以小見大 聚焦變化 指向素養(yǎng)
——以一道“函數(shù)探究題”的改編為例*

周 煉

(江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 225399)

2022年4月7日，江蘇省泰州市教育局教學(xué)研究室舉辦了全市初中數(shù)學(xué)教師命題比賽

.

此次比賽以提升初三數(shù)學(xué)教師命題能力、推進(jìn)初中數(shù)學(xué)命題改革、更好落實(shí)雙減政策以及新高考下教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕康?，同時(shí)也激發(fā)了全市初中數(shù)學(xué)教師以及教研員的命題熱情

.

比賽分兩種模式：改編試題與原創(chuàng)試題

.

筆者選擇了改編試題中的一道函數(shù)題作為初始素材，借助于幾何畫板等工具，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化、問題設(shè)計(jì)、思想升華等方面對試題展開了深入研究，并在改編過程中形成了一些主張與想法，下文作具體闡述

.

1 試題原型與改編

1

.

1 試題原型

在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，拋物線

y

=

x

-4

x

+3與

x

軸相交于點(diǎn)

A

，

B

(點(diǎn)

A

在點(diǎn)

B

的左側(cè))，與

y

軸相交于點(diǎn)

C.

(1)求直線

BC

的表達(dá)式

.

(2)垂直于

y

軸的直線

l

與拋物線相交于點(diǎn)

P

(

x

，

y

)，

Q

(

x

，

y

)，與直線

BC

交于點(diǎn)

N

(

x

，

y

)

.

若

x

<

x

<

x

，結(jié)合函數(shù)圖象，求

x

+

x

+

x

的取值范圍

.

1

.

2 改編呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中

xOy

中，拋物線

y

=

a

(

x

-

m

)(

x

-

n

)(

a

<0，

m

<

n

)與

x

軸交于點(diǎn)

A

，

B

(點(diǎn)

A

在點(diǎn)

B

的左側(cè))，與

y

軸相交于點(diǎn)

C.

直線

y

=

c

與拋物線相交于

P

(

x

，

y

)，

Q

(

x

，

y

)兩點(diǎn)(

P

與

Q

不重合)，與直線

BC

交于點(diǎn)

N

(

x

，

y

)

.

(1)設(shè)

a

=-1，

m

=1，

n

=3

.

①求線段

AB

的長；②證明：當(dāng)

c

<1時(shí)，一定存在不重合的

P

，

Q

兩點(diǎn)且

x

+

x

的值不會隨著

c

的變化而變化

.

(2)令

c

=

m

，且點(diǎn)

A

在直線

BC

的上方

.

①求

m

的取值范圍；②一定存在一個(gè)

a

的值，對于任何符合的

m

,

n

均可以使得

x

+

x

-

x

為常數(shù)，求

a

的值以及

h

的取值范圍

.

2 改編策略

2

.

1 以小見大的維度延伸

·將參數(shù)一般化，以拓寬試題的內(nèi)容

一道試題的背后，往往是命題者對試題所涉及的方方面面進(jìn)行透徹研究的結(jié)果，但考慮到學(xué)生的思維水平與接受程度，一般都會對結(jié)論作特殊化處理，以更加具體的問題情境作為呈現(xiàn)載體

.

但在改編一道試題時(shí)，若依舊停留在特殊化階段，命題的視野與格局便無法打開，看到的也僅僅是特定條件下的固化結(jié)論，不具備遷移性與推廣性，更談不上創(chuàng)新與發(fā)散

.

若想要激蕩出更多的靈感就要先將試題一般化，對于函數(shù)題來說主要是將參數(shù)一般化，這是一個(gè)由點(diǎn)到面再由面到點(diǎn)的過程，只有經(jīng)歷了這樣的過程，才會形成更豐富、寬廣、多元化的良好命題樣態(tài)

.

本題函數(shù)原型是一個(gè)完全確定的二次函數(shù)，但若囿于某個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式，改編的范圍便會十分狹隘，延伸面也較小

.

為了創(chuàng)造出更多的可能性，勢必要將拋物線

y

=

x

-4

x

+3推廣為更一般的形式

.

經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在整個(gè)問題中與

x

軸的兩個(gè)交點(diǎn)密切相關(guān)，所以將其一般化為交點(diǎn)式

y

=

a

(

x

-

m

)(

x

-

n

)是比較合理的，這樣便能在緊扣原型的基礎(chǔ)上以小見大地切入

.

至于原型中的直線，在改編時(shí)一開始給出的是一般形式

y

=

c

，但由于后續(xù)要研究更具體的存在性問題，在多次嘗試后發(fā)現(xiàn)令

y

=

m

能與

y

=

a

(

x

-

m

)(

x

-

n

)產(chǎn)生更為具體的、個(gè)性化的代數(shù)關(guān)聯(lián)，最終確定“

a

，

m

，

n

”為本題的參數(shù)設(shè)定

.

