基于正交試驗(yàn)的雙圓弧齒輪約束模態(tài)模型研究

楊樹(shù)峰，禹文濤，王東飛，王峰，劉世軍

(1.鄭州機(jī)械研究所有限公司，河南鄭州 450052；2.中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院，河南鄭州 450007)

0 前言

齒輪旋轉(zhuǎn)嚙合過(guò)程中會(huì)引起齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)，若齒輪的固有頻率與嚙合頻率重疊或相近，會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象。共振可在齒根產(chǎn)生較大的動(dòng)應(yīng)力，加速齒輪的疲勞斷裂，尤其在高速工況下，共振失效已成為齒輪主要的失效形式。因此，在設(shè)計(jì)和試制中要提前掌握其固有頻率和振型，力求齒輪的固有頻率避開(kāi)嚙合振動(dòng)頻率。模態(tài)分析是研究產(chǎn)品結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的一種方法，在機(jī)械、土木等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，旨在提取產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的固有屬性，包括固有頻率、阻尼比和振型，認(rèn)知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、幾何參數(shù)與固有頻率、振型的關(guān)系，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、振動(dòng)故障診斷和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)固有特性進(jìn)行了大量的研究。WANG建立了行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用模態(tài)分析方法計(jì)算固有頻率對(duì)嚙合剛度的靈敏度，利用耦合因子判斷過(guò)渡的發(fā)生，采用多尺度方法分析嚙合剛度變化引起的參數(shù)失穩(wěn)，得到了模態(tài)特征值靈敏度、模態(tài)轉(zhuǎn)移準(zhǔn)則和符合度變化不穩(wěn)定性的變化規(guī)律。LIN和 PARKER研究了不同行星輪個(gè)數(shù)的單級(jí)行星輪系的模態(tài)振動(dòng)問(wèn)題，詳細(xì)分析了多種狀態(tài)下的固有頻率和振動(dòng)模式，分析了系統(tǒng)固有特性對(duì)幾何參數(shù)、嚙合剛度、轉(zhuǎn)速等因素的靈敏度。宿博康等建立了匯流行星排齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算模型和時(shí)、頻域測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)，進(jìn)行固有特性研究，確定了系統(tǒng)共振頻率范圍，得出行星排齒輪系統(tǒng)的固有頻率隨著嚙合剛度的增加而發(fā)生不同的變化，轉(zhuǎn)速增加、振幅增大。莫帥等人應(yīng)用集中參數(shù)法建立了面齒輪-行星傳動(dòng)串聯(lián)系統(tǒng)的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，求解了系統(tǒng)的固有頻率，研究了嚙合剛度、支撐剛度、扭轉(zhuǎn)剛度和構(gòu)件質(zhì)量對(duì)固有頻率的影響。張小萍等利用有限元分析法對(duì)雙典型法向圓弧齒輪進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算了不同齒數(shù)、模數(shù)、傳動(dòng)比情況下的固有頻率，得出小齒輪的固有頻率對(duì)模數(shù)和齒數(shù)呈現(xiàn)較大的起伏變化，大齒輪則較為平緩。張?zhí)m對(duì)漸開(kāi)線(xiàn)直齒輪和雙圓弧齒輪進(jìn)行了約束狀態(tài)下的模態(tài)分析，得出雙圓弧齒輪固有頻率大于直齒輪，軸的有效慣量對(duì)振型的影響最大，且直齒輪的有效慣量明顯大于斜齒輪。

上述研究成果分別采用有限元法和試驗(yàn)?zāi)B(tài)法研究了幾何參數(shù)、系統(tǒng)剛度對(duì)直齒輪、斜齒輪、行星輪系等齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)固有特性的影響，但相關(guān)研究大多定性地分析幾何因素的變化對(duì)固有頻率的影響，缺乏定量地研究影響固有頻率的因素的主次順序，鮮有對(duì)雙圓弧齒輪固有頻率數(shù)值簡(jiǎn)化計(jì)算模型進(jìn)行求解。因此，如何能夠定量確定幾何因素對(duì)固有頻率的影響，歸納出雙圓弧齒輪固有頻率簡(jiǎn)化計(jì)算模型，是一個(gè)亟待解決的實(shí)際問(wèn)題。本文作者采用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，基于有限元法模態(tài)分析理論，建立以雙圓弧齒輪幾何參數(shù)(模數(shù)、齒數(shù)、螺旋角、齒寬)為自變量，約束模態(tài)固有頻率為應(yīng)變量的四因素四水平的正交試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，定量分析幾何參?shù)對(duì)固有頻率的影響，并根據(jù)值進(jìn)行影響度排序，利用中心化一次非線(xiàn)性回歸模型，建立雙圓弧齒輪約束模態(tài)低階頻率回歸方程。

