以核心問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)
——以“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例*

李建國(guó)

(山東省臨沂市教育科學(xué)研究院 276000)

“初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.”在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，而任何一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)又離不開(kāi)核心問(wèn)題的引領(lǐng)，因此提煉課堂教學(xué)的核心問(wèn)題無(wú)疑是教學(xué)設(shè)計(jì)中最重要的環(huán)節(jié).

課堂教學(xué)中的核心問(wèn)題是指在一節(jié)課或者課的某個(gè)環(huán)節(jié)上基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的全面分析后形成的，針對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，能直達(dá)知識(shí)本質(zhì)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考和主動(dòng)探究的引領(lǐng)性問(wèn)題.下面以人教版義務(wù)教育教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例，談如何通過(guò)核心問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí).

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析

方程與不等式是“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，代入法解二元一次方程組是初中階段“方程與不等式”內(nèi)容的重要知識(shí)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次、高次方程(組)和不等式(組)的重要基礎(chǔ).與其關(guān)聯(lián)密切的知識(shí)和素養(yǎng)如圖1所示.

圖1

在知識(shí)儲(chǔ)備上，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程的概念、解法和簡(jiǎn)單應(yīng)用，也剛剛學(xué)習(xí)了二元一次方程(組)的定義、解等概念，理解了二元一次方程的解有無(wú)數(shù)多個(gè)，二元一次方程組的解是兩個(gè)方程的公共解.在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上，學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)式到方程”“建方程”“解方程”“用方程”的過(guò)程.通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道可以通過(guò)類(lèi)比一元一次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程繼續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程(組)的概念、解法和應(yīng)用.在學(xué)習(xí)動(dòng)力方面，學(xué)生能夠理解方程思想的意義和解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程組解法存在潛在期待.

1.2 教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)的確定，要關(guān)注學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)——一元到二元、方程到方程組；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)——“轉(zhuǎn)化”是變復(fù)雜為簡(jiǎn)單的基本思想，消元是解決多元問(wèn)題的基本思想；關(guān)注學(xué)生能力和素養(yǎng)的發(fā)展——分析解決問(wèn)題的能力、推理能力、運(yùn)算能力；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)態(tài)度的生長(zhǎng)——體會(huì)代數(shù)知識(shí)的一般學(xué)習(xí)規(guī)律，感受個(gè)人在學(xué)習(xí)過(guò)程中的成就感、獲得感.結(jié)合前面的內(nèi)容、學(xué)情分析，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對(duì)本課知識(shí)的要求，即“掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組”，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)如下.

教學(xué)目標(biāo) (1)理解消元是解二元一次方程組的基本思想；

(2)會(huì)用代入消元法解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組；

(3)在探究代入消元法解二元一次方程組的過(guò)程中，感受轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力.

教學(xué)的重點(diǎn)是掌握代入消元法解二元一次方程組，難點(diǎn)是對(duì)消元法的深刻理解和運(yùn)用.

2 以核心問(wèn)題引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

2.1 核心問(wèn)題引領(lǐng)知識(shí)關(guān)聯(lián)

深度學(xué)習(xí)的特征之一是聯(lián)想與結(jié)構(gòu).要讓學(xué)生將之前具有的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與目前的學(xué)習(xí)聯(lián)系起來(lái)，以系統(tǒng)化思想促進(jìn)知識(shí)的再生長(zhǎng).解二元一次方程組需要聯(lián)想解一元一次方程的思想(轉(zhuǎn)化與化歸)、方法(根據(jù)等式性質(zhì)進(jìn)行恒等變形)、步驟(去分母/去括號(hào)/移項(xiàng)/合并同類(lèi)項(xiàng)/系數(shù)化為1)，為獲得解二元一次方程組的思路找到類(lèi)比遷移的根基.由此提煉出本節(jié)課第一個(gè)核心問(wèn)題：在之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中，怎樣解一元一次方程？為何這樣解？一元一次方程有何應(yīng)用價(jià)值？

在核心問(wèn)題的引領(lǐng)下，設(shè)計(jì)兩個(gè)問(wèn)題串，引入新課.

問(wèn)題1

回顧一元一次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程，思考：

(1)我們學(xué)習(xí)了一元一次方程的哪些知識(shí)？

(2)解一元一次方程有哪些步驟？其中蘊(yùn)含怎樣的數(shù)學(xué)思想？

設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)回顧一元一次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程，尤其是再次回憶“化繁為簡(jiǎn)”的轉(zhuǎn)化思想，促使學(xué)生逐漸悟出“消元”——轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解二元一次方程組的的根本出路.

