一道2022年數(shù)學競賽題的多種解法與命題背景探究

虞哲駿 沈珂娜

(浙江省寧波市慈溪中學 315300) (浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學 315200)

一個好的數(shù)學問題常常能激發(fā)學生的學習熱情和探究欲望，引導數(shù)學探究活動有序進行．而一道好的數(shù)學題應(yīng)具備“容易接受、一題多解、蘊含了重要的數(shù)學思想、不故意設(shè)陷阱、可推廣和一般化”這五個特點．2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第6題就是一道這樣的好題．

1 原題呈現(xiàn)

(2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第6題)若△

ABC

的三邊

a

,

b

,

c

滿足

a

+

b

+3

c

=7，則△

ABC

面積的最大值為

．

2 解法探究

簡析1 由余弦定理及面積公式構(gòu)建關(guān)系．

解法1

(余弦定理結(jié)合面積公式) 由題意可得所以設(shè)△

ABC

的面積為

S

，則當且僅當時等號成立，所以

說明

此解法也可以由秦九韶公式直接得到．

簡析2 由中線長公式及面積公式構(gòu)建關(guān)系．

圖1

解法2

(中線長公式) 設(shè)△

ABC

的面積為

S

，

AB

的中點為

M

(圖1)．由中線長公式得所以于是當且僅當時等號成立．

簡析3 通過余弦定理的數(shù)量積形式構(gòu)建關(guān)系．

圖2

解法3

(數(shù)量積結(jié)合坐標運算) 由

a

+

b

+3

c

=7得即以

AB

中點

M

為原點，建立平面直角坐標系(圖2)．設(shè)

C

(

x

,

y

)，△

ABC

的面積為

S

，則化簡得故所以當且僅當時等號成立．

解法4

考慮邊的二次結(jié)構(gòu)與面積的關(guān)系，聯(lián)想到三角形嵌入不等式：若三角形的三邊為

a

,

b

,

c

，面積為

S

，

x

,

y

,

z

為給定的正實數(shù)，則有

xa

當且僅當

x

∶

y

∶

z

=(

b

+

c

-

a

)∶(

c

+

a

-

b

)∶(

a

+

b

-

c

)時取等號．所以

3 命題背景

筆者翻閱了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)與本題類似的問題最早來源于第三屆IMO的第2題：若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當△

ABC

為正三角形時等號成立(外森比克(Weizenbock)不等式)．更一般的外森比克不等式的形式為：若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

x

>0,

y

>0,

z

>0，則當且僅當即時等號成立．

證明

(利用均值不等式)(利用柯西不等式)=

根據(jù)這個結(jié)論，我們可以快速地得到

當然，我們也可以利用待定系數(shù)法去尋找等號成立的條件：

7=

a

+

b

+3

c

=

a

+

b

+3(

a

+

b

-2

ab

cos

C

)=4

a

+4

b

-6

ab

cos

C

≥8

ab

-6

ab

cos

C

C

≥8

abx

sin

C

+8

aby

cos

C

-6

ab

cos

C

=8

abx

sin

C

+(8

y

-6)

ab

cos

C

．令則7≥故當且僅當即時等號成立．

4 結(jié)論推廣

外森比克不等式的加強：

推廣1 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

易得，只需證明由琴生不等式知函數(shù)

f

(

x

)=sin

x

在(0,π)上為凸函數(shù)，所以所以有故成立．

進一步，我們考慮加權(quán)的形式，有：

推廣2 已知

x

,

y

,

z

>0，若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，則當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

(1)由外森比克不等式有

≥

由柯西不等式得

[

x

(

y

+

z

)sin

C

+

y

(

z

+

x

)sin

A

+

z

(

x

+

y

)· sin

B

]≥(

x

+

y

+

z

)，

所以只需證明

再由柯西不等式得

[

x

(

y

+

z

)sin

C

+

y

(

z

+

x

)sin

A

+

z

(

x

+

y

)sin

B

]≤[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)](sin

C

+sin

A

+sin

B

)．而sin

C

+sin

A

+sin

B

=(1-cos(2-cos 2

B

-cos 2

C

)=2-cos

A

-cos(

B

+

C

)cos(

B

-

C

)≤2-cos

A

+|cos所以只需證明4(

x

+

y

+

z

)≥27[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)]．而4(

x

+

y

+

z

)-27[

x

(

y

+

z

)+

y

(

z

+

x

)+

z

(

x

+

y

)]=∑(

y

-

z

)(3

x

+2

y

+2

z

+20

yz

)≥0，當且僅當

x

=

y

=

z

時等號成立．所以原命題成立．推廣3 已知

x

,

y

,

z

>0，平面上四個點

O

,

A

,

B

,

C

，

S

為△

ABC

的面積，則

證明

過

O

作

OD

⊥

BC

于

D

，設(shè)

BD

=

m

，

CD

=

n

，

OD

=

d

，則

當然，我們也可以從冪次上進行推廣：

推廣4 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

m

≥1，則

a

2+

b

2+

c

2≥

證明

由權(quán)方和不等式，得

再考慮推廣4的加權(quán)形式：

推廣5 若

a

,

b

,

c

為△

ABC

的三邊，

S

為△

ABC

的面積，

x

,

y

,

z

>0，

m

≥1，則

xa

2+當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立．

證明

由柯西不等式，得(

xa

2+

yb

2+

zc

2)(

x

+

y

+

z

)-1=(

xa

+

yb

+

zc

)當且僅當

x

=

y

=

z

且△

ABC

為正三角形時等號成立，從而原不等式成立．

5 結(jié)語

在三角形中，我們往往可以借助正弦定理、余弦定理和面積公式結(jié)合基本不等式等工具，使解三角形的變化更加靈活．本文對此類邊的二次型結(jié)構(gòu)與面積有關(guān)的最值問題進行了深入的剖析，并作了一定的推廣，顯然，根據(jù)推廣的形式，我們還可以編擬許多習題或考題，來訓練或考查學生的數(shù)學思維能力．