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    促進(jìn)學(xué)生理解的“生長式問題串”設(shè)計策略
    ——以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習(xí)課為例

    2022-09-19 10:16:46彭文斌
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
    關(guān)鍵詞:動點(diǎn)象限拋物線

    彭文斌

    (四川省成都七中八一學(xué)校 610036)

    蘇聯(lián)著名教育家贊可夫曾說:“教會學(xué)生思考,這對學(xué)生來說,是一生中最有價值的本錢.”數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)生學(xué)會思考,其核心是發(fā)展學(xué)生的思維能力,數(shù)學(xué)課堂要致力于讓學(xué)生思維真正發(fā)生.要到達(dá)這樣的目的,教師在教學(xué)中要設(shè)計富有情境的、有思考價值的問題,在層層遞進(jìn)的生長式問題串驅(qū)動下,引領(lǐng)學(xué)生開展深度學(xué)習(xí)與深度思考,在這樣的狀態(tài)下獲得的知識是自然生長的、是終身的.

    因此,在數(shù)學(xué)課堂中,教師要善于構(gòu)建具有生長樣態(tài)的問題串,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程,把握數(shù)學(xué)知識的本源,感受數(shù)學(xué)獨(dú)特的思維方式,在知識形成和解決問題的過程中,促進(jìn)理解、融會貫通、靈活遷移,從而獲得智慧、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以“二次函數(shù)背景下的最值問題”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計為例,談?wù)勔I(lǐng)學(xué)生思維生長、促進(jìn)學(xué)生理解的生長式問題串的設(shè)計策略.

    1 確立核心問題,找準(zhǔn)問題起點(diǎn)

    “二次函數(shù)背景下的最值問題”這節(jié)專題復(fù)習(xí)課的核心問題是在二次函數(shù)背景下,動點(diǎn)引發(fā)的有關(guān)線段或面積最值問題的探究.在核心問題大背景下,努力找到探尋的起點(diǎn),讓學(xué)生比較容易入手.故此,設(shè)置本節(jié)課第一個基礎(chǔ)的起點(diǎn)問題:

    問題1

    拋物線

    y

    =-

    x

    -2

    x

    +3位于

    x

    軸上方的圖象上有一動點(diǎn)

    P

    ,點(diǎn)

    P

    距離

    x

    軸最遠(yuǎn)時點(diǎn)

    P

    的位置在哪里?

    圖1

    這樣的問題讓學(xué)生很容易入手,發(fā)現(xiàn)距離

    x

    軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)(圖1).問題1起點(diǎn)低,符合學(xué)生的已有知識基礎(chǔ),這個問題成了后續(xù)所有問題的起點(diǎn),我們就可以設(shè)置該問題的一系列變式問題.

    2 明確生長點(diǎn)位,構(gòu)建關(guān)聯(lián)變式

    英國科學(xué)哲學(xué)家波普爾也曾說過:“科學(xué)和知識的增長永遠(yuǎn)始于問題,終于問題——越來越深化的問題,越來越能啟發(fā)新問題的問題.”在問題1的啟發(fā)下我們尋找關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)的變式問題,探尋起點(diǎn)問題下的問題生長.因此,設(shè)計第二個引發(fā)深度思考的問題:

    圖2

    問題2

    已知拋物線

    y

    =-

    x

    -2

    x

    +3與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    C

    ,與

    y

    軸交于點(diǎn)

    B

    ,點(diǎn)

    D

    (0,1),點(diǎn)

    P

    是位于第二象限拋物線上的動點(diǎn),過點(diǎn)

    P

    PH

    x

    軸交線段

    CD

    H

    ,當(dāng)

    PH

    取得最大值時,點(diǎn)

    P

    還是拋物線的頂點(diǎn)嗎(圖2)?問題2與問題1關(guān)聯(lián)性極強(qiáng),直線

    CD

    可以看作是將

    x

    軸繞著點(diǎn)

    C

    旋轉(zhuǎn)得到,但卻不能直接回答使得

    PH

    最大時點(diǎn)

    P

    是否還是拋物線頂點(diǎn).從而引發(fā)學(xué)生深度思考與深入探究.問題2可以看作是由問題1生長出來的新問題,其解決方法和策略需要學(xué)生更加理性地思考,嚴(yán)格論證.在師生的合作交流中得到問題的解決:設(shè)點(diǎn)

