APOS理論在數(shù)學概念教學中的應用
——以“三角函數(shù)概念課”為例

◎陳科融 鄭伯川

(西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川 南充 637000)

1 引 言

數(shù)學概念是數(shù)學的基礎，但當下學生對數(shù)學概念的學習效果不理想，主要包括兩方面原因：(1)數(shù)學概念本身較抽象，學生理解有難度；(2)教師只充當知識的傳授者，在教學過程中忽視學生的主體性，枯燥地向學生灌輸課本上的數(shù)學概念，不注重引導學生感知構建新數(shù)學概念的必要性，導致學生知其然不知其所以然教師在這種情況下要求學生熟練運用新習得的數(shù)學概念進行解題，正確率會如何呢？為了提高解題正確率，學生只能求助于大量的習題，從眾多習題中尋找數(shù)學概念的本質在雙減政策以及高效學習的教育環(huán)境下，題海戰(zhàn)術不再適用于數(shù)學教學，故教師科學地設計概念教學對學生掌握數(shù)學概念的本質至關重要那么在中學數(shù)學教學中教師該如何進行數(shù)學概念教學呢？

杜賓斯基基于建構主義提出了數(shù)學概念學習的APOS理論該理論指出了學生習得數(shù)學概念的四個階段：操作、過程、對象、圖式其中，操作階段指學生初步感知數(shù)學對象，充分感知數(shù)學概念建立的必要性；過程階段指學生通過外界幫助和自主探索，感受數(shù)學概念的形成過程，并抽象出數(shù)學本質；對象階段指學生通過多樣化的數(shù)學表征，概括數(shù)學概念，使其具有操作性，并可以簡單運用數(shù)學概念解題；圖式階段指學生在數(shù)學思想方法的指導下，形成與其他數(shù)學概念、規(guī)則、圖形之間的穩(wěn)定聯(lián)系，即形成綜合的心理圖式APOS理論能夠彌補當前傳統(tǒng)數(shù)學概念教學的不足，尊重學生的主體性，充分考慮學生的已有經驗，更有利于學生理解、掌握數(shù)學概念的本質故基于此理論設計數(shù)學概念教學過程、改進數(shù)學概念教學方法是可行的

人教版高中數(shù)學教材(2019年)將三角函數(shù)的內容前置到必修一的第五章(2004版的教材中，三角函數(shù)內容位于必修四的第一章)，位于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、數(shù)學建模板塊(建立函數(shù)模型解決實際問題)的后面，不僅再次使用研究函數(shù)的數(shù)學思想、方法，同時將三角函數(shù)作為一種刻畫現(xiàn)實生活的工具，足以體現(xiàn)其重要性對學生來講，三角函數(shù)是一種“新”函數(shù)(與初中的三角函數(shù)數(shù)學本質并不相同)，其自變量與因變量的特殊對應關系也是以前未遇到過的，因此，多數(shù)學生對三角函數(shù)概念的學習存在困難故此處重點通過闡述三角函數(shù)概念的詳細教學過程說明APOS理論在數(shù)學概念教學中的具體應用，并且重點分析學生在教師引導下的數(shù)學概念學習過程

2 三角函數(shù)概念教學過程及其設計意圖

2.1 操作階段：復習舊知，聯(lián)系實際，激發(fā)新疑

進入操作階段，教師應引導學生動手操作，回憶相關數(shù)學概念，奠定知識基礎教師可通過一系列的提問將學生已有的知識串聯(lián)起來：“前幾節(jié)課我們研究了任意角以及角度與弧度的互化，那如何畫任意角呢？先回憶一下，再寫一寫、畫一畫，然后對照課本完善自己的答案”

隨后，教師緊抓學習新概念“任意角”的原因，同時聯(lián)系實際生活，步步逼問，讓學生充分體會研究還沒有完成，迫切地想要填補缺失的數(shù)學序列，從而準確地刻畫周期性運動“還記得為什么要引進任意角的概念嗎？我們研究任意角是為了刻畫周期性變化現(xiàn)象——圓周運動，我們將該運動過程抽象成圓上任意一點的位置變化過程”“大家都喜歡看科幻小說，類似的，數(shù)學家也喜歡想象，當刻畫了圓周運動這種特殊的周期性現(xiàn)象之后，他們就將目光轉向了一般的周期性現(xiàn)象，例如月亮圓缺、潮汐變化、地球自轉引起的晝夜交替變化和公轉引起的四季交替變化，這些又該如何進行刻畫呢？”