1 雙圓弧齒輪模態(tài)分析

1.1 模態(tài)分析相關(guān)理論

將多自由度的模態(tài)分析求解簡(jiǎn)化為微小位移的自由度線(xiàn)性彈性系統(tǒng)，忽略非線(xiàn)性因素，如阻尼、非線(xiàn)性接類(lèi)型。其無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為

(1)

式中:為廣義坐標(biāo)列陣,=[,,…,];、分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，均為對(duì)稱(chēng)矩陣。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，其振動(dòng)方式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)

=cos()

(2)

式中:為第階振型的特征向量;為第階的固有頻率。將式(2)代入式(1)，可得矩陣方程

(3)

方程(3)有非零解的條件是其系數(shù)矩陣的行列式為零，即:

(4)

可求得個(gè)特征值，其中為各階的固有頻率，可求得對(duì)應(yīng)的特征向量，即為模態(tài)振型。

1.2 雙圓弧齒輪約束模態(tài)分析

按照GB/T 12759—1991標(biāo)準(zhǔn)齒形幾何關(guān)系，依據(jù)齒輪參數(shù)(=51、=4 mm、=24°、=20.263°、=60 mm)，采用Croe軟件建立雙圓弧齒輪參數(shù)化實(shí)體模型。將幾何模型導(dǎo)入Workbench軟件中，定義模型材料為軟件默認(rèn)的結(jié)構(gòu)鋼，由于低階頻率表現(xiàn)為網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，即網(wǎng)格類(lèi)型和疏密對(duì)模態(tài)分析中低階頻率和振型結(jié)果影響不大，故對(duì)模型采用四面體大尺寸快速劃分網(wǎng)格。根據(jù)齒輪運(yùn)動(dòng)副的實(shí)際運(yùn)動(dòng)約束狀態(tài)，對(duì)齒輪內(nèi)孔面的徑向、軸向、法向的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量進(jìn)行全約束設(shè)置。不考慮外在激勵(lì)的影響，提取前6階模態(tài)。雙圓弧齒輪前6階模態(tài)特性如表1所示，前6階模態(tài)振型如圖1所示。

表1 雙圓弧齒輪前6階模態(tài)特性

圖1 雙圓弧齒輪前6階約束模態(tài)振型

2 正交試驗(yàn)

正交試驗(yàn)是一種研究多因素試驗(yàn)的重要數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。利用正交表可快速找出試驗(yàn)因素的最佳水平組合，了解試驗(yàn)因素的重要程度及交互作用情況，實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)因素的合理、有效安排，最大限度地減少試驗(yàn)誤差，具有高效、快速、經(jīng)濟(jì)的顯著特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于化工和國(guó)民生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域。

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)采用4因素4水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，采用Workbench中的Model選項(xiàng)求解雙圓弧齒輪的約束模態(tài)。分別選擇雙圓弧齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、螺旋角、齒寬作為研究對(duì)象，每個(gè)自變量分別由4個(gè)水平組成，試驗(yàn)順序采用拉丁方順序進(jìn)行，避免產(chǎn)生順序效應(yīng)。根據(jù)上述的雙圓弧齒輪模態(tài)振型及頻率，可知第2階與第3階、第5階與第6階振型和頻率相差較小，固有頻率越低，越容易被外界激勵(lì)，故在模態(tài)分析中應(yīng)對(duì)齒輪低階固有頻率的影響因素進(jìn)行分析。因此，后期對(duì)1階固有頻率進(jìn)行回歸分析。

在小學(xué)階段的語(yǔ)文教學(xué)中，最終的教學(xué)目標(biāo)，就是鍛煉學(xué)生的讀、寫(xiě)、聽(tīng)、說(shuō)等能力，使其具有相應(yīng)的基礎(chǔ)能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下有利基礎(chǔ)。而通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)這一模式的引入，不僅有助于該目標(biāo)的達(dá)成，也能進(jìn)一步地增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)、集體精神、學(xué)習(xí)能力等，使其獲取到更加完善、健全的發(fā)展，將學(xué)科價(jià)值全方位地展現(xiàn)出來(lái)。