    P

    (

    m

    ,-

    m

    -2

    m

    +3),易求得

    CD

    的表達(dá)式為故點(diǎn)

    H

    的坐標(biāo)為故當(dāng)時,

    PH

    取得最大值.通過嚴(yán)格論證,學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)

    PH

    取得最大值時,點(diǎn)

    P

    并不是拋物線頂點(diǎn).這種構(gòu)建函數(shù)模型求線段最值的方法,讓學(xué)生進(jìn)一步理解了問題2與問題1的關(guān)系——其核心都是求函數(shù)的最值.進(jìn)一步思考,問題2并不是求拋物線上動點(diǎn)

    P

    到直線

    CD

    距離的最大值,從而繼續(xù)生長出了下面的問題:

    問題3

    已知拋物線

    y

    =-

    x

    -2

    x

    +3與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    C

    ,與

    y

    軸交于點(diǎn)

    B

    ,點(diǎn)

    D

    (0,1),

    P

    是第二象限拋物線上的動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)

    P

    距離直線

    CD

    最遠(yuǎn)時,求點(diǎn)

    P

    坐標(biāo)(圖3).

    圖3

    問題3的提出是問題2的進(jìn)一步探究,但學(xué)生想再直接建立點(diǎn)

    P

    CD

    的距離

    PG

    的函數(shù)模型就更加困難了

    .

    解決這個問題讓學(xué)生進(jìn)入深度思考,繼而想到平移直線

    CD

    與拋物線相切于第二象限,切點(diǎn)即為點(diǎn)

    P

    的位置.這一數(shù)形結(jié)合的方法自然而然地產(chǎn)生了.求切線和切點(diǎn)的方法背后的數(shù)形結(jié)合思想與方程思想可以讓學(xué)生徹底領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之美.對于這些方法的普適性更應(yīng)在教學(xué)中去滲透.問題3還可以如何生長?其實(shí)解答完問題3之后學(xué)生就會發(fā)現(xiàn),問題3和問題2中的點(diǎn)

    P

    是同一點(diǎn).由此生長出下一個問題:

    問題4

    問題3中點(diǎn)

    P

    的位置與問題2中點(diǎn)

    P

    的位置是否相同?為什么?

    圖4

    問題4的提出讓學(xué)生尋求前兩個問題的關(guān)聯(lián),從而對問題有更深入的認(rèn)識:

    PG

    =

    PH

    cos∠

    HPG

    (∠

    HPG

    為定角,等于∠

    DCO

    ),將求

    PG

    的最大值轉(zhuǎn)化為求

    PH

    的最大值(圖4).由此讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,感悟數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

    3 遵循自然有道,把握生長方向

    “最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們,學(xué)生認(rèn)知的最大特性是“生長性”

    .

    如何讓學(xué)生在問題情境中自然而有力地獲得知識的生長,得到思維提升,享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,體驗(yàn)數(shù)學(xué)特有的魅力,激發(fā)自由創(chuàng)造的潛能,滋養(yǎng)數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性精神,需要教師的精鋪巧設(shè)與智慧引領(lǐng).

    在完成了問題2~4的探究之后,問題還有哪些值得挖掘、變式的地方應(yīng)該往哪個方向去研究,需要教師精心設(shè)計問題變式.可考慮往三角形面積最值方面去變式,設(shè)計中提供以下三個問題,為后續(xù)研究提供參考:

    問題5

    已知拋物線

    y

    =-

    x

    -2

    x

    +3與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    C

    ,與

    y

    軸交于點(diǎn)

    B

    ,點(diǎn)

    D

    (0,1),

    P

    是第二象限拋物線上的動點(diǎn),

    PG

    CD

    ,

    PH

    x

    軸,當(dāng)

    PG

    PH

    取得最大時,△

    PHG

    的周長是否最大?此時△

    PHG

    的面積是否最大(圖4)?

    圖5

    問題6

    已知拋物線

    y

    = -

    x

    -2

    x

    +3與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    C

    ,與

    y

    軸交于點(diǎn)

    B

    ,點(diǎn)

    D

    (0,1),

    P

    是第二象限拋物線上的動點(diǎn),求△

    PCD

    面積的最大值,并求此時點(diǎn)

    P

    的坐標(biāo)(圖5).

    問題7

    PCD

    面積取得最大值時,與問題2、問題3有沒有本質(zhì)的區(qū)別?