通過復習舊知和教師的提問引導，學生明確了本節(jié)課的任務——用數(shù)學語言準確刻畫周期性運動，同時可隱約感知與本節(jié)課相關的一部分數(shù)學對象與方法，點、變化、函數(shù)等“數(shù)學來源于生活，是研究現(xiàn)實世界中空間形式、數(shù)量關系和結構特征的一門學科我們以前也研究過生活中的變化現(xiàn)象，例如利用指數(shù)型函數(shù)刻畫數(shù)據(jù)的爆炸式增長、用對數(shù)型函數(shù)研究生物的死亡年份等，對于周期性運動這個新的變化過程，你有聯(lián)想到研究它的方法嗎？”

【設計意圖】教師從復習舊知入手，利用問題幫助學生理清圓周運動、任意角、周期性運動之間的關系，同時聯(lián)系生活實際，讓學生從數(shù)學知識和實際生活需求兩個方面充分感知建立一個新的數(shù)學概念的必要性，同時通過提示“變化現(xiàn)象”“指數(shù)型函數(shù)”等為活動階段提供研究數(shù)學對象的方法，即利用研究函數(shù)模型的方法研究該變化現(xiàn)象

2.2 過程階段：建立相關數(shù)學量之間的關系

由于學生前期已經具有研究部分基本初等函數(shù)的經驗，故對函數(shù)模型的建立以及研究路徑很熟悉，可以通過模仿明確可通過建立平面直角坐標系研究新的數(shù)學對象，教師再通過問題幫助學生理清大致思路即可：“如何建立新模型呢？其與‘點的圓周運動’又有何關系？”學生就可以將數(shù)學對象放到直角坐標系中點的圓周運動是一種特殊的周期運動，遵循從特殊到一般的原則，要想研究其運動，就應繼續(xù)進行點的圓周運動的研究“確定研究工具——平面直角坐標系之后，你能獲得哪些數(shù)學量？它們之間有什么聯(lián)系呢？”

此時對于確定角的研究基本完畢，但由于角的任意性，教師可利用幾何畫板變化角的大小，學生會自然地關注到上述三類等量關系，并進行類比，嘗試尋找規(guī)律“由于角的任意性，我現(xiàn)在改變角的大小，其他的條件不變，你又發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)量規(guī)律呢？請用語言簡要概括”學生有了之前的研究經驗，可以輕易發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律：角不同，對應的||,||,||不同；角相同，對應的||,||,||相同隨后教師引導學生從簡化運算的角度提問，討論將絕對值符號去掉是否可行“此處取絕對值的運算過程比較麻煩，可以想辦法簡化嗎？”學生憑借“集合”學習中的活動經驗，即分類討論的數(shù)學思想，自行證明了在四個象限內去掉絕對值符號并不影響總結出來的數(shù)學規(guī)律故可得到結論：角不同，對應的,,不同；角相同，對應的,,相同

這時總結得到的數(shù)學規(guī)律并不精致，教師還應引導學生從定性、定量兩個角度深化理解三角函數(shù)的數(shù)學本質“既然我們利用了函數(shù)的研究方法，那總結的數(shù)學規(guī)律可以定義為函數(shù)嗎？符合之前學過的函數(shù)定義嗎？”“確定函數(shù)的三要素是什么？是否可以將其與函數(shù)概念相對應？”教師從函數(shù)的三要素出發(fā)進行引導，從定義域、對應關系、值域進行分析，加深了學生對函數(shù)本質的理解，又由于這里利用了三角形，同時又是函數(shù)模型，三角函數(shù)名稱的由來也水到渠成“定義域是哪個數(shù)集？對應關系是什么？值域又是什么？”此處教師需要引導學生注意，利用角度與弧度的互化才能完成從角到實數(shù)的轉化，定義域才能是數(shù)集，高中階段的函數(shù)并不是單純集合之間的對應關系，要與映射的概念區(qū)分開

【設計意圖】教師通過聯(lián)系已有的知識經驗，探索新數(shù)學對象的研究路徑，同時借助直角坐標系和幾何畫板將幾何問題代數(shù)化，將隱含的數(shù)量關系顯性化，同時滲透數(shù)形結合思想，簡化運算技巧，最終讓學生自行抽象出數(shù)學本質本階段只是用粗略的數(shù)學語言進行數(shù)學本質的表述，這為下一階段用準確、簡潔的數(shù)學語言表述數(shù)學本質奠定了基礎

