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    以小見大 聚焦變化 指向素養(yǎng)
    ——以一道“函數(shù)探究題”的改編為例*

    2022-09-19 10:16:46
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
    關(guān)鍵詞:原型圖象本題

    周 煉

    (江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 225399)

    2022年4月7日,江蘇省泰州市教育局教學(xué)研究室舉辦了全市初中數(shù)學(xué)教師命題比賽

    .

    此次比賽以提升初三數(shù)學(xué)教師命題能力、推進(jìn)初中數(shù)學(xué)命題改革、更好落實(shí)雙減政策以及新高考下教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕康?,同時(shí)也激發(fā)了全市初中數(shù)學(xué)教師以及教研員的命題熱情

    .

    比賽分兩種模式:改編試題與原創(chuàng)試題

    .

    筆者選擇了改編試題中的一道函數(shù)題作為初始素材,借助于幾何畫板等工具,從結(jié)構(gòu)優(yōu)化、問題設(shè)計(jì)、思想升華等方面對試題展開了深入研究,并在改編過程中形成了一些主張與想法,下文作具體闡述

    .

    1 試題原型與改編

    1

    .

    1 試題原型

    在平面直角坐標(biāo)系

    xOy

    中,拋物線

    y

    =

    x

    -4

    x

    +3與

    x

    軸相交于點(diǎn)

    A

    ,

    B

    (點(diǎn)

    A

    在點(diǎn)

    B

    的左側(cè)),與

    y

    軸相交于點(diǎn)

    C.

    (1)求直線

    BC

    的表達(dá)式

    .

    (2)垂直于

    y

    軸的直線

    l

    與拋物線相交于點(diǎn)

    P

    (

    x

    ,

    y

    ),

    Q

    (

    x

    ,

    y

    ),與直線

    BC

    交于點(diǎn)

    N

    (

    x

    y

    )

    .

    x

    <

    x

    <

    x

    ,結(jié)合函數(shù)圖象,求

    x

    +

    x

    +

    x

    的取值范圍

    .

    1

    .

    2 改編呈現(xiàn)

    在平面直角坐標(biāo)系中

    xOy

    中,拋物線

    y

    =

    a

    (

    x

    -

    m

    )(

    x

    -

    n

    )(

    a

    <0,

    m

    <

    n

    )與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    B

    (點(diǎn)

    A

    在點(diǎn)

    B

    的左側(cè)),與

    y

    軸相交于點(diǎn)

    C.

    直線

    y

    =

    c

    與拋物線相交于

    P

    (

    x

    ,

    y

    ),

    Q

    (

    x

    ,

    y

    )兩點(diǎn)(

    P

    Q

    不重合),與直線

    BC

    交于點(diǎn)

    N

    (

    x

    ,

    y

    )

    .

    (1)設(shè)

    a

    =-1,

    m

    =1,

    n

    =3

    .

    ①求線段

    AB

    的長;②證明:當(dāng)

    c

    <1時(shí),一定存在不重合的

    P

    ,

    Q

    兩點(diǎn)且

    x

    +

    x

    的值不會隨著

    c

    的變化而變化

    .

    (2)令

    c

    =

    m

    ,且點(diǎn)

    A

    在直線

    BC

    的上方

    .

    ①求

    m

    的取值范圍;②一定存在一個(gè)

    a

    的值,對于任何符合的

    m

    ,

    n

    均可以使得

    x

    +

    x

    -

    x

    為常數(shù),求

    a

    的值以及

    h

    的取值范圍

    .

    2 改編策略

    2

    .

    1 以小見大的維度延伸

    ·將參數(shù)一般化,以拓寬試題的內(nèi)容

    一道試題的背后,往往是命題者對試題所涉及的方方面面進(jìn)行透徹研究的結(jié)果,但考慮到學(xué)生的思維水平與接受程度,一般都會對結(jié)論作特殊化處理,以更加具體的問題情境作為呈現(xiàn)載體

    .

    但在改編一道試題時(shí),若依舊停留在特殊化階段,命題的視野與格局便無法打開,看到的也僅僅是特定條件下的固化結(jié)論,不具備遷移性與推廣性,更談不上創(chuàng)新與發(fā)散

    .

    若想要激蕩出更多的靈感就要先將試題一般化,對于函數(shù)題來說主要是將參數(shù)一般化,這是一個(gè)由點(diǎn)到面再由面到點(diǎn)的過程,只有經(jīng)歷了這樣的過程,才會形成更豐富、寬廣、多元化的良好命題樣態(tài)

    .

    本題函數(shù)原型是一個(gè)完全確定的二次函數(shù),但若囿于某個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式,改編的范圍便會十分狹隘,延伸面也較小

    .

    為了創(chuàng)造出更多的可能性,勢必要將拋物線

    y

    =

    x

    -4

    x

    +3推廣為更一般的形式

    .

    經(jīng)分析,發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在整個(gè)問題中與

    x

    軸的兩個(gè)交點(diǎn)密切相關(guān),所以將其一般化為交點(diǎn)式

    y

    =

    a

    (

    x

    -

    m

    )(

    x

    -

    n

    )是比較合理的,這樣便能在緊扣原型的基礎(chǔ)上以小見大地切入

    .

    至于原型中的直線,在改編時(shí)一開始給出的是一般形式

    y

    =

    c

    ,但由于后續(xù)要研究更具體的存在性問題,在多次嘗試后發(fā)現(xiàn)令

    y

    =

    m

    能與

    y

    =

    a

    (

    x

    -

    m

    )(

    x

    -

    n

    )產(chǎn)生更為具體的、個(gè)性化的代數(shù)關(guān)聯(lián),最終確定“

    a

    ,

    m

    ,

    n

    ”為本題的參數(shù)設(shè)定

    .

    ·將結(jié)構(gòu)層次化以促進(jìn)思維的遞進(jìn)

    試題改編不同于直接命題,因?yàn)樵囶}原型本身是有研究基礎(chǔ)的、是原命題者思維的結(jié)晶,所以相當(dāng)于站在“巨人的肩膀”上再研究、再發(fā)現(xiàn)

    .

    試題改編雖要立足并尊重原型,但更要高于并突破原型,要能在已有研究成果之上彰顯創(chuàng)造性

    .

    而正是這樣逐漸往高處走的趨勢,反而有可能會在改編后變得“不接地氣”,甚至與學(xué)生的思維水平出現(xiàn)斷層

    .

    為了避免這樣的狀況發(fā)生,當(dāng)改編后的問題比較抽象或思維過于密集時(shí),可以為其設(shè)置有層次的遞進(jìn)結(jié)構(gòu),通過從特殊到一般的引導(dǎo),給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)小的切口,再從這個(gè)切口出發(fā)以小見大、循序漸進(jìn)地展開研究

    .

    本題改編共有三處在結(jié)構(gòu)層次化以促進(jìn)思維遞進(jìn)方面作了較為周密的思考

    .

    例如在(1)①中設(shè)計(jì)“計(jì)算線段

    AB

    的長”這一問題,是因?yàn)樵?2)①中要求

    m

    的范圍需要先算點(diǎn)

    A

    B

    ,

    C

    的坐標(biāo),而后者在引入?yún)?shù)后對運(yùn)算的要求更高,有了①的鋪墊,學(xué)生對于

    A

    (

    m

    ,0),

    B

    (

    n

    ,0),

    C

    (0,

    amn

    ),

    y

    =-

    amx

    +

    amn

    這樣含參數(shù)的坐標(biāo)與函數(shù)表達(dá)式的接受度會更高,在運(yùn)算時(shí)也就有跡可循

    .

    同樣地,還有(1)②中設(shè)計(jì)“證明當(dāng)

    c

    <1時(shí),一定存在不重合的

    P

    Q

    兩點(diǎn)”這一問題,是希望學(xué)生能關(guān)注到直線與二次函數(shù)圖象不是一直存在交點(diǎn)的,會受到一些參數(shù)范圍的限制,而這樣的認(rèn)識對于(2)②中“一定存在一個(gè)

    a

    的值,對于任何符合的

    m

    ,

    n

    ”這一條件的理解會更加深刻,從而聯(lián)想到這一范圍可能與

    x

    ,

    x

    的存在性相關(guān)

    .

    最后,在(1)②中設(shè)計(jì)“證明

    x

    +

    x

    的值不會隨著

    c

    的變化而變化”這一問題,依舊是為(2)②中探究“

    x

    +

    x

    -

    x

    ”是否為定值埋下了伏筆,引導(dǎo)學(xué)生將簡單情境中得出的

    x

    +

    x

    的性質(zhì)自主遷移到最后一問中去

    .

    像這樣逐層遞進(jìn)、從特殊到一般的良好試題結(jié)構(gòu)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比,以此激發(fā)出更多的聯(lián)想,能沿著一條清晰的思維鏈條逐漸向上攀登

    .

    2

    .

    2 聚焦變化的改編理念

    變化是一切事物的本質(zhì)特征,或者說這個(gè)世界上唯一不變的就是變化

    .

    在問題改編的過程中賦予變化視角,往往能看到事物的多面性

    .

    但雜亂無章的變化是沒有研究價(jià)值的,一般來說,不變性與存在性是在變化情境中研究問題的兩個(gè)常見維度,以此重新審視問題往往會獲取不一樣的探究視角

    .

    本題改編原型的第二問就蘊(yùn)涵著豐富的變化因素,例如在動直線平移的過程中找到符合

    x

    <

    x

    <

    x

    的圖象位置,這是一種變化中的存在性;發(fā)現(xiàn)

    x

    +

    x

    +

    x

    中的

    x

    +

    x

    不會隨著直線位置的變化而變化,這又體現(xiàn)出了一種變化中的不變性

    .

    作為改編,雖然不能完全照搬原問題的設(shè)計(jì),但其背后的思想、方法是可以延續(xù)甚至升華的

    .

    聚焦變化既是對原型的一種繼承與發(fā)揚(yáng),同時(shí)也是以多樣化視角尋求改編新意的重要契機(jī)

    .

    ·變化中的不變性

    原型中關(guān)于變化中的不變性是相對隱蔽的,再加上題目中并沒有直接給出研究不變性所需的參數(shù),對于代數(shù)意識較弱的學(xué)生可能會出現(xiàn)入門障礙

    .

    另一方面,設(shè)出參數(shù)后的推理過程相對簡單,也不能充分體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)素養(yǎng)

    .

    基于此,決定在原型基礎(chǔ)上在兩處分別降低、提升一個(gè)維度對變化中的不變性進(jìn)行改編

    .

    第一處:在(1)②中通過引入變量

    c

    ,構(gòu)建了無論

    c

    取何值,都不影響

    x

    +

    x

    恒為定值的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

    .

    對比原型來看,將“垂直于

    y

    軸的直線

    l

    ”具體化為函數(shù)表達(dá)式

    y

    =

    c

    ,這實(shí)質(zhì)上是多鋪設(shè)了一層臺階,幫助學(xué)生搭建了設(shè)參數(shù)描述函數(shù)交點(diǎn)的腳手架,避免了在原型中由于缺乏參數(shù)意識造成一部分學(xué)生在一開始就陷入無從下手的“恐慌”局面

    .

    學(xué)生在得到拋物線表達(dá)式

    y

    =-

    x

    +4

    x

    -3后,只要令-

    x

    +4

    x

    -3=

    c

    ,再根據(jù)

    c

    <1便可得

    Δ

    =4(1-

    c

    )>0,從而發(fā)現(xiàn)一定存在不重合的

    P

    Q

    兩點(diǎn)

    .

    第二處:在(2)②中將原型中垂直于

    y

    軸的直線

    l

    設(shè)定為

    y

    =

    m

    后,發(fā)現(xiàn)當(dāng)

    a

    取任意值時(shí),與之間沒有必然的數(shù)量關(guān)系(如圖1、圖2),但是將

    a

    取為-1后,無論怎樣改變

    m

    n

    的值,一直存在著不變的數(shù)量關(guān)系(如圖3、圖4)

    .

    利用這樣的關(guān)系構(gòu)造為

    M

    ·

    x

    模型便可以將其設(shè)計(jì)為任意中的確定問題,其中

    M

    代表了題目中的所有變量,而

    x

    則是關(guān)于要確定位置的常量的代數(shù)式,一般來說將變量提取后,令后面含常量的代數(shù)式的值為0,即可讓變量消失,從而讓變量的變化不影響整體的取值,以達(dá)到變化中不變的效果

    .

    具體地,令

    y

    =

    m

    可得

    ax

    -

    a

    (

    m

    +

    n

    )

    x

    +

    amn

    -

    m

    =0,解得

    x

    +

    x

    =

    m

    +

    n.

    再令-

    amx

    +

    amn

    =

    m

    ,又可以解得從而因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)

    a

    的值使得

    x

    +

    x

    -

    x

    為常數(shù),所以在中令即

    a

    =-1,此時(shí)

    x

    +

    x

    -

    x

    m

    無關(guān),為常數(shù)0

    .

    這與原型中的問題有所區(qū)別的是,它需要滿足某個(gè)特定的前提條件,要找到某個(gè)特殊位置才能讓某個(gè)量不會隨著變量的變化而變化,這在原型思維層級的基礎(chǔ)上又多了一層探究性與不確定性,對學(xué)生的能力要求自然也就更高

    .

    圖1 圖2

    圖3 圖4

    ·變化中的存在性

    由于重新設(shè)定的問題背景融入了大量參數(shù),所以函數(shù)圖象相較于原型結(jié)構(gòu)固化的缺陷,有了更加自由的延伸與探索空間

    .

    在改編時(shí)可以對不同的參數(shù)賦值,通過觀察、分析、推算、驗(yàn)證等方法以發(fā)現(xiàn)更多變化中的存在性,并將其設(shè)定為范圍求值、證明等問題,從而將試題改編再推上一個(gè)新的高度

    .

    本題共有兩處改編體現(xiàn)了變化中的存在性

    .

    圖5

    第一處:在(2)①中“已知點(diǎn)

    A

    在直線

    BC

    的上方,求

    m

    的取值范圍”正是基于原型中“求直線

    BC

    的表達(dá)式”、指向存在性研究的改編

    .

    在改編時(shí),借助于幾何畫板對不同的參數(shù)賦值使圖象位置發(fā)生變化,發(fā)現(xiàn)在變化的過程中點(diǎn)

    A

    時(shí)而落在直線

    BC

    的下方(如圖5、圖6),時(shí)而落在直線

    BC

    的上方(如圖7),并且無論怎樣改變

    n

    值的大小,都不影響點(diǎn)

    A

    與直線

    BC

    的位置關(guān)系,唯獨(dú)當(dāng)

    m

    分別為正值與負(fù)值時(shí),才會產(chǎn)生兩種不同的位置狀態(tài)

    .

    本題以點(diǎn)

    A

    在直線

    BC

    的下方作為要滿足的存在性要求對原型進(jìn)行了改編,發(fā)現(xiàn)通過代數(shù)推理可得0>-

    am

    +

    amn

    ,因?yàn)?p>a

    <0,所以

    m

    <

    mn.

    解這個(gè)不等式需要分類討論:如果

    m

    <0,那么

    m

    >

    n

    ,但這與條件中的

    m

    <

    n

    矛盾,不符合題意需要舍去;如果

    m

    >0,那么

    m

    <

    n

    ,符合題意

    .

    圖6 圖7

    第二處:在(2)②中“

    x

    +

    x

    -

    x

    為常數(shù)”討論的前提是“對于任何符合的

    m

    n

    ”均成立的任意性,而原型中關(guān)于“

    x

    <

    x

    <

    x

    ”并未提出相關(guān)參數(shù)使問題恒成立的范圍要求,但

    x

    x

    一定存在嗎?在對原型進(jìn)行改編時(shí)尤其側(cè)重了對這一現(xiàn)象的研究

    .

    在用幾何畫板繪圖時(shí)發(fā)現(xiàn)

    x

    必然存在,但當(dāng)直線位于拋物線頂點(diǎn)上方時(shí)是不存在

    x

    x

    的(如圖8、圖9)

    .

    此時(shí)設(shè)定條件“一定存在一個(gè)

    a

    的值”是為了控制直線

    y

    =

    m

    與拋物線圖象必須存在交點(diǎn)

    .

    從代數(shù)角度看,也就是聯(lián)列兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式后根的判別式要大于0,即在

    x

    -(

    m

    +

    n

    )

    x

    +

    mn

    +

    m

    =0中,

    Δ

    =(

    n

    -3

    m

    )(

    m

    +

    n

    )>0

    .