問(wèn)題2

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？

(1)回想小學(xué)時(shí)的求解方法和上學(xué)期的一元一次方程的求解方法，思考它們各自有何優(yōu)點(diǎn)？

(2)能否用二元一次方程組解決？請(qǐng)?jiān)O(shè)出未知數(shù)，列出方程組.

(3)根據(jù)解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為解二元一次方程組的關(guān)鍵是什么？

設(shè)計(jì)意圖

解決雞兔同籠問(wèn)題經(jīng)歷了三種方法：小學(xué)時(shí)的算術(shù)方法，初一上學(xué)期的一元一次方程方法，現(xiàn)在的二元一次方程組的方法.三種方法體現(xiàn)了學(xué)生知識(shí)發(fā)展的三個(gè)階段.對(duì)比三種方法，讓學(xué)生再次感受方程思想的價(jià)值，初步感受本課知識(shí)學(xué)習(xí)的意義，體會(huì)二元一次方程組的應(yīng)用價(jià)值，并引出了新課.

2.2 核心問(wèn)題引領(lǐng)新知生成

引入課題以后，要通過(guò)新知識(shí)探究的過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，深刻認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力，提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在探求二元一次方程組的解法過(guò)程中，會(huì)用到化多元為一元的消元思想，要讓學(xué)生經(jīng)歷為何消元、怎樣消元的思維過(guò)程，也要讓學(xué)生明白“化多元為一元”是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想除“化繁為簡(jiǎn)”外的進(jìn)一步的應(yīng)用.因此，這一階段的核心問(wèn)題應(yīng)該聚焦于“如何想到消元？為什么消元是解題中必經(jīng)的步驟？如何消元？”為此筆者設(shè)計(jì)了下面的問(wèn)題串，并在探究過(guò)程中根據(jù)學(xué)生的領(lǐng)悟程度進(jìn)行追問(wèn).

問(wèn)題3

對(duì)于前面的雞兔同籠問(wèn)題，我們不妨先用一元一次方程解出問(wèn)題答案，然后進(jìn)一步思考：

(1)在得到方程組后，下一步的求解過(guò)程會(huì)遇到什么困難？

(2)在探求一元一次方程解的過(guò)程中，我們運(yùn)用了化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想，這對(duì)我們解二元一次方程組有哪些啟示？

教學(xué)分析 探究過(guò)程中，學(xué)生在挑戰(zhàn)性問(wèn)題的引領(lǐng)之下，需要經(jīng)歷“獨(dú)立思考”“小組交流”“自主展示”“討論互動(dòng)”等階段，最終達(dá)成“只要能夠先解出方程組中的一個(gè)未知數(shù)，就能求出方程組的解”這一共識(shí)

.

過(guò)程中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，由學(xué)生自主完成，教師適當(dāng)評(píng)價(jià)和追問(wèn)

.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值不只是學(xué)得更多的知識(shí)，更重要的是借助知識(shí)的學(xué)習(xí)獲得研究問(wèn)題的思路方法、解決問(wèn)題的思想和經(jīng)驗(yàn)，以及從中獲得的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

.

在核心問(wèn)題的引領(lǐng)下，通過(guò)對(duì)第一個(gè)難點(diǎn)——“兩個(gè)元”的關(guān)注，讓學(xué)生在思考中明白消元思想的來(lái)源，深刻認(rèn)識(shí)消元思想的價(jià)值，鍛煉學(xué)生遇到困難后深入分析和調(diào)整思維方向的能力

.

接著教學(xué)進(jìn)入如何消元這一環(huán)節(jié)

.

問(wèn)題4

回想求解一元一次方程時(shí)一系列轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，認(rèn)真觀察列出的二元一次方程組和一元一次方程有何關(guān)系，能否從中得到啟發(fā)？解法1 設(shè)雞

x

只，兔

y

只，得到方程組(求解遇到困難)解法2 設(shè)雞

x

只，則兔有35-

x

只，由題意，得2

x

+4(35-

x

)=94，解得

x

=23

.

又35- 23=12，所以雞有23只，兔有12只

.

教學(xué)分析 在學(xué)生仔細(xì)觀察、思考、交流后，發(fā)現(xiàn)“解法2中‘35-

x

’，可由解法1中方程①的變形

y

=35-

x

得到；解法2中的2

x

+4(35-

x

)=94，就是把解法1中方程②里的

y

替換成(35-

x

)得到的”，進(jìn)而獲得解題突破

.

在隨后的解方程組的過(guò)程中，學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視

.

這一過(guò)程中，學(xué)生出現(xiàn)了解答步驟不嚴(yán)密、解出

x

后回代的方程出錯(cuò)，以及因?yàn)閷?duì)解法理解不清造成解題思路混亂的情形，對(duì)于這些情況教師用手機(jī)拍照投屏或把學(xué)生的解答實(shí)物投影進(jìn)行點(diǎn)評(píng)分析

.

接下來(lái)通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)進(jìn)行解題反思，凝練消元思想，總結(jié)消元法解題的基本思路

.

追問(wèn)1

回想一下，解二元一次方程組最初的難點(diǎn)在哪？怎樣突破了這個(gè)難點(diǎn)？用到了什么數(shù)學(xué)思想？生：難點(diǎn)在于未知數(shù)是兩個(gè)

.

通過(guò)對(duì)比運(yùn)用一元一次方程解題的過(guò)程，用

x

表達(dá)

y

，把方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程就能突破這個(gè)難點(diǎn)

.

這里用到了轉(zhuǎn)化思想

.

師：上述解法中，消去二元一次方程組兩個(gè)未知數(shù)中的一個(gè)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一未知數(shù)

.

我們用到了轉(zhuǎn)化思想，區(qū)別于解一元一次方程時(shí)的“化繁為簡(jiǎn)”，這里的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了“化二元為一元”的目的

.

這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想

.

追問(wèn)2

我們還需要反思什么？生：反思解題的思路和解題過(guò)程

.

基本思路和步驟是：“第一步：將方程組中一個(gè)方程等價(jià)變形，

y

用

x

表示出來(lái)；第二步：代入另一個(gè)方程；第三步：解出

x

；第四步：回代

x

，求出

y

；第五步：寫(xiě)出答案

.

”上述過(guò)程可以用下面的流程圖2表示

.

圖2 解二元一次方程組流程

可以把解方程組的步驟進(jìn)一步概括為：“變形，代入，解出

x

，回代，獲得方程組的解”五步

.

追問(wèn)3

還有需要再反思的嗎？生：還可以消去

x

，把方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于

y

的一元一次方程

.

說(shuō)明 要讓學(xué)生明白在方程組中，

x

和

y

的地位是平等的，既然能消去

y

，當(dāng)然可以消去

x.

師：上面的解法，是利用二元一次方程組中一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解

.

這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法

.

在上述教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)核心問(wèn)題“如何想到消元？為什么消元是解題中必經(jīng)的步驟？如何消元？”的引領(lǐng)，學(xué)生通過(guò)解決一系列富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，經(jīng)歷了充分的思考和體驗(yàn)，深刻理解了消元法的來(lái)源、作用、方法，達(dá)成對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，順利實(shí)現(xiàn)從“解一元”到“解二元”的方法遷移

.

2

.

3 核心問(wèn)題引領(lǐng)高階認(rèn)知發(fā)展

根據(jù)深度學(xué)習(xí)的要求，完成了知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和方法遷移以后，還需要對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度加工，提升學(xué)生“運(yùn)用”“分析”“綜合”“創(chuàng)新”等高階認(rèn)知能力

.

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，從具體實(shí)例入手，通過(guò)核心問(wèn)題“可以怎樣解決？還能怎樣解決？哪種更優(yōu)？最優(yōu)方法受到什么條件的制約？”引領(lǐng)學(xué)生充分分析具體問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，更深地領(lǐng)悟“消元”的價(jià)值

.

為達(dá)成這個(gè)目的，更換教科書(shū)的例題為：

例1

解方程組：首先由學(xué)生分析題意，找出解題思路

.

然后再通過(guò)研究其他解題思路明確在解方程組的過(guò)程中，消去

x

與消去

y

、變形方程①與變形方程②都是合理的，這取決于方程組的特點(diǎn)

.

最后進(jìn)行總結(jié)反思

.

在學(xué)生解題過(guò)程中，教師巡視、拍照、準(zhǔn)備投屏點(diǎn)評(píng)

.