2.3 對象階段：概念精致化與鞏固應用

數(shù)學概念需要用簡練、準確的數(shù)學語言進行表述，故下一步是概念“精致化”，即完善數(shù)學概念(概念的準確表述與文字、符號、圖形語言的互化)學生可以對比初中的銳角三角函數(shù)知識定義三角函數(shù)的概念，教師只要稍加指導即可“模仿初中銳角三角函數(shù)的定義形式，請你為找到的任意角三角函數(shù)模型下個定義，可以采用圖形輔助理解”多數(shù)學生可以用數(shù)學語言進行描述，但無法一次就表述精練、準確，需要教師逐步引導、規(guī)范例如，對于正切函數(shù)，學生可能會遺漏定義域{|≠0}，通過教師提示，學生回憶起學習函數(shù)時要求分母不為零，再次深刻理解了三角函數(shù)的本質，規(guī)范了函數(shù)的書寫(函數(shù)書寫一定要帶有定義域)

下一步，教師精選例題應用概念，深化概念本質，同時基于簡化計算引入“單位圓”的概念

這里是利用例2求特殊角的三角函數(shù)值，繼續(xù)強化學生的數(shù)學運算，而表格形式暗含函數(shù)的另一種表示方法，為下節(jié)三角函數(shù)性質的研究提供了知識基礎

【設計意圖】學生結合教師的引導，自主定義三角函數(shù)概念，實現(xiàn)了文字、圖形、符號語言的順利轉化，加深了對三角函數(shù)本質的理解，培養(yǎng)了表達規(guī)范、嚴謹?shù)目茖W精神學生通過數(shù)學運算充分感知了三角函數(shù)的本質和計算步驟，同時由例1的計算引入“單位圓定義法”，便于以后的解題和計算，在充分理解數(shù)學本質的基礎上強化了數(shù)學運算能力，形成了相應的技能

2.4 圖式階段：構建思維導圖，完善認知結構

數(shù)學概念錯綜復雜，學生只有將習得的知識點形成知識網(wǎng)絡，輔之習題的練習、總結、歸納和數(shù)學思想方法的運用，逐步形成個性、完善的認知結構，才能真正掌握數(shù)學概念的本質三角函數(shù)是一種工具，將它與其他知識形成穩(wěn)定的聯(lián)系會發(fā)揮極其重要的作用(例如函數(shù)題中利用三角換元、解三角形中利用角的恒等變化等)，同時頻繁使用它有助于知識提取的快速性

教師在教學過程中可以采用“思維導圖”“課堂反思”的形式引導學生完善自己的認知圖式“本節(jié)課你學習了哪些知識？可放在思維導圖的哪部分？又運用了哪些數(shù)學思想和方法？請你寫下來，然后小組交流”教師可以為學生提供適當?shù)妮o助，提供部分思維導圖

由于學生對于知識的接受程度不同，故教師應懷有“同中存異”的教學理念，對所有學生既有相同的要求，即掌握三角函數(shù)的概念及三角函數(shù)值的計算方法，又有不同的對待，即學習能力強的學生能夠明確三角函數(shù)與舊的知識經驗間的聯(lián)系與差異，知識網(wǎng)絡清晰，同時能熟練運用之前的解題經驗，而學習能力較弱的學生可能缺少個別知識節(jié)點，知識間的聯(lián)系、區(qū)別模糊，需要通過多樣性的習題繼續(xù)完善認知網(wǎng)絡，深化其對數(shù)學概念的理解所以，教師對課后習題的選取要具有層次性和多樣性，針對學生的差異布置不同類型和難度的習題對于某些易錯題、典型題，教師需要在習題課上再次講評，多次鞏固、深化數(shù)學概念本質，讓所有學生都能達到基本的教學目標，并且在自己的最近發(fā)展區(qū)內取得一定的進步

【設計意圖】教師通過對學生課上、課下的多重指導，讓學生將三角函數(shù)放入更大的數(shù)學認知網(wǎng)絡中，形成更加完整的數(shù)學認知圖式，為后續(xù)學習三角函數(shù)的相關性質奠定知識與思想方法基礎，同時提高自我監(jiān)控意識和能力，自覺構建、完善認知結構

3 結 語

為了增強APOS理論中四階段的可操作性，同時解決現(xiàn)有數(shù)學概念教學中的某些問題，本文以三角函數(shù)概念課為例介紹了該理論在數(shù)學概念教學中的應用.改進教學的目的之一是促進學生的高效、深度學習，并且該理論的四個階段銜接緊密，沒有清楚的劃分點，故教師在實際教學過程中不能盲目使用APOS理論，機械區(qū)分四個階段，而應從學生本位的教學理念出發(fā)，合理運用該理論指導數(shù)學概念教學，將促進學生對數(shù)學概念的深度理解落到實處