=ap+aq及等比數(shù)列中aman=apaq(m,n,p,q∈N*)等性質(zhì)無不體現(xiàn)著平衡.本文通過典型例題,淺談數(shù)學(xué)解題中體現(xiàn)的平衡性.

一、三角函數(shù)中的平衡

在一個三角形中出現(xiàn)的恒等式是一類特殊的三角恒等式,它們都蘊含平衡條件式A+B+C=π.但在解題的拆分化簡過程中也要注意其平衡性,以達(dá)到事半功倍的效果.

例1證明:在非直角三角形ABC中,恒有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

分析一方面,可利用A=π-(B+C)達(dá)到消元化簡的目的;另一方面,注意到待證等式兩端有不平衡的現(xiàn)象,我們不妨考慮利用A+B=π-C促成兩邊達(dá)成平衡性.

二、不等式中的平衡

不等式作為一個熱門的專題,一直活躍在高考與數(shù)學(xué)競賽中.其中許多解題方法也蘊含著平衡思想.

證明當(dāng)x=0時,對任意實數(shù)a,題設(shè)不等式均成立.

評注本解法利用了分離參數(shù)的思想方法,將變量落在不等式兩端,這實際上也是一種平衡的狀態(tài),能簡化討論,優(yōu)化解題過程.

評注從平衡性的角度出發(fā),換元化簡后可以保證an+bn展開式的每一項均非負(fù),從而利于直接放縮.避免了傳統(tǒng)直接消元法在二項式展開的時候由于有負(fù)項存在,給放縮增添的不小難度.

三、幾何中的平衡

在幾何問題中,對稱的圖形往往有利于我們解題,對于這類問題,有時它的解往往呈現(xiàn)著對稱平衡.利用這個性質(zhì),可以幫助我們找到遺漏的解.

辨析根據(jù)平衡的思想,過橢圓外一點所作的切線應(yīng)該有兩條,因此上述解法還有一條切線被遺漏了.經(jīng)過檢查易發(fā)現(xiàn)是斜率k不存在的情形,即直線x=2也是所求切線.

四、方程中的平衡

一元高次方程的解法歷史上進(jìn)展緩慢,1545年卡爾丹諾在自己的著作《大法》中介紹了一般三次方程的解法[2].他利用了兩個假設(shè)進(jìn)行消元,達(dá)到了降次求解的目的.仔細(xì)剖析其過程,發(fā)現(xiàn)其中也蘊含著平衡思想.

例5在復(fù)數(shù)域內(nèi)解一元三次方程x3+ax2+bx+c=0,其中a,b,c∈R.

評注此種解法巧妙之處在于：先令y=u+v增加了方程的自由度,然后假設(shè)3uv+p=0對自由度加以限制,使方程的自由度保持平衡,進(jìn)而將一元三次方程轉(zhuǎn)換成一元二次方程,達(dá)到降次求解之目的,最終回歸到原問題得以求解.

綜上可見,在解題過程中,我們可以從數(shù)學(xué)的平衡角度入手,讓靈感與邏輯思維齊頭并進(jìn),多一種角度,多一種方法,探尋到解決問題的突破口,以致達(dá)到撥云見日的效果.