追問(wèn)1 在本題的解答過(guò)程中，你有哪些收獲？

追問(wèn)2 回代到方程組中任何一個(gè)方程都可以嗎？

追問(wèn)3 說(shuō)說(shuō)你的思路是從哪來(lái)的？

追問(wèn)4 還有沒(méi)有其他解題思路？

通過(guò)對(duì)解題思路和過(guò)程的反思，提高學(xué)生對(duì)解方程組的認(rèn)識(shí)：整體著眼、方便入手、簡(jiǎn)化運(yùn)算，達(dá)成最優(yōu)解法，甚至于能夠發(fā)現(xiàn)通過(guò)兩式相加來(lái)消元，引出解二元一次方程組的另一條思路——加減消元法

.

變式可以怎么解？

生：可以把方程先化簡(jiǎn)，再求解；也可以把(

x

-2

y

)看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行求解；還可以?xún)墒较嗉?，先消?

x

-2

y

)；還可以把第二個(gè)方程去括號(hào)，就得到

y

，回代求出

x.

經(jīng)歷了以上的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生在各種思路的對(duì)比中找到最佳的方法，有利于學(xué)生養(yǎng)成解題前認(rèn)真審題的好習(xí)慣，鍛煉學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析能力、綜合應(yīng)用能力，發(fā)展他們的批判性思維水平，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在對(duì)回代哪個(gè)方程的反思過(guò)程中，加深學(xué)生對(duì)解方程組本質(zhì)的認(rèn)識(shí).加減消元法的發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生從更加廣闊的視角觀察問(wèn)題，提高學(xué)生的創(chuàng)新性思維水平，也為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)打開(kāi)了一扇窗.問(wèn)題的變式引發(fā)學(xué)生新一輪的探究熱情，進(jìn)一步提升學(xué)生的高階認(rèn)知能力.

2.4 核心問(wèn)題引領(lǐng)反思提升

深度學(xué)習(xí)著意學(xué)習(xí)過(guò)程的建構(gòu)反思.課堂小結(jié)是梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)歷程、提升學(xué)生總結(jié)概括能力的重要環(huán)節(jié)，也是下節(jié)課知識(shí)孕育的生長(zhǎng)點(diǎn)，要給學(xué)生留有充足的時(shí)間，讓學(xué)生帶著問(wèn)題認(rèn)真反思.核心問(wèn)題要在“如何梳理知識(shí)、方法、結(jié)構(gòu)？如何提煉本節(jié)課的核心思想？如何預(yù)留未來(lái)發(fā)展空間？”這幾個(gè)問(wèn)題上進(jìn)行提煉，達(dá)成完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、加深思想認(rèn)識(shí)、優(yōu)化學(xué)習(xí)習(xí)慣、提升自主學(xué)習(xí)能力的目標(biāo).

問(wèn)題5

請(qǐng)回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，帶著以下問(wèn)題自主歸納梳理.

(1)本節(jié)課上你在知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)方面有哪些收獲？請(qǐng)用思維導(dǎo)圖方式進(jìn)行梳理.(圖3)

圖3

(2)今天的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你感受最深刻的數(shù)學(xué)思想有哪些？在哪些地方用到了它們？

(3)再觀察例1，以整體的思想分析兩個(gè)方程，通過(guò)兩式相加就能消去一個(gè)未知數(shù)，如果改變未知數(shù)的系數(shù)，還能進(jìn)行這類(lèi)形式的消元嗎？課下可以進(jìn)一步思考.

3 結(jié)語(yǔ)

淺層學(xué)習(xí)的認(rèn)知水平往往只停留在“識(shí)記”“理解”，要達(dá)到高階認(rèn)知水平，需要實(shí)施深度學(xué)習(xí)，其策略是基于問(wèn)題引領(lǐng)、基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)、基于過(guò)程評(píng)價(jià),其關(guān)鍵是核心問(wèn)題的研究和提煉.在教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動(dòng)中，認(rèn)真研究提煉核心問(wèn)題，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，從知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，系統(tǒng)理解教學(xué)內(nèi)容；從實(shí)際應(yīng)用和挑戰(zhàn)性問(wèn)題的設(shè)計(jì)出發(fā)，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生積極思考；從發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)出發(fā)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；從注重探尋學(xué)習(xí)規(guī)律和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)方法出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).只有如此，才能做到“充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，引導(dǎo)教師深入理解學(xué)科特點(diǎn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法，科學(xué)把握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，上好每堂課”.這是時(shí)代的呼喚，也是國(guó)家對(duì)全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的要求.