    問題5是問題4的延續(xù),關(guān)聯(lián)性強(qiáng),探究顯得自然流暢;問題6是問題5的進(jìn)一步變式,將線段最值問題變式為與動點(diǎn)相關(guān)的三角形面積最值問題.前面問題的鋪墊,讓問題5~6的探究迎刃而解,一切的探究活動的開展都顯得自然有道.對其中的方法、思想、內(nèi)涵,學(xué)生在回答完問題7后得到了認(rèn)識上的升華,大大促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和對問題本質(zhì)的認(rèn)識.

    4 構(gòu)建階梯變式,引領(lǐng)深度學(xué)習(xí)

    問題情境設(shè)計注重層次性、遞進(jìn)性、階梯性等基本原則,這同樣符合最近發(fā)展區(qū)理論.教師始終有意識地挖掘?qū)W生的認(rèn)知需要與已有水平之間的矛盾,不斷地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的求知欲望,讓其始終處于“憤悱”狀態(tài)中.在探究完前七個關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)的問題之后,課堂探究活動應(yīng)該步入深層次學(xué)習(xí).因此,考慮設(shè)計具有一定挑戰(zhàn)性的問題:

    圖6

    問題8

    已知拋物線

    y

    = -

    x

    -2

    x

    +3與

    x

    軸交于點(diǎn)

    A

    ,

    C

    ,與

    y

    軸交于點(diǎn)

    B

    ,點(diǎn)

    D

    (0,1),

    P

    是第二象限拋物線上的動點(diǎn),

    OP

    與線段

    CD

    相交于點(diǎn)

    E

    ,求的最大值(圖6).問題8變?yōu)榱饲蟮淖畲笾?,需要利用相似轉(zhuǎn)化,具有一定挑戰(zhàn)性.師生充分交流,得出解決方案:過點(diǎn)

    P

    PH

    x

    軸交

    CD

    H

    ,易知△

    PEH

    ∽△

    OED

    ,故又因?yàn)?p>OD

    =1,所以求的最大值即為求

    PH

    的最大值,于是問題轉(zhuǎn)化為問題2.

    從問題1至問題8,始終遵循了問題變式的層次性和階梯性,遵循了問題發(fā)生的內(nèi)在關(guān)聯(lián),符合學(xué)生已有認(rèn)知能力,滿足了學(xué)生求知的需求,引領(lǐng)著學(xué)生逐步進(jìn)入深度思考、深度學(xué)習(xí).在問題8探究結(jié)束后,設(shè)置了一個與此節(jié)課相關(guān)性極強(qiáng)的問題9(2020年成都中考試題):

    圖7

    問題9

    如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線

    y

    =

    ax

    +

    bx

    +

    c

    x

    軸交于

    A

    (-1,0),

    B

    (4,0)兩點(diǎn),與

    y

    軸交于點(diǎn)

    C

    (0,-2).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)

    D

    為第四象限拋物線上的一點(diǎn),連結(jié)

    AD

    ,

    BC

    交于點(diǎn)

    E

    ,連結(jié)

    BD

    ,記△

    BDE

    的面積為

    S

    ,△

    ABE

    的面積為

    S

    ,求的最大值.

    問題9是本節(jié)課所學(xué)方法的應(yīng)用,更是對內(nèi)容理解的升華.這一成都中考題的解答,讓學(xué)生感知復(fù)雜題目的產(chǎn)生就是立足于基本方法、基本技巧.將面積之比的最大值問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題,從而回到了與問題8類似的問題.通過對問題9的交流分享,及時反饋學(xué)生對本節(jié)課知識方法的理解與掌握,學(xué)生真正進(jìn)入了深度學(xué)習(xí).隨著一個個生長性問題的提出和解決,在探究過程中學(xué)生思維得到了培養(yǎng),能力得到了提升.課堂最后可以試著讓學(xué)生提出一個二次函數(shù)背景下的最值問題,并嘗試解答.

    美國教育心理學(xué)家加涅曾指出“教學(xué)設(shè)計必須以幫助學(xué)習(xí)過程而不是教學(xué)過程為目的.”讓“生成式問題串”引領(lǐng)、驅(qū)動課堂教學(xué),只是教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計的一種重要方式和途徑.在建構(gòu)主義理論指引下,在生成性視野中,教學(xué)的過程是研究、傾聽、對話的過程.因此,在重視問題串設(shè)計的同時還要讓課堂教學(xué)實(shí)施走向民主化、開放化,重視對學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注、對過程的關(guān)注,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

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