預(yù)設(shè)性能控制的脆弱性問題探究

卜祥偉，姜寶續(xù)

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安，710051；2.空軍工程大學(xué)研究生院，西安，710051)

自動控制技術(shù)使人類從繁重的體力勞動中解放出來，實現(xiàn)了從“手動”到“自動”的巨大跨越[1-2]。自動控制技術(shù)也是當(dāng)今世界發(fā)展最快，影響最深遠的技術(shù)之一。自動控制系統(tǒng)設(shè)計的核心是通過尋找合適的反饋控制律，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的輸出定量或定性地滿足“穩(wěn)”“準”“快”等方面的性能指標(biāo)要求。對于能控且能觀的線性定常系統(tǒng)，總能找到合適的反饋控制律，對閉環(huán)系統(tǒng)的極點進行任意配置，從而對控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)進行任意地定量設(shè)計。然而，對于非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)基于Lyapunov理論的反饋控制策略，通常僅能將穩(wěn)態(tài)誤差最終或在有限時間內(nèi)調(diào)節(jié)到一個大小可調(diào)的緊集內(nèi)，以實現(xiàn)對穩(wěn)態(tài)性能的定性設(shè)計，但卻無法對收斂時間、超調(diào)量等動態(tài)性能指標(biāo)進行定量或定性設(shè)計[3]。

至于如何保證非線性控制系統(tǒng)同時具備滿意的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，IEEE Fellow、加拿大Davison教授早在1991年就進行了初步探索[4]。之后，德國學(xué)者Ilchmann等人[5]于2002年創(chuàng)立了漏斗控制(funnel control, FC)理論，謀求通過設(shè)計不依賴系統(tǒng)模型的高增益控制律來保證控制誤差期望的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。但是，由于限制條件太過苛刻，F(xiàn)C僅適用于極少數(shù)的一類特殊系統(tǒng)[5-6]。為此，在FC的基礎(chǔ)上，希臘學(xué)者Bechlioulis等人又于2008年演化發(fā)展出了預(yù)設(shè)性能控制(prescribed performance control, PPC)理論[7]。PPC基于“性能函數(shù)設(shè)計”與“誤差等價變換”的基本框架，可與現(xiàn)存幾乎所有的控制理論相結(jié)合，從而設(shè)計出多種多樣的控制律形式，將控制誤差始終限定在預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)內(nèi)，以便同時保證控制誤差期望的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。因此，近年來PPC已經(jīng)成為控制領(lǐng)域的一個前沿?zé)狳c方向，引起了國內(nèi)外科技人員的格外關(guān)注。

1 PPC概述

PPC突破了傳統(tǒng)控制理論無法約束控制系統(tǒng)動態(tài)性能的限制，實現(xiàn)了對控制系統(tǒng)動態(tài)性能的約束與調(diào)節(jié)，在保證理想控制精度的同時，兼顧超調(diào)量與調(diào)節(jié)時間等動態(tài)性能，可以保證控制系統(tǒng)具有較好的過渡品質(zhì)。所謂預(yù)設(shè)性能是指將跟蹤誤差限定在一個預(yù)先設(shè)定的可調(diào)區(qū)域內(nèi)，以保證跟蹤誤差收斂過程的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能滿足預(yù)先設(shè)定的要求[7]。PPC的基本思想是設(shè)計性能函數(shù)ρ(t)∈R>0對跟蹤誤差e(t)的收斂軌跡進行限定，通過為ρ(t)選擇特定的設(shè)計參數(shù)來保證e(t)具有滿意的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，見圖1。

圖1 PPC對誤差e(t)的包絡(luò)約束示意圖

1.1 性能函數(shù)

文獻[7]將ρ(t)設(shè)計為ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞，這里，ρ0>ρ∞>0,l∈R>0為待設(shè)計參數(shù)。

如果誤差初值e(0)為已知，則采用ρ(t)對e(t)進行如下包絡(luò)約束:

(1)

0≤δ≤1為待設(shè)計參數(shù)，由于工程實際中e(0)=0的情況很少見，文獻[7]中未考慮。

注1：以0<|e(0)|<ρ(0)為例，則ρ∞表示e(t)穩(wěn)態(tài)值的上界，δρ(0)表示e(t)允許的最大超調(diào)，ρ(t)的收斂速度直接影響e(t)的調(diào)節(jié)時間。因此，若能將e(t)限定在圖1與式(1)所示的區(qū)域內(nèi)，就可通過為ρ(t)選擇合適的設(shè)計參數(shù)，來保證e(t)具有滿意的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

1.2 誤差變換

由于無法直接針對式(1)設(shè)計控制律，故引入誤差變換函數(shù)S(ε(t))，將受約束系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為如下不受約束的等價系統(tǒng)：

e(t)=ρ(t)S(ε(t))

(2)

式中：ε(t)∈R為轉(zhuǎn)換誤差，S(ε(t))的表達式為：

(3)

式(3)的逆變換為：

(4)

引理1[7]：如果轉(zhuǎn)換誤差ε(t)有界，則預(yù)設(shè)性能(1)可達，即對于任意e(0)滿足式(1)，則跟蹤誤差e(t)始終位于預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)(1)內(nèi)。

實際的控制律是基于式(4)設(shè)計的，且控制律設(shè)計用到的是轉(zhuǎn)換誤差ε(t)而非跟蹤誤差e(t)。引理1表明，只要轉(zhuǎn)換誤差ε(t)有界，便能保證e(t)具有期望的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

2 PPC的脆弱性缺陷

近年來，PPC理論得到了快速發(fā)展，取得了一大批可喜的研究成果[8-10]。研究者們注意到Bechlioulis[7]的約束包絡(luò)(1)需要根據(jù)e(0)的符號分情況進行構(gòu)造，由此導(dǎo)致控制律也要根據(jù)e(0)的正、負情況重復(fù)進行設(shè)計，這其中可能還要涉及不同情形的控制切換問題。這種對e(0)的依賴問題嚴重制約了其工程實用性。為此，文獻[11～12]設(shè)計了一種新型性能函數(shù)，通過設(shè)定一個充分大的性能函數(shù)初值，使PPC擺脫了對誤差初值的依賴，在一定程度了增強了算法的可操作性。但是，過大的性能函數(shù)初值極易造成超調(diào)量失控，導(dǎo)致跟蹤誤差的動態(tài)性能不理想。為了克服這個缺陷，文獻[13～14]利用符號函數(shù)的性質(zhì)，將傳統(tǒng)性能函數(shù)[7]改進為一種能夠保證跟蹤誤差小超調(diào)收斂的新型約束形式；相關(guān)仿真結(jié)果表明，該方法可以保證跟蹤誤差小超調(diào)甚至無超調(diào)收斂。傳統(tǒng)PPC約束包絡(luò)[8-14]的收斂時間需要綜合利用性能函數(shù)的所有設(shè)計參數(shù)才能定性地確定一個大致的范圍，因此很難對跟蹤誤差的收斂時間進行定量約束。為此，文獻[15～16]在充分借鑒有限時間滑?？刂葡嚓P(guān)思想的基礎(chǔ)上，設(shè)計了有限/固定時間性能函數(shù)，保證了跟蹤誤差在任意設(shè)定的時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)。上述PPC方法僅能定性地或部分定量地保證跟蹤誤差期望的預(yù)設(shè)性能，鑒于此，文獻[17]將小超調(diào)PPC與有限時間PPC相結(jié)合，為乘波體飛行器提出了一種定量PPC新方法，能夠保證跟蹤誤差具有任意設(shè)定的收斂時間和穩(wěn)態(tài)誤差，并且超調(diào)量近似為零。除此之外，PPC在輸入受限系統(tǒng)[18-19]與受擾系統(tǒng)[19-20]也有較多應(yīng)用。但是，應(yīng)當(dāng)特別指出的是，現(xiàn)有PPC在處理控制執(zhí)行器飽和、受擾等問題時，極易誘發(fā)控制奇異問題，表現(xiàn)出十分明顯的脆弱性缺陷。所謂脆弱性[21-22]，是指當(dāng)控制執(zhí)行器突發(fā)飽和或受擾時，即便采取及時有效的補償措施，控制誤差相對于飽和與擾動出現(xiàn)之前也會有明顯的瞬時增加[19,21-22]；當(dāng)控制誤差因增大而逐漸接近甚至越過約束包絡(luò)時，就會導(dǎo)致控制奇異、閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn)進而控制失效、預(yù)設(shè)性能不可達,見圖2。

圖2 PPC的脆弱性示意圖

以執(zhí)行器飽和為例，分析PPC的脆弱性成因。PPC以轉(zhuǎn)換誤差ε(t)作為反饋變量，構(gòu)造反饋控制律u(ε(t))，將跟蹤誤差e(t)限定在式(1)所示的約束包絡(luò)內(nèi)。將執(zhí)行器飽和定義為:

(5)

圖3 e(t)靠近束包絡(luò)時ε(t)變化示意圖

盡管文獻[18～20,23～24]的PPC方法也涉及執(zhí)行器飽和與外部擾動等問題，仿真結(jié)果似乎表明方法依然有效。但是，應(yīng)當(dāng)清楚看到，上述方法僅考慮極短時間內(nèi)的執(zhí)行器飽和或較平緩的外部擾動，飽和與擾動還尚未引起足夠明顯的誤差波動，故未能呈現(xiàn)出PPC的脆弱性缺陷?？紤]到幾乎所有的控制系統(tǒng)都或多或少存在執(zhí)行器飽和與受擾等問題，PPC的脆弱性缺陷已經(jīng)成為制約其理論發(fā)展與工程應(yīng)用的技術(shù)瓶頸，是PPC走向工程實用所必須邁過的“鴻溝”。因此，探索非脆弱PPC新理論已經(jīng)迫在眉睫。

3 非脆弱PPC新理論基本構(gòu)想

由PPC脆弱性成因分析可見，執(zhí)行器飽和、受擾等因素導(dǎo)致PPC控制奇異的一個關(guān)鍵原因是傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)約束包絡(luò)不具備再調(diào)整能力，即預(yù)設(shè)約束包絡(luò)不能實時“感知”由執(zhí)行器飽和與受擾等因素引起的誤差波動情況，也不能根據(jù)誤差e(t)的波動情況，有針對性地自動調(diào)整預(yù)設(shè)約束包絡(luò)，導(dǎo)致誤差因接近甚至到達預(yù)設(shè)約束的上、下包絡(luò)而造成控制奇異,見圖2(c)。

基于以上分析，給出非脆弱PPC新理論的基本構(gòu)想。所謂非脆弱PPC，是指預(yù)設(shè)約束包絡(luò)能夠自主感知誤差波動，自動調(diào)整約束包絡(luò)，從而確?？刂茍?zhí)行器飽和、受擾等情形下預(yù)設(shè)性能始終可達的PPC新理論[9,21-22],見圖4。為了達成非脆弱PPC的上述設(shè)想，需要突破誤差感知、包絡(luò)調(diào)整與預(yù)設(shè)可達等一系列的基礎(chǔ)性問題。

3.1 誤差感知

誤差感知，是指PPC能夠?qū)崟r“感知”跟蹤誤差的波動態(tài)勢，即確定跟蹤誤差是否存在靠近約束上包絡(luò)或下包絡(luò)從而導(dǎo)致控制奇異的風(fēng)險隱患。為了確保能夠準確感知誤差波動情況，需要事先剖析控制執(zhí)行器飽和、受擾等引起誤差波動的根本原因，進而探究約束包絡(luò)對誤差波動的自主感知模式，從而構(gòu)建的自主感知方案。

圖4 非脆弱PPC關(guān)鍵技術(shù)構(gòu)想示意圖

3.2 包絡(luò)調(diào)整

包絡(luò)調(diào)整，是指在準確感知誤差波動態(tài)勢的基礎(chǔ)上，PPC能夠自動調(diào)整預(yù)設(shè)約束包絡(luò)的形狀(比如，當(dāng)“感知”到誤差增大時，可以自適應(yīng)地增大約束上包絡(luò)，減小約束下包絡(luò)，以避免控制奇異)，以保證跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)內(nèi)。為了達成這個目標(biāo)，需要針對控制執(zhí)行器飽和、受擾等導(dǎo)致的誤差波動問題，分類研究和制定約束包絡(luò)的調(diào)整方案。還要尋找導(dǎo)致誤差波動的關(guān)鍵變量，探索約束包絡(luò)調(diào)整項的構(gòu)造方法。

3.3 預(yù)設(shè)可達

預(yù)設(shè)可達，是指在預(yù)設(shè)約束包絡(luò)再調(diào)整的情形下，將跟蹤誤差約束在約束包絡(luò)內(nèi)應(yīng)當(dāng)滿足的相關(guān)條件。為了避免飽和、擾動等導(dǎo)致的PPC奇異問題，需要在準確感知誤差波動的基礎(chǔ)上，設(shè)計調(diào)整項對約束包絡(luò)(由性能函數(shù)構(gòu)造)進行修正，修正以后的性能函數(shù)不再滿足傳統(tǒng)PPC中必須為連續(xù)單調(diào)遞減的限制條件。對于這種跳出現(xiàn)有PPC理論框架之外的特殊情形，還需要研究采用何種補償措施、構(gòu)建何種反饋控制方案，才能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和轉(zhuǎn)換誤差有界，從而保證預(yù)設(shè)性能是可達的。

4 非脆弱PPC應(yīng)用案例

根據(jù)非脆弱PPC新理論的上述構(gòu)想，基于筆者的前期成果[24]，給出非脆弱PPC可行的技術(shù)方案。

4.1 受擾動力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC方案

考慮如下受擾動力學(xué)系統(tǒng)

(6)

控制目標(biāo)為：設(shè)計虛擬控制律x2d與實際控制律u，使得x1跟蹤其參考指令x1d，x2跟蹤x2d，并且跟蹤誤差e1=x1-x1d、e2=x2-x2d滿足如下預(yù)設(shè)性能[24]：

(7)

式中：

Pl1=[sign(e1(0))-0.5]ρ1-0.3sign(e1(0))；

Pr1=[sign(e1(0))+0.5]ρ1-0.3sign(e1(0))；

Pl2=[sign(e2(0))-0.5]ρ2-0.15sign(e2(0))；

Pr2=[sign(e2(0))+0.5]ρ2-0.15sign(e2(0))；

ρ1=(2.5-0.3)exp(-0.4t)+0.3；

ρ2=(2.5-0.15)exp(-0.4t)+0.15。

轉(zhuǎn)換誤差為[24]：

(8)

鑒于文獻[24]的傳統(tǒng)PPC不具備約束包絡(luò)自調(diào)整能力，當(dāng)遭遇足夠強度外部擾動d1(t)、d2(t)時，極易造成控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。為此，基于前文非脆弱PPC新理論的相關(guān)構(gòu)想，對文獻[24]方法進行改進，給出一種非脆弱PPC的可行方案。

對文獻[24]的預(yù)設(shè)性能式(7)進行改進:

(9)

式中:Re,1(t)∈R≥0、Re,2(t)∈R≥0為自適應(yīng)調(diào)整項,

Re,i(t)公式表示如下，式中τ1,e,i=5,τ2,e,i=1/3,i=1,2。

基于非脆弱預(yù)設(shè)性能(式(9))，對轉(zhuǎn)換誤差(式(8))修正，見式(10)：

(10)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明過程見文獻[24]，文中不再贅述。

4.2 輸入受限動力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC方案

考慮如下輸入受限的倒立擺系統(tǒng)[25]:

(11)

式中：mc=1 kg，m=0.1 kg，l=0.5 m，g=9.8 m/s2。

假設(shè)u∈R受到如下飽和約束：

(12)

式中：ud為u的期望值，um與uM分別為u的下界與上界。

σlow(t)-φr

(13)

式中:

φr=c2tanh (abs(c1,1x1))

其中，α=2，T=2，p0=π/50，pT=π/600，c2=0.2，c1,1=0.1；x1為如下輔助系統(tǒng)的狀態(tài):

(14)

式中:Λ1(x1)=(ex1-1)/(ex1+1);a1=5。

定義轉(zhuǎn)換誤差Tz∈R:

(15)

為s2(t)選取如下參考指令:

(16)

式中:kT=1.5。

(17)

式中：kz=2。

注3：針對輸入受限問題，所設(shè)計的非脆弱預(yù)設(shè)約束包絡(luò)(13)含有一個自適應(yīng)調(diào)整項φr∈R≥0。以x1作為感知變量，當(dāng)執(zhí)行器處于飽和時，有x1≠ 0，φr=c2tanh (|c1,1x1|)>0。則φr能夠準確感知控制輸入的飽和情況，并自適應(yīng)地增大約束上包絡(luò)并減小約束下包絡(luò)(調(diào)整幅值為c2tanh (|c1,1x1|))，從而確保跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)內(nèi)，保證了預(yù)設(shè)性能的可達性，并克服了傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。

5 數(shù)值仿真

為了驗證非脆弱PPC相對于傳統(tǒng)PPC的優(yōu)越性，采用MATLAB/Simulink軟件進行數(shù)字仿真，采用四階龍格-庫塔法進行求解，仿真步長均為0.01 s。

5.1 受擾動力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC仿真

分別在以下兩種情景下進行仿真。

情景1：采用文獻[24]的PPC進行仿真，且不考慮外部擾動，仿真結(jié)果如圖5～8所示。

情景2：采用本文的非脆弱PPC進行仿真，且考慮外部擾動，并取d1(t)=2sin(0.02πt)、d2(t)= 2sin(0.02πt)，仿真結(jié)果如圖9～12所示。

圖5 x1對其參考指令的跟蹤效果(情景1)

圖6 x2對其參考指令的跟蹤效果(情景1)

圖7 跟蹤誤差e1(情景1)

圖8 跟蹤誤差e2(情景1)

圖9 x1對其參考指令的跟蹤效果(情景2)

圖10 x2對其參考指令的跟蹤效果(情景2)

圖11 跟蹤誤差e1(情景2)

圖12 跟蹤誤差e2(情景2)

由圖5～8可見，當(dāng)沒有外部擾動時，文獻[24]的傳統(tǒng)PPC能夠?qū)崿F(xiàn)x1、x2對其參考指令的精確跟蹤，并且，跟蹤誤差e1、e2始終位于約束包絡(luò)(7)內(nèi)，具有滿意的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。但是，圖11～12表明，當(dāng)存在外部擾動時，文獻[24]的傳統(tǒng)PPC無法將e1、e2限定在約束包絡(luò)(7)內(nèi)，將直接導(dǎo)致控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性。圖9～12表明，即便存在外部干擾，所提出的非脆弱PPC仍能有效避免控制奇異問題。當(dāng)外部擾動導(dǎo)致跟蹤誤差增加時，所提出的非脆弱PPC能夠自主感知誤差的變化趨勢，并自動調(diào)整約束包絡(luò)(9)，即增大上包絡(luò)同時減小下包絡(luò)，使得跟蹤誤差始終位于約束包絡(luò)(9)內(nèi)，滿足期望的預(yù)設(shè)性能。綜上所述，仿真結(jié)果充分證明了本文非脆弱PPC的有效性以及相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性，能夠克服傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。

5.2 輸入受限動力學(xué)系統(tǒng)的非脆弱PPC仿真

圖13 s1(t)對的跟蹤效果

圖14 跟蹤誤差

圖15 控制輸入與輔助系統(tǒng)的狀態(tài)

6 結(jié)語

針對現(xiàn)有PPC理論的脆弱性缺陷，系統(tǒng)闡述了非脆弱PPC新理論的基本構(gòu)想。通過對傳統(tǒng)PPC理論框架與關(guān)鍵技術(shù)的回顧，簡要分析了導(dǎo)致其脆弱性問題的關(guān)鍵因素與作用機理。在此基礎(chǔ)上，探討了開辟非脆弱PPC新理論應(yīng)當(dāng)解決的關(guān)鍵基礎(chǔ)問題。最后，給出了非脆弱PPC新方法的技術(shù)實現(xiàn)方案。數(shù)值仿真結(jié)果證明了所提方案的有效性和相對于傳統(tǒng)PPC的優(yōu)越性。下一步，將針對PPC脆弱性的度量問題，開展相關(guān)算法優(yōu)化研究。