·將結(jié)構(gòu)層次化以促進(jìn)思維的遞進(jìn)

試題改編不同于直接命題，因?yàn)樵囶}原型本身是有研究基礎(chǔ)的、是原命題者思維的結(jié)晶，所以相當(dāng)于站在“巨人的肩膀”上再研究、再發(fā)現(xiàn)

.

試題改編雖要立足并尊重原型，但更要高于并突破原型，要能在已有研究成果之上彰顯創(chuàng)造性

.

而正是這樣逐漸往高處走的趨勢，反而有可能會在改編后變得“不接地氣”，甚至與學(xué)生的思維水平出現(xiàn)斷層

.

為了避免這樣的狀況發(fā)生，當(dāng)改編后的問題比較抽象或思維過于密集時(shí)，可以為其設(shè)置有層次的遞進(jìn)結(jié)構(gòu)，通過從特殊到一般的引導(dǎo)，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)小的切口，再從這個(gè)切口出發(fā)以小見大、循序漸進(jìn)地展開研究

.

本題改編共有三處在結(jié)構(gòu)層次化以促進(jìn)思維遞進(jìn)方面作了較為周密的思考

.

例如在(1)①中設(shè)計(jì)“計(jì)算線段

AB

的長”這一問題，是因?yàn)樵?2)①中要求

m

的范圍需要先算點(diǎn)

A

，

B

，

C

的坐標(biāo)，而后者在引入?yún)?shù)后對運(yùn)算的要求更高，有了①的鋪墊，學(xué)生對于

A

(

m

，0)，

B

(

n

，0)，

C

(0，

amn

)，

y

=-

amx

+

amn

這樣含參數(shù)的坐標(biāo)與函數(shù)表達(dá)式的接受度會更高，在運(yùn)算時(shí)也就有跡可循

.

同樣地，還有(1)②中設(shè)計(jì)“證明當(dāng)

c

<1時(shí)，一定存在不重合的

P

，

Q

兩點(diǎn)”這一問題，是希望學(xué)生能關(guān)注到直線與二次函數(shù)圖象不是一直存在交點(diǎn)的，會受到一些參數(shù)范圍的限制，而這樣的認(rèn)識對于(2)②中“一定存在一個(gè)

a

的值，對于任何符合的

m

，

n

”這一條件的理解會更加深刻，從而聯(lián)想到這一范圍可能與

x

，

x

的存在性相關(guān)

.

最后，在(1)②中設(shè)計(jì)“證明

x

+

x

的值不會隨著

c

的變化而變化”這一問題，依舊是為(2)②中探究“

x

+

x

-

x

”是否為定值埋下了伏筆，引導(dǎo)學(xué)生將簡單情境中得出的

x

+

x

的性質(zhì)自主遷移到最后一問中去

.

像這樣逐層遞進(jìn)、從特殊到一般的良好試題結(jié)構(gòu)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，以此激發(fā)出更多的聯(lián)想，能沿著一條清晰的思維鏈條逐漸向上攀登

.

2

.

2 聚焦變化的改編理念

變化是一切事物的本質(zhì)特征，或者說這個(gè)世界上唯一不變的就是變化

.

在問題改編的過程中賦予變化視角，往往能看到事物的多面性

.

但雜亂無章的變化是沒有研究價(jià)值的，一般來說，不變性與存在性是在變化情境中研究問題的兩個(gè)常見維度，以此重新審視問題往往會獲取不一樣的探究視角

.

本題改編原型的第二問就蘊(yùn)涵著豐富的變化因素，例如在動直線平移的過程中找到符合

x

<

x

<

x

的圖象位置，這是一種變化中的存在性；發(fā)現(xiàn)

x

+

x

+

x

中的

x

+

x

不會隨著直線位置的變化而變化，這又體現(xiàn)出了一種變化中的不變性

.

作為改編，雖然不能完全照搬原問題的設(shè)計(jì)，但其背后的思想、方法是可以延續(xù)甚至升華的

.

聚焦變化既是對原型的一種繼承與發(fā)揚(yáng)，同時(shí)也是以多樣化視角尋求改編新意的重要契機(jī)

.

·變化中的不變性

原型中關(guān)于變化中的不變性是相對隱蔽的，再加上題目中并沒有直接給出研究不變性所需的參數(shù)，對于代數(shù)意識較弱的學(xué)生可能會出現(xiàn)入門障礙

.

另一方面，設(shè)出參數(shù)后的推理過程相對簡單，也不能充分體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)素養(yǎng)

.

基于此，決定在原型基礎(chǔ)上在兩處分別降低、提升一個(gè)維度對變化中的不變性進(jìn)行改編

.