2.2 試驗(yàn)方案

采用L(4)的正交試驗(yàn)表，其中L為正交符號(hào)，16為正交表橫行數(shù)，4為因素水平數(shù)，5為正交表縱列數(shù)。將自變量的各因素安排在正交表對(duì)應(yīng)的位置上，一般1個(gè)因素占1列，不同因素占不同的列。如表2所示，A代表齒數(shù)，B代表模數(shù)，C代表螺旋角，D代表齒寬，E代表空列，表中的1～4分別看作各個(gè)因素的水平數(shù)，正交表對(duì)應(yīng)的每1行為1個(gè)試驗(yàn)方案，即各因素水平組合，空白列對(duì)試驗(yàn)沒(méi)有影響，主要是考察試驗(yàn)誤差。

表2 約束模態(tài)正交試驗(yàn)方案及結(jié)果

3 結(jié)果分析

3.1 方差分析

將正交試驗(yàn)的自變量和應(yīng)用Workbench軟件求解的雙圓弧約束模態(tài)的固有頻率數(shù)值匯總，運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行正交試驗(yàn)，對(duì)雙圓弧齒輪約束模態(tài)的第1階固有頻率作方差分析，結(jié)果如表3所示。根據(jù)表中值，可確定影響雙圓弧齒輪約束模態(tài)固有頻率的變量的重要性由大到小依次為B、A、C、D，即模數(shù)對(duì)約束模態(tài)固有頻率的影響最大，其次是齒數(shù)，然后是螺旋角和齒寬。因素B的顯著性概率=0.017，因素A的顯著性概率=0.029，均小于0.05，因素C、D的顯著性概率均大于0.05，表明因素A、因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，因素C和D對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著。

表3 1階頻率正交試驗(yàn)方差分析

不同齒輪參數(shù)組合的1階固有頻率趨勢(shì)如圖2所示?？芍汗逃蓄l率在齒數(shù)為41時(shí)最高，齒數(shù)為71時(shí)最低，隨著齒數(shù)的增加，固有頻率下降的趨勢(shì)變緩；隨著模數(shù)的增加，固有頻率呈下降趨勢(shì)；螺旋角從16.263°增至22.263°時(shí)，固有頻率整體呈下降趨勢(shì)，但是頻率變化區(qū)間小于不同齒數(shù)和模數(shù)時(shí)頻率的變化區(qū)間；齒寬從50 mm增至60 mm時(shí)，固有頻率下降明顯，但是從60 mm增至70 mm時(shí)，固有頻率不降反增，從70 mm增至80 mm時(shí)，固有頻率為下降趨勢(shì)。綜上可知，雙圓弧齒輪約束模態(tài)1階固有頻率整體上隨著自變量的增加呈下降趨勢(shì)。

圖2 不同齒輪參數(shù)時(shí)的1階固有頻率

3.2 回歸分析

回歸分析是一種預(yù)測(cè)性的建模技術(shù)，研究的是因變量和自變量之間的關(guān)系。此次試驗(yàn)涉及4個(gè)自變量，自變量單位各不相同，給回歸方程的結(jié)構(gòu)分析帶來(lái)一定困難。對(duì)于多元線(xiàn)性回歸，應(yīng)先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化，以消除量綱、數(shù)量級(jí)不同的影響。在選擇回歸模型時(shí)，除了考慮兩自變量之間的交互作用，可能還需考慮三自變量或者四自變量之間的交互作用。但是大量的實(shí)踐表明，高階的交互作用常常不存在或者很小，可以忽略。因此，采用如下原則：保證各自變量的主效應(yīng)，盡量估計(jì)兩兩自變量之間的交互作用。由于無(wú)法直接給出自變量間交互作用的結(jié)構(gòu)，故采用中心化一次非線(xiàn)性回歸模型，其模型為

(5)

鑒于前文的研究成果，即幾何參數(shù)中齒數(shù)、模數(shù)對(duì)雙圓弧齒輪約束模態(tài)固有頻率影響特別顯著，而螺旋角、齒寬影響不顯著。為獲得更簡(jiǎn)潔的固有頻率回歸方程，建立以雙圓弧齒輪齒數(shù)和模數(shù)為自變量的回歸方程。

分析表3中因變量和自變量數(shù)值可知，因變量與自變量數(shù)值差較大，若直接進(jìn)行回歸分析，會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)誤差較大、擬合度較差。分別計(jì)算1階固有頻率和齒數(shù)在原始數(shù)值、二次冪、三次冪、平方根、倒數(shù)、自然對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的決定系數(shù)，結(jié)果如表4所示。

表4 1階固有頻率與齒數(shù)的決定系數(shù)

決定系數(shù)用來(lái)判定回歸線(xiàn)的擬合度，即應(yīng)用最小二乘法回歸方法產(chǎn)生的預(yù)計(jì)值與實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度,決定系數(shù)越大表明擬合度越好。在表4中，最大的決定系數(shù)0.998由雙圓弧齒輪齒數(shù)的自然對(duì)數(shù)值ln與固有頻率自然對(duì)數(shù)值ln擬合，=674.495，對(duì)應(yīng)的顯著性檢驗(yàn)概率為0.000，小于0.001，可知齒數(shù)的自然對(duì)數(shù)對(duì)固有頻率的自然對(duì)數(shù)影響極顯著。即最終回歸方程因變量(約束模態(tài)1階固有頻率)的形式為ln。

同理，決定系數(shù)最大額的所有自變量參數(shù)形式如下：

(6)

將表3中關(guān)于齒數(shù)、模數(shù)以及頻率的數(shù)據(jù)分別代入式(6)和回歸方程模型式(5)中，用MATLAB軟件中的Regress指令進(jìn)行數(shù)據(jù)中心化的多元非線(xiàn)性回歸計(jì)算，決定系數(shù)=0998 9、=3 5115、=0000，繪制出響應(yīng)曲面如圖3所示，確定最終的回歸方程為

圖3 響應(yīng)曲面

ln=7384 5-2032 2(ln-4025 35)-

1977 7(ln-1504 08)+0555 3(ln-

4025 35)(ln-1504 08)

(7)

另取齒數(shù)=[35,60]、模數(shù)=[35，6] mm、螺旋角=20°、齒寬=45 mm，根據(jù)以上參數(shù)建立雙圓弧齒輪模型。采用數(shù)值模態(tài)方法，求解出約束模態(tài)下1階頻率，對(duì)比回歸方程的預(yù)測(cè)值，結(jié)果如圖4所示?？芍呵蠼庵蹬c預(yù)測(cè)值誤差較小，結(jié)合回歸方程和響應(yīng)曲面可知，回歸曲面擬合較好。

圖4 仿真值與預(yù)測(cè)值對(duì)比

4 結(jié)論

為快速求解雙圓弧齒輪約束模態(tài)的低階頻率，揭示齒輪主要參數(shù)對(duì)固有頻率的敏感性，運(yùn)用有限元法對(duì)雙圓弧齒輪進(jìn)行約束模態(tài)求解；在此基礎(chǔ)上，采用正交試驗(yàn)法對(duì)不同齒輪參數(shù)組合進(jìn)行求解及比較。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析和多元非線(xiàn)性回歸計(jì)算，并驗(yàn)證回歸方程的準(zhǔn)確性，得出以下結(jié)論：

(1)雙圓弧齒輪約束模態(tài)的前6階振型：1階為圓周振、2階和3階為1階對(duì)折振、4階為傘形振、5階和6階為2階對(duì)折振；

(2)根據(jù)方差分析結(jié)果中的顯著性概率，雙圓弧齒輪幾何參數(shù)的齒數(shù)、模數(shù)的顯著性概率均值小于0.005，得出齒數(shù)、模數(shù)對(duì)雙圓弧齒輪約束模態(tài)固有頻率具有顯著的影響；

(3)雙圓弧齒輪固有頻率與幾何參數(shù)(齒數(shù)、模數(shù)、螺旋角、齒寬)成反比，齒數(shù)、模數(shù)對(duì)固有頻率的影響較大，螺旋角、齒寬的影響較??；

此研究將有限元計(jì)算與統(tǒng)計(jì)分析相結(jié)合，建立了雙圓弧齒輪約束模態(tài)的首階固有頻率的計(jì)算模型。所建立的模型簡(jiǎn)單、計(jì)算便捷，為研究齒輪參數(shù)和模態(tài)固有頻率之間的耦合關(guān)系提供了參考。該研究在約束模態(tài)正交試驗(yàn)中自變量的選擇不夠全面，僅對(duì)齒輪的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，后期試驗(yàn)中應(yīng)進(jìn)一步擴(kuò)充自變量因素，優(yōu)化試驗(yàn)方式，以更加全面地了解齒輪參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。