    對于該不等式的討論一般要分同正或同負(fù)兩種情況,略微繁瑣,但若直接給出其中一項(xiàng)的正負(fù)性又會讓題目缺乏層次感,過于淺顯

    .

    在秉持著簡約命題理念的同時(shí)又希望能蘊(yùn)含較為豐富的推理內(nèi)容與素養(yǎng)成分,最終決定給出條件其中

    h

    為可以任意賦值的常數(shù);只要選擇合適的

    h

    的范圍,就可以使交點(diǎn)一直存在

    .

    具體地,因?yàn)樗?p>n

    m

    同號,由①可知

    m

    >0,那么

    n

    >0,

    m

    +

    n

    >0,所以

    n

    -3

    m

    >0,即要在時(shí)結(jié)論一定成立,便有

    h

    ≥3

    .

    正是

    h

    這樣一個(gè)新參數(shù)的引入讓本題煥發(fā)出了新的生命力,在常數(shù)與變量、恒成立與存在性的差異與統(tǒng)一中使得問題的代數(shù)意蘊(yùn)更加濃厚,指向了更高階的代數(shù)素養(yǎng)

    .

    圖8 圖9

    3 素養(yǎng)表現(xiàn)

    3

    .

    1 扎實(shí)的運(yùn)算功底

    參數(shù)引入是本次改編的一大特點(diǎn),除了第一問的題①是解簡單的一元二次方程,后面三個(gè)問題均涉及一定量的參數(shù),而在參數(shù)較多的情況下能根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算,是代數(shù)素養(yǎng)達(dá)成的一種高度體現(xiàn)

    .

    相較于小學(xué)階段更加注重式的研究,初中階段更關(guān)注學(xué)生的抽象思維能力,在腳手架搭建合理的情況下適當(dāng)設(shè)置一些參數(shù),可以反映出學(xué)生能否選擇合理的運(yùn)算策略以解決結(jié)構(gòu)不良的代數(shù)問題,并以此促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展,這也有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度

    .

    3

    .

    2 必要的幾何直觀

    改編后的問題只有第一問給出的是具體函數(shù),但隨著解題的不斷推進(jìn),學(xué)生會愈發(fā)感受到函數(shù)的抽象性,越來越覺得無從下手,事實(shí)上這是參數(shù)增多后所引發(fā)的必然結(jié)果

    .

    本題之所以沒有畫出函數(shù)圖象,就是希望學(xué)生能嘗試著自己主動畫圖,通過圖象讓抽象的代數(shù)研究更加具體,以發(fā)展運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣,逐漸形成幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

    .

    前面提到,改編時(shí)問題的結(jié)構(gòu)設(shè)置是逐層遞進(jìn)的,學(xué)生可以先從第一問中的具體函數(shù)圖象開始畫起,并以此類比畫出后面抽象函數(shù)的大致草圖建立形與數(shù)之間的聯(lián)系

    .

    當(dāng)然,僅僅依靠圖象分析并不能完全說明問題,依舊需要借助于計(jì)算與推理進(jìn)行說理

    .

    但構(gòu)建直觀模型對于把握問題本質(zhì)、明晰研究路徑等方面的優(yōu)勢是不言而喻的,它能讓思維看得見、摸得著,讓推理有跡可循

    .

    3

    .

    3 嚴(yán)密的推理能力

    推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力

    .

    本題雖然是一道代數(shù)題,但對學(xué)生的推理能力卻有相當(dāng)?shù)囊?,尤其是最后一問,?dāng)學(xué)生面臨很多參數(shù)與不等式時(shí),要將這些不等關(guān)系加以綜合、分析以形成一條清晰的推理主線,是需要非常嚴(yán)密的整合能力的

    .

    另外,以小見大、聚焦變化的改編方式,也讓題目中整體結(jié)構(gòu)從特殊到一般的類比,關(guān)于存在性與不變性的分析、表述都建立在了邏輯性的基礎(chǔ)之上

    .

    由此看來,改編后的試題需要學(xué)生較強(qiáng)的推理能力

    .

    相信經(jīng)歷了這樣的過程后,可以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,有助于培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、合乎邏輯的思維方式,形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神

    .

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