第一處：在(1)②中通過引入變量

c

，構(gòu)建了無論

c

取何值，都不影響

x

+

x

恒為定值的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

.

對比原型來看，將“垂直于

y

軸的直線

l

”具體化為函數(shù)表達(dá)式

y

=

c

，這實(shí)質(zhì)上是多鋪設(shè)了一層臺階，幫助學(xué)生搭建了設(shè)參數(shù)描述函數(shù)交點(diǎn)的腳手架，避免了在原型中由于缺乏參數(shù)意識造成一部分學(xué)生在一開始就陷入無從下手的“恐慌”局面

.

學(xué)生在得到拋物線表達(dá)式

y

=-

x

+4

x

-3后，只要令-

x

+4

x

-3=

c

，再根據(jù)

c

<1便可得

Δ

=4(1-

c

)>0，從而發(fā)現(xiàn)一定存在不重合的

P

與

Q

兩點(diǎn)

.

第二處：在(2)②中將原型中垂直于

y

軸的直線

l

設(shè)定為

y

=

m

后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)

a

取任意值時(shí)，與之間沒有必然的數(shù)量關(guān)系(如圖1、圖2)，但是將

a

取為-1后，無論怎樣改變

m

與

n

的值，一直存在著不變的數(shù)量關(guān)系(如圖3、圖4)

.

利用這樣的關(guān)系構(gòu)造為

M

·

x

模型便可以將其設(shè)計(jì)為任意中的確定問題，其中

M

代表了題目中的所有變量，而

x

則是關(guān)于要確定位置的常量的代數(shù)式，一般來說將變量提取后，令后面含常量的代數(shù)式的值為0，即可讓變量消失，從而讓變量的變化不影響整體的取值，以達(dá)到變化中不變的效果

.

具體地，令

y

=

m

可得

ax

-

a

(

m

+

n

)

x

+

amn

-

m

=0，解得

x

+

x

=

m

+

n.

再令-

amx

+

amn

=

m

，又可以解得從而因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)

a

的值使得

x

+

x

-

x

為常數(shù)，所以在中令即

a

=-1，此時(shí)

x

+

x

-

x

與

m

無關(guān)，為常數(shù)0

.

這與原型中的問題有所區(qū)別的是，它需要滿足某個(gè)特定的前提條件，要找到某個(gè)特殊位置才能讓某個(gè)量不會隨著變量的變化而變化，這在原型思維層級的基礎(chǔ)上又多了一層探究性與不確定性，對學(xué)生的能力要求自然也就更高

.

圖1 圖2

圖3 圖4

·變化中的存在性

由于重新設(shè)定的問題背景融入了大量參數(shù)，所以函數(shù)圖象相較于原型結(jié)構(gòu)固化的缺陷，有了更加自由的延伸與探索空間

.

在改編時(shí)可以對不同的參數(shù)賦值，通過觀察、分析、推算、驗(yàn)證等方法以發(fā)現(xiàn)更多變化中的存在性，并將其設(shè)定為范圍求值、證明等問題，從而將試題改編再推上一個(gè)新的高度

.

本題共有兩處改編體現(xiàn)了變化中的存在性

.

圖5

第一處：在(2)①中“已知點(diǎn)

A

在直線

BC

的上方，求

m

的取值范圍”正是基于原型中“求直線

BC

的表達(dá)式”、指向存在性研究的改編

.

在改編時(shí)，借助于幾何畫板對不同的參數(shù)賦值使圖象位置發(fā)生變化，發(fā)現(xiàn)在變化的過程中點(diǎn)

A

時(shí)而落在直線

BC

的下方(如圖5、圖6)，時(shí)而落在直線

BC

的上方(如圖7)，并且無論怎樣改變

n

值的大小，都不影響點(diǎn)

A

與直線

BC

的位置關(guān)系，唯獨(dú)當(dāng)

m

分別為正值與負(fù)值時(shí)，才會產(chǎn)生兩種不同的位置狀態(tài)

.

本題以點(diǎn)

A

在直線

BC

的下方作為要滿足的存在性要求對原型進(jìn)行了改編，發(fā)現(xiàn)通過代數(shù)推理可得0>-

am

+

amn

，因?yàn)?p>a

<0，所以

m

<

mn.

解這個(gè)不等式需要分類討論：如果

m

<0，那么

m

>

n

，但這與條件中的

m

<

n

矛盾，不符合題意需要舍去；如果

m

>0，那么

m

<

n

，符合題意

.

圖6 圖7

第二處：在(2)②中“

x

+

x

-

x

為常數(shù)”討論的前提是“對于任何符合的

m

與

n

”均成立的任意性，而原型中關(guān)于“

x

<

x

<

x

”并未提出相關(guān)參數(shù)使問題恒成立的范圍要求，但

x

與

x

一定存在嗎？在對原型進(jìn)行改編時(shí)尤其側(cè)重了對這一現(xiàn)象的研究

.

在用幾何畫板繪圖時(shí)發(fā)現(xiàn)

x

必然存在，但當(dāng)直線位于拋物線頂點(diǎn)上方時(shí)是不存在

x

與

x

的(如圖8、圖9)

.

此時(shí)設(shè)定條件“一定存在一個(gè)

a

的值”是為了控制直線

y

=

m

與拋物線圖象必須存在交點(diǎn)

.

從代數(shù)角度看，也就是聯(lián)列兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式后根的判別式要大于0，即在

x

-(

m

+

n

)

x

+

mn

+

m

=0中，

Δ

=(

n

-3

m

)(

m

+

n

)>0

.

對于該不等式的討論一般要分同正或同負(fù)兩種情況，略微繁瑣，但若直接給出其中一項(xiàng)的正負(fù)性又會讓題目缺乏層次感，過于淺顯

.

在秉持著簡約命題理念的同時(shí)又希望能蘊(yùn)含較為豐富的推理內(nèi)容與素養(yǎng)成分，最終決定給出條件其中

h

為可以任意賦值的常數(shù)；只要選擇合適的

h

的范圍，就可以使交點(diǎn)一直存在

.

具體地，因?yàn)樗?p>n

與

m

同號，由①可知

m

>0，那么

n

>0，

m

+

n

>0，所以

n

-3

m

>0，即要在時(shí)結(jié)論一定成立，便有

h

≥3

.

正是

h

這樣一個(gè)新參數(shù)的引入讓本題煥發(fā)出了新的生命力，在常數(shù)與變量、恒成立與存在性的差異與統(tǒng)一中使得問題的代數(shù)意蘊(yùn)更加濃厚，指向了更高階的代數(shù)素養(yǎng)

.

圖8 圖9

3 素養(yǎng)表現(xiàn)

3

.

1 扎實(shí)的運(yùn)算功底

參數(shù)引入是本次改編的一大特點(diǎn)，除了第一問的題①是解簡單的一元二次方程，后面三個(gè)問題均涉及一定量的參數(shù)，而在參數(shù)較多的情況下能根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算，是代數(shù)素養(yǎng)達(dá)成的一種高度體現(xiàn)

.

相較于小學(xué)階段更加注重式的研究，初中階段更關(guān)注學(xué)生的抽象思維能力，在腳手架搭建合理的情況下適當(dāng)設(shè)置一些參數(shù)，可以反映出學(xué)生能否選擇合理的運(yùn)算策略以解決結(jié)構(gòu)不良的代數(shù)問題，并以此促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展，這也有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度

.

3

.

2 必要的幾何直觀

改編后的問題只有第一問給出的是具體函數(shù)，但隨著解題的不斷推進(jìn)，學(xué)生會愈發(fā)感受到函數(shù)的抽象性，越來越覺得無從下手，事實(shí)上這是參數(shù)增多后所引發(fā)的必然結(jié)果

.

本題之所以沒有畫出函數(shù)圖象，就是希望學(xué)生能嘗試著自己主動畫圖，通過圖象讓抽象的代數(shù)研究更加具體，以發(fā)展運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣，逐漸形成幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

.

前面提到，改編時(shí)問題的結(jié)構(gòu)設(shè)置是逐層遞進(jìn)的，學(xué)生可以先從第一問中的具體函數(shù)圖象開始畫起，并以此類比畫出后面抽象函數(shù)的大致草圖建立形與數(shù)之間的聯(lián)系

.

當(dāng)然，僅僅依靠圖象分析并不能完全說明問題，依舊需要借助于計(jì)算與推理進(jìn)行說理

.

但構(gòu)建直觀模型對于把握問題本質(zhì)、明晰研究路徑等方面的優(yōu)勢是不言而喻的，它能讓思維看得見、摸得著，讓推理有跡可循

.

3

.

3 嚴(yán)密的推理能力

推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力

.

本題雖然是一道代數(shù)題，但對學(xué)生的推理能力卻有相當(dāng)?shù)囊?，尤其是最后一問，?dāng)學(xué)生面臨很多參數(shù)與不等式時(shí)，要將這些不等關(guān)系加以綜合、分析以形成一條清晰的推理主線，是需要非常嚴(yán)密的整合能力的

.

另外，以小見大、聚焦變化的改編方式，也讓題目中整體結(jié)構(gòu)從特殊到一般的類比，關(guān)于存在性與不變性的分析、表述都建立在了邏輯性的基礎(chǔ)之上

.

由此看來，改編后的試題需要學(xué)生較強(qiáng)的推理能力

.

相信經(jīng)歷了這樣的過程后，可以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、合乎邏輯的思維方式，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神

.