一個加強(qiáng)的Hilbert型不等式

辛冬梅，楊必成

（廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510303）

其中，常數(shù)因子pq為最佳值（參閱文獻(xiàn)[1]的定理341）.

2016年，文獻(xiàn)[3]給出了一般離散Hilbert型不等式聯(lián)系參數(shù)的等價條件. 類似的結(jié)果可見文獻(xiàn)[4-8]. 若文獻(xiàn)[9](例4.9.1)有如下Hilbert型不等式：

本文擬建立式（5）的一個加強(qiáng)式，并討論其最佳外常數(shù)因子聯(lián)系多參數(shù)的等價條件.

1 一些引理

引理1[2]35設(shè)f(2q+1+k)(t)為[m,n]的連續(xù)可微函數(shù)，存在區(qū)間則對于有：

其中，P2q+1(t)為2q+1階Bernoulli函數(shù)，B2q+1為2q+1階Bernoulli數(shù)若還有則有：

引理 2[2]33設(shè)f(t)為區(qū)間[m,n]的連續(xù)可微函數(shù)，則有如下Euler-Maclaurin求和公式：

若還有f(∞)=0，則與同斂散；當(dāng)它們收斂時，有：

定義如下權(quán)系數(shù)：

固定m∈N，置函數(shù)可算得：

2 主要結(jié)果

定理1對于θ∈ [0,1]，有如下加強(qiáng)型不等式：

證明由H˙o˙lder不等式[10]有：

再由式（13-14），有式（15）. 證畢.

注2i）當(dāng)r=q，s=p，θ=1，式（16）可變?yōu)槭剑?）的如下加強(qiáng)式：

定理2下列陳述等價：i）式（18）（或式（15））的常數(shù)因子佳值；ii）

證明i）?ii）. 因易見故式（16）（取θ=0）可變?yōu)椋?/p>

由H˙o˙lder不等式有：

由式（20），上式取等號. 上式取等號的充要條件是：存在不全為0的常數(shù)A,B，使不妨設(shè)A≠0. 有即有，即

即有不等式

這與rs為式（5）的最佳值矛盾. 故式（18）（或式（15））的常數(shù)因子對任意θ∈ [0,1]為最佳值. 證畢.