S-度量空間中(ψ-)φ-弱壓縮多值映射的不動(dòng)點(diǎn)定理

李兆輝，楊理平

（廣東工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州，510520）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

不動(dòng)點(diǎn)理論在非線性泛函分析中占有重要地位. Banach率先提出的Banach不動(dòng)點(diǎn)定理是度量空間理論中的重要工具，它保證了完備度量空間中自映射不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，并為尋找這些不動(dòng)點(diǎn)提供了一種建設(shè)性的方法. 1969年，Nadler[1]將Banach壓縮定理推廣到多值壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn). 1973年，Markin[2]研究了Hausdorff度量空間中多值壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理. 此后，關(guān)于多值壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理得到了多方面的發(fā)展[3-8]. 1997年，Alber[9]提出了φ-弱收縮映射. 最近，Saluja[10]在S-度量空間中建立了(ψ-)φ-弱壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理. 此外，還有一些學(xué)者在該課題上推廣不動(dòng)點(diǎn)定理[11-12]. 一些學(xué)者結(jié)合(ψ-)φ-弱壓縮映射和多值映射的概念，探討在此類條件下的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題[12-14].

本文受到文獻(xiàn)[7]和[10]的啟發(fā)，將多值映射的概念和(ψ-)φ-弱壓縮映射結(jié)合到S-度量空間，建立了一些不動(dòng)點(diǎn)定理.

定義1[15]260設(shè)X是非空集. 若映射滿足：

2）S（x,y,z）=0，當(dāng)且僅當(dāng)

則稱S是X的一個(gè)度量，(X,S)為S-度量空間.

引理1[15][260]設(shè)(X,S)為S-度量空間，對(duì)于任意有

定義2[15][261]設(shè)(X,S)為S-度量空間.

1）我們稱序列｛xn｝?X收斂到x∈X，如果滿足

2）若對(duì)于任意ε＞0，存在n0∈N，當(dāng)n,m≥n0時(shí)，有，則稱序列｛xn｝為柯西列.

3）若在X中所有的柯西列收斂，則稱(X,S)為完備的S-度量空間.

引理2[16]設(shè)(X,S)為S-度量空間，若序列｛xn｝,｛yn｝?X滿足，那么有

受文獻(xiàn)[4]在度量空間定義的Hausdorff度量啟發(fā)，在本文中，設(shè)CB(X)為完備S-度量空間中的非空閉子集，由S-度量空間誘導(dǎo)在CB(X)上的Hausdorff度量定義為

令映射f:X→CB(X)為(X,S)上的閉多值映射，映射T:X→X為(X,S)上的單值映射，那么

1）x∈X是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，如果Tx=x，x∈X是f的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)如果x∈fx；

2）x∈X是f和T的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)，如果

定義3[7]映射是連續(xù)的，如果且時(shí)有

定義4[10]設(shè)(X,S)是S-度量空間. 自映射T:X→X稱為(ψ- )φ-弱壓縮映射如果對(duì)于一切x,y∈X時(shí)，

本文結(jié)合多值映射的概念，推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]討論的S-度量空間中(ψ-)φ-弱壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,S)是完備S-度量空間. 若存在z∈fx，w∈fy滿足

其中

ψ和φ是連續(xù)非增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)t=0，L≥0. 那么f在X上有不動(dòng)點(diǎn).

證任取x0∈X，存在x1,x2∈X，使得以此類推，則存在序列｛xn｝?X，使得其中n∈ ｛0 ,1,2,…｝.

由不等式（1）有

其中

綜 上 分 析 有S(xn,xn,xn+1) ≤M(xn-1,xn-1,xn)≤2S(x n-1,x n-1,xn). 即 序 列｛S(xn,x n,xn+1)｝是 單 調(diào) 非 增 且 有界的. 則存在r≥0，有

于是，在不等式（2）中令n→∞，有φ(r) ≤φ(r)-φ(r)，當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)成立，否則矛盾. 因此

接下來(lái)證明｛xn｝是柯西列. 假設(shè)存在N∈N，當(dāng)m＞n＞N時(shí)，有

令上式n→∞，那么n,m→∞，有因此，序列｛xn｝是柯西列.

由CB(X)的完備性以及｛xn｝是在CB(X)上的柯西列可知，存在x∈CB(X)，使得另外，我們可以找到y(tǒng)∈fx，使得

其中

除外，由于y∈fx，我們有

則ψ(S（x,x,y）)=0，即S（x,x,y）=0. 因此有x∈fx，即f在X上有不動(dòng)點(diǎn). 證畢.

注1在定理1中，通過(guò)修改條件和構(gòu)造新的不等式，將文獻(xiàn)[7]中定理2.1的b-度量空間推廣到S-度量空間；將文獻(xiàn)[10]中定理3.2的自映射推廣到多值映射.

推論1 設(shè)(X,S)是完備S-度量空間. 若存在z∈fx，w∈fy滿足

其中ψ和φ是連續(xù)非增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)t=0. 那么f在X上有不動(dòng)點(diǎn).

定理2設(shè)(X,S)是完備S-度量空間，TX是X上的完備子集，fX?TX. 若映射T:X→X和多值映射f滿足

其中

ψ和φ是連續(xù)非增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)t=0，L≥0. 那么f和T在X上有一個(gè)疊合點(diǎn)z∈X，而且，如果TTz=Tz，那么f和T有一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

證令x0∈X，我們可以構(gòu)造序列｛xn｝?X如下：由于fx0?TX，存在一點(diǎn)x1∈X使得Tx1∈fx0，以此類推，我們可以得到序列｛x n｝ :Txn∈fxn-1，其中對(duì)于n∈ ｛1 ,2,…｝. 由不等式（7）有

其中

于是，在不等式（8）中令n→∞，有當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)成立，否則矛盾. 因此

接下來(lái)證明｛Txn｝是柯西列. 假設(shè)存在N∈N，當(dāng)m＞n＞N時(shí)，有

令上式n→∞，那么n,m→∞，有因此，序列｛Txn｝是柯西列.

由CB(X)的完備性以及｛Txn｝是在CB(X)上的柯西列可知，存在z∈CB(X)，使得由S-度量空間的三角不等式得

由不等式（7）得

其中

令不等式（11）和（12）中n→∞，有

假設(shè)S(Tz,Tz,fz)＞0，有然后，令不等式（9）中n→∞，有

矛盾. 因此S(Tz,Tz,fz)=0. 因?yàn)閒z是閉集，所以有Tz∈fz. 因此，T和f在X上有疊合點(diǎn)z.

下證Tz是f在X上的公共不動(dòng)點(diǎn). 由有

其中

注2在定理2中，通過(guò)構(gòu)造新的不等式將文獻(xiàn)[5]中定理3.4從度量空間推廣到S-度量空間.

3 結(jié)論

本文運(yùn)用了多值映射的概念，在S-度量空間定義了Hausdorff度量. 另外，通過(guò)改進(jìn)（ψ-φ）-弱壓縮型函數(shù)，提出滿足此條件公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，探討出在（ψ-φ）-弱壓縮映射多值函數(shù)的情況下，其不動(dòng)點(diǎn)是存在的，所得結(jié)果為多值映射在S-度量空間相關(guān)不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣.