基于Jupyter lab簡諧振動及其合成與分解人機交互式教學(xué)模式的探索

吳 濤，劉 陽，王世芳

(1. 武漢工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢 430205；2. 湖北第二師范學(xué)院 物理與機電工程學(xué)院，湖北 武漢 430205)

上世紀80年代，哈佛大學(xué)前校長德里克·博克(Derek Bok)[1]第一個提出了本科教學(xué)方法重于課程內(nèi)容的理念，主張要把教學(xué)方式、方法的革新放在首位，其次才是課程內(nèi)容的更新. 時至今日，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，教學(xué)手段和方法發(fā)生了一系列的變革，大學(xué)物理作為一門公共基礎(chǔ)課程，在這場新時代的教學(xué)模式變革中一直走在前列[2-6].

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)和機器智能技術(shù)的不斷發(fā)展，各種高性能科學(xué)計算語言與軟件層出不窮，呈現(xiàn)出百花齊放的局面，在互聯(lián)網(wǎng)時代計算機語言的重要性已經(jīng)毋庸置疑，是每一位本科生的必備技能.現(xiàn)代物理學(xué)呈現(xiàn)出理論物理、實驗物理和計算物理三足鼎立的格局，而計算機的普及和發(fā)展也大力促進了大學(xué)物理形象化、可視化教學(xué)手段的應(yīng)用. 如何利用好現(xiàn)有資源和現(xiàn)代教育技術(shù)，切合學(xué)生實際情況，合理實現(xiàn)科學(xué)計算軟件與語言和高校物理基礎(chǔ)課程教學(xué)的深度融合，在“新工科”形勢下培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)、工程技能和計算思維具有重要實際意義.

常用的Matlab、Mathematica和Origin等是商業(yè)軟件，價格昂貴，而基于Python語言的大量自由、免費、開源的軟件，最近幾年得到了飛速發(fā)展，例如著名的計算機視覺庫OpenCV、三維可視化庫VTK、醫(yī)學(xué)圖像處理庫ITK，而Python專用服務(wù)科學(xué)計算的擴展庫就更多了，例如如下幾個十分經(jīng)典的科學(xué)計算與專業(yè)作圖擴展庫：Numpy、Scipy、Pandas和Matplotlib，它們分別為Python提供了快速數(shù)組處理、數(shù)值運算以及繪圖功能. 因此Python語言及其眾多的擴展庫所構(gòu)成的開發(fā)環(huán)境十分適合工程技術(shù)、科研人員處理實驗數(shù)據(jù)、制作圖表，甚至開發(fā)科學(xué)計算應(yīng)用程序，尤其是基于Jupyter lab/notebook交互式教學(xué)平臺，可以無縫導(dǎo)入豐富的第三方庫來實現(xiàn)大學(xué)物理的三維可視化，例如Vpython可以快速創(chuàng)建三維場景和動畫，其內(nèi)置大量的函數(shù)可實現(xiàn)大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容的快速編程，三維可視化展示物理圖像. Matplotlib是基于Python語言的第三方專業(yè)繪圖庫，可以方便的導(dǎo)入Jupyter lab/notebook平臺，除此之外，還有豐富的其它基于Python的專業(yè)繪圖庫可供選擇，例如Plotly、Seaborn、Bokeh等. 在大學(xué)物理交互式、可視化教學(xué)中，Matlab、Mathematica等商業(yè)軟件完全可以由Python語言及其豐富的且更新速度很快、不斷發(fā)展進步的第三方庫所替代.

最近，中國農(nóng)業(yè)大學(xué)的研究者劉玉穎等在大學(xué)物理教學(xué)中引入Vpython對剛體的三維運動[7]、天體的軌道運動[8]、點電荷體系的靜電場及電荷在電場中的運動[9]進行了三維模擬. 本文以大學(xué)物理教學(xué)中簡諧振動部分為例，完整地介紹基于Jupyter lab平臺編寫教案與課件的方法，首先構(gòu)建簡諧振動的三維場景，給出簡諧振動方程的理論推導(dǎo)、數(shù)值求解及其擴展應(yīng)用、振動曲線的動態(tài)繪制，基于Vpython對簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法描述進行編程動畫展示，并進一步基于旋轉(zhuǎn)矢量法動態(tài)分析振動的合成與分解，得出拍的形成和李薩如圖的動態(tài)展示，最后給出復(fù)雜振動的傅里葉分析合成圖. 本文展示了基于Jupyter lab平臺對簡諧振動這一部分的教學(xué)，可以通過分析源代碼和三維動畫的方式完整的展示出來，便于學(xué)生進行探索式、互動式的學(xué)習，為培養(yǎng)學(xué)生計算思維和“新工科”教學(xué)模式改革與探索提供了新的借鑒，其相關(guān)內(nèi)容和知識可以推廣到其它學(xué)科的教學(xué)模塊.

1 基于Jupyter lab平臺的簡諧振動教學(xué)場景構(gòu)建

Jupyter lab作為基于web的集成開發(fā)環(huán)境，利用它可以方便地編寫教案和制作授課課件，圖1展示了基于Jupyter lab制作的大學(xué)物理簡諧振動教學(xué)內(nèi)容與流程的截圖. Jupyter lab相比Jupyter notebook具有代碼塊折疊功能，在實際授課中能夠方便地展示本堂課的全部教學(xué)內(nèi)容. 圖1中下圖給出的為第一部分內(nèi)容(簡諧振動彈簧振子的三維場景構(gòu)建與理論分析)的隱藏內(nèi)容截圖，可以看出包含有Markdown編輯文字、LaTeX公式區(qū)、Python代碼區(qū)和三維動畫場景及作圖畫布區(qū). 其中集成的Markdown工具能夠支持廣泛使用的LaTex公式編輯語法，對復(fù)雜的物理公式與公式推導(dǎo)具有優(yōu)秀的展示效果. Python代碼區(qū)支持語法高亮和代碼補全等功能，可以方便學(xué)生閱讀和修改代碼，具有很好的互動效果. 三維動畫場景及畫布區(qū)能夠通過程序進行自由控制展示效果，特別是基于Vpython的動畫場景輸出能夠利用鼠標實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)、移動、放大和縮小等各種功能，方便學(xué)生從不同的角度進行觀察，同時也增強了學(xué)習過程的互動性和趣味性.

圖1 基于Jupyter lab大學(xué)物理簡諧振動教學(xué)內(nèi)容與流程運行截圖

圖1利用第三方庫Vpython豐富的內(nèi)置三維形體對象，構(gòu)建出了水平彈簧振子的三維場景，并通過Python語言程序代碼可以自由方便的控制簡諧振動小球的三維動態(tài)運動，并同步動態(tài)在畫布上畫出振動曲線，讓學(xué)生直觀、生動的獲取簡諧振動的運動圖景. 動畫展示部分可以采用for循環(huán)，也可以采用while語句，通過修改三維實物對象的pos屬性參數(shù)實現(xiàn)實物運動模擬仿真的實景效果.

2 簡諧振動Python可視化教學(xué)

2.1 Python語言龍格-庫塔法數(shù)值求解簡諧振動微分方程組與擴展應(yīng)用

def ode_rk4(funcs, time_span, y0_list, n_step, alpha):

n_var = len(y0_list)

dt = (time_span[1] - time_span[0]) / (n_step - 1)

y_solve = np.zeros((n_var, n_step))

y_solve[:, 0] = y0_list

time =np.linspace(time_span[0], time_span[1], n_step)

for i in range(n_step - 1):

k1 =np.array(funcs(y_solve[:, i], time[i] , alpha))

k2 =np.array(funcs(y_solve[:, i] + k1 * dt / 2, time[i] + dt / 2, alpha))

k3 =np.array(funcs(y_solve[:, i] + k2 * dt / 2, time[i] + dt / 2, alpha))

k4 =np.array(funcs(y_solve[:, i] + k3 * dt, time[i] + dt, alpha))

y_solve[:, i + 1] = y_solve[:, i] + dt / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)

return time,y_solve

只要根據(jù)物理問題的需要定義好funcs函數(shù)，并導(dǎo)入程序運行所需的numpy庫，該ode_rk4求解函數(shù)可以求解含阻尼振動形式的一階常微分方程組，對于簡諧振動對應(yīng)的微分方程組的funcs函數(shù)可以用以下函數(shù)進行測試:

def funcs(y, t_var, alpha):

return [y[1], -y[0] - 2*alpha*y[1]]

給定初始條件，調(diào)用函數(shù)ode_rk4即可數(shù)值求解. 例如，利用調(diào)用參數(shù)為t, y_list=ode_rk4(funcs, [0, 15], [0, 6], 101, alpha=0)的數(shù)值解和解析解的位移-時間圖對比結(jié)果如圖2所示.

圖2 簡諧振動的龍格-庫塔法數(shù)值解和解析解對比圖

從圖2可以看出，具有4階精度的數(shù)值解和解析解結(jié)果吻合得非常好. 對于該數(shù)值求解，還可以引導(dǎo)學(xué)生進一步思考含有阻尼的振動，即假設(shè)振子運動過程中受到的阻力正比于速度的大小，只需要對調(diào)用函數(shù)ode_rk4中alpha值進行修改，可得出過阻尼、臨界阻尼及欠阻尼振動形式的數(shù)值解.

圖3 零阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和過阻尼情況下的龍格-庫塔法數(shù)值解

圖3給出了不同阻尼系數(shù)alpha值情形下的數(shù)值解，分別對應(yīng)零阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和過阻尼情況下的龍格-庫塔法數(shù)值解，這一部分可以作為研究性內(nèi)容讓學(xué)生進行選學(xué)，學(xué)生通過探索，得出不同類型情況下的阻尼系數(shù)所處的范圍，進而對各種振動形式有更深入和直觀的理解，同時探討在實際生活中的應(yīng)用，如樓道內(nèi)自動關(guān)閉門的阻尼鉸鏈的阻尼大小會非常接近臨界阻尼，以獲得最快的關(guān)閉速度，防止其來回振蕩.

2.2 簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量法的Vpython可視化

利用Vpython強大的三維展示功能，可以動態(tài)的實現(xiàn)簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量描述的動畫展示，以及同步展示簡諧振動的位移-時間和速度-時間曲線，如圖4所示. 主要設(shè)計思想如下：首先給出作圓周運動的黑色小球在初始時刻的位置矢量，以及該小球在x軸上的投影位置，即真正作簡諧振動的灰色小球位置，再作出從坐標原點指向黑色小球的旋轉(zhuǎn)矢量以及簡諧振動灰色小球的速度矢量，該矢量也正好是圓周運動的黑色小球速度矢量在x軸上的投影.最后，當這些反映簡諧振動的小球運動起來后，通過循環(huán)語句更新不同時刻它們的位置坐標，并同步畫出簡諧振動灰色小球的位移-時間和速度-時間曲線，通過滑動體改變振幅、周期和初相，實現(xiàn)簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法交互式動畫演示效果. 旋轉(zhuǎn)矢量動畫和同步位移(速度)-時間曲線實現(xiàn)程序的循環(huán)語句如下：

x_plot = gcurve(graph=g, color=color.red, label="x")

v_plot = gcurve(graph=g, color=color.green, label="v")

while time <= T:

rate(10)

circle_list = vector(R*cos(theta), R*sin(theta), 0)

ball.pos = circle_list

b.pos = vector(circle_list.x, 0, 0)

a.axis = ball.pos

curve(a.pos+a.axis,b.pos,radius=0.01,color=color.green, opacity=0.5)

vel.pos = ball.pos

vel.axis = omega * R * vector(-sin(theta), cos(theta), 0)

vel2.pos =b.pos

vel2.axis = omega * R * vector(-sin(theta), 0, 0)

x_plot.plot(time, R * cos(theta))

v_plot.plot(time, R*omega*cos(theta + pi/2))

time += 1/15

theta = omega * time + phi

圖4 簡諧振動旋轉(zhuǎn)矢量描述法的Vpython動畫展示

類似圖4的Vpython編程思路，圖5給出了利用旋轉(zhuǎn)矢量描述法對拍振動曲線形成的交互式動畫演示截圖，旋轉(zhuǎn)矢量動畫和同步位移-時間曲線實現(xiàn)程序的循環(huán)語句如下：

x_plot = gcurve(graph=g, color=color.green, label="x")

time = 0

while time <= 5:

rate(10)

circle_1=vector(R1*cos(theta1),R1*sin(theta1),0)

ball1.pos = circle_1

arrow1.axis = ball1.pos

circle_2=vector(R2*cos(theta2),R2*sin(theta2),0)

ball2.pos = circle_2

arrow2.axis = ball2.pos

circle_3 = ball1.pos + ball2.pos

ball3.pos = circle_3

arrow3.axis = ball3.pos

b.pos = vector(circle_3.x, 0, 0)

curve(arrow3.pos+arrow3.axis, b.pos)

x_plot.plot(time, ball3.pos.x)

time += 1/300

theta1 = omega1 * time + phi1

theta2 = omega2 * time + phi2

圖5 利用旋轉(zhuǎn)矢量法動畫演示拍曲線的形成

從圖5的動畫演示中可以看出，代表兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量的角速度很大且有細微差別時，它們構(gòu)成的平行四邊形的形狀即合成矢量的長度會不斷緩慢的變化，值得指出的是有兩個特殊的時刻，即當兩個分振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量重合時，合振動的振幅最大，當兩個分振動對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量成180°角時，合振幅為零. 從振動曲線也能同步反映這個合振幅周期性變化的特點，兩次最大振幅或者最小振幅之間的時間間隔即為拍的周期，其倒數(shù)就是拍頻.通過該旋轉(zhuǎn)矢量的動畫演示，可以直觀看出1 s內(nèi)兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量能夠重合的次數(shù)就是它們的頻率之差，這對應(yīng)的正是拍頻.

2.3 拍、李薩如圖交互式可視化與復(fù)雜振動的傅里葉合成與分解

振動的合成與分解是引導(dǎo)學(xué)生理解簡諧振動是自然界最基本的一種振動形式的關(guān)鍵內(nèi)容，除了采用2.2節(jié)的旋轉(zhuǎn)矢量法動態(tài)演示拍的形成外，還可以采用振動曲線疊加法進行交互式演示，圖6給出了基于Jupyter lab演示同方向簡諧振動合成過程的交互式界面截圖. 學(xué)生可以通過滑動條改變兩個同方向作簡諧振動的質(zhì)點的振幅、角頻率和初相，振動曲線就能動畫演示其合成的振動的振動曲線，通過這種方式也能演示拍和其它復(fù)雜振動的合成結(jié)果.值得注意的是，在Python編程中實現(xiàn)交互式演示編程中，需要導(dǎo)入第三方庫Ipywidget的Interactive方法，其中部分函數(shù)的定義與調(diào)用代碼為：

def same_direction_plotting(A1=5, A2=5, w1=1, w2=2, phi1=pi, phi2=1/3 * pi):

x1, x2, x = [], [], []

for t in times:

x1.append(A1 * cos(w1 * t + phi1))

x2.append(A2 * cos(w2 * t + phi2))

for i in range(len(x1)):

x.append(x1[i] + x2[i])

fig, axes =plt.subplots(3,1)

plt.tight_layout()

interactive_plot=interactive(same_direction_plotting,A1=(1,5,1), A2=(1, 5, 1), w1=(1, 101),w2=(1, 101), phi1=(0, 2*pi), phi2=(0, 2*pi))

interactive_plot

類似圖6交互式演示的編程方法，基于Vpython可以實現(xiàn)垂直方向簡諧振動的合成動畫演示，同樣學(xué)生可以通過圖7上邊的滑動條修改相關(guān)參數(shù)，實現(xiàn)不同整數(shù)頻率之比的李薩如圖的繪制與動畫演示效果，繪制出非常復(fù)雜的振動曲線. 從這些合成復(fù)雜振動的動畫演示中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過自己設(shè)置模擬參數(shù)，交互式繪制圖像、曲線，通過修改程序代碼實現(xiàn)不同振動曲線，并思考李薩如圖有哪些實際應(yīng)用，理解為什么說簡諧振動是一種最基本的振動形式.

圖6 基于Jupyter lab拍形成的交互式可視化截圖

圖7 基于Jupyter lab李薩如圖形成的交互式可視化截圖

圖8 基于Jupyter lab方波信號傅里葉諧波交互式合成圖

圖8給出了基于Jupyter lab方波信號的傅里葉合成圖，在生成圖8的編程中導(dǎo)入了交互式作圖第三方庫Plotly，從圖8中可以看出，通過滑動條可以交互式改變諧波的個數(shù)，直觀的看到隨著諧波數(shù)的增大，傅里葉合成曲線與原始方波信號的近似程度越來越高，學(xué)生可以通過進一步修改代碼來探索方波信號傅里葉分解的頻譜結(jié)構(gòu)，并可以讓學(xué)生課后類似地作出鋸齒三角波的傅里葉合成與分解圖. 最后，通過圖8方波和三角波的傅里葉分解，引出傅里葉分析與簡諧振動的合成與分解的關(guān)系，說明任何復(fù)雜的線性振動都可以分解為若干個最基本的、最簡單的簡諧振動的合成，這些最基本的合成單元可能是無數(shù)多個，并引導(dǎo)學(xué)生在課后利用Python語言編程進一步作出這些復(fù)雜振動所對應(yīng)的頻譜圖，從而深刻理解物理學(xué)中疊加原理的思想.

3 結(jié)語

大學(xué)物理理論性強、概念抽象，學(xué)生在學(xué)習過程中一直存在物理概念不清楚、物理圖像不清晰、內(nèi)容枯燥難懂的問題. 本文基于Jupyter lab平臺和Vpython庫，展示了大學(xué)物理簡諧振動部分相對完整的交互式、三維可視化的教學(xué)教案、編程方式與教學(xué)手段. 在教學(xué)實踐中便于學(xué)生理解和掌握相關(guān)物理概念、物理圖像，為提高學(xué)生的學(xué)習興趣、自主學(xué)習能力，培養(yǎng)學(xué)生的計算思維提供了新的交互式學(xué)習模式. 例如，利用Markdown功能編寫教學(xué)課件，編排復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，創(chuàng)新界面美觀、所見即所得的學(xué)習模式，易于掌握和激發(fā)學(xué)生動手能力和學(xué)習興趣. 程序代碼和三維圖像界面可以動態(tài)的展示出來，并能夠拖動和變換角度，使抽象的概念可以獲得非常直觀的物理圖像. 通過Vpython的動畫演示，讓學(xué)生自己修改程序代碼的參數(shù)，可以實現(xiàn)人機互動的模擬實驗過程，使抽象的物理公式和概念形象化、具體化，在增強趣味性的同時，幫助學(xué)生掌握了物理圖像和編程技巧. 利用Jupyter lab平臺把數(shù)值實驗搬到教學(xué)課堂，并督促學(xué)生自己完成數(shù)值實驗的課后作業(yè)，對培養(yǎng)學(xué)生的計算思維，體現(xiàn)“新工科”教學(xué)的培訓(xùn)和學(xué)習目標提供了有益的探索與借鑒.