樁基凍脹力的三維黏彈性問題研究

何 菲，王 旭，蔣代軍，梁慶國，任明洋

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

1 引 言

凍脹是凍土工程中普遍存在的力學(xué)現(xiàn)象，寒區(qū)輕型建筑物基礎(chǔ)由于切向凍脹力的作用，出現(xiàn)凍脹變形問題，基礎(chǔ)斷裂或拔起破壞也時(shí)有發(fā)生，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。在設(shè)計(jì)中選取正確的切向凍脹力一直是建筑實(shí)踐中特別考慮的問題之一。

多年來，我國的科研人員在基礎(chǔ)凍脹方面進(jìn)行了大量的研究，獲得了較為豐碩的研究成果。早期的研究主要采用試驗(yàn)的方法研究凍脹力的大小、沿深度的發(fā)展規(guī)律以及沿基礎(chǔ)表面的分布，其目的是為了制定凍土地區(qū)建筑物基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與施工規(guī)范[1－3]。由此得出了一些經(jīng)驗(yàn)公式及相關(guān)規(guī)范，但是由于影響地基土凍脹性的因素非常復(fù)雜，包括土質(zhì)、水分、溫度、壓力等，又因試驗(yàn)場地的多樣性，試驗(yàn)結(jié)果離散性較大。關(guān)于樁基凍脹的計(jì)算理論隨之發(fā)展起來。周有才[4]假定樁側(cè)土體的約束凍脹量曲線為冪函數(shù)，提出了簡化的Linell 和Kaplar 公式，用基礎(chǔ)約束范圍內(nèi)凍脹減少體積與凍脹地基系數(shù)的關(guān)系計(jì)算了凍脹力。賴遠(yuǎn)明等[5]提出，切向凍脹力與凍結(jié)強(qiáng)度有本質(zhì)的區(qū)別，利用疊加原理和彈性半空間的Mindlin 公式，導(dǎo)出了計(jì)算樁基凍脹力三維問題的積分方程。李洪升等[6]把凍土層簡化為半平面體（或半空間體），將基礎(chǔ)影響簡化為作用在彈性體表面的集中力或分布力，采用彈性理論導(dǎo)出凍土層沉陷量的計(jì)算公式。徐學(xué)燕等[7]利用有限差分方法求解自由凍脹量與約束凍脹量之差即為場地最終的凍脹量。

綜上所述，關(guān)于樁基凍脹研究已經(jīng)取得了很多的成果，但是目前的研究工作大多基于彈性理論。實(shí)際上，地基土體遠(yuǎn)不是理想的均質(zhì)彈性體，故將彈性理論公式應(yīng)用到地基上來，總是帶有近似性。而且凍脹力隨時(shí)間的發(fā)展變化又無法真實(shí)測定，切向凍脹力何時(shí)達(dá)到最大，對工程的影響又是如何等都是需要考慮的問題。為此，本文在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，從分析地基土凍脹變形的規(guī)律開始，運(yùn)用疊加原理和彈性半空間的Mindlin 公式[8]，并結(jié)合經(jīng)典黏彈性力學(xué)理論，通過理論推導(dǎo)，對樁基凍脹力三維黏彈性問題提出了合理的表達(dá)式及解釋，結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行編程數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證，得出了凍脹力隨時(shí)間和空間變化的三維曲面。

2 凍土與樁基相互作用的力學(xué)模型

在負(fù)溫條件下天然土體凍結(jié)產(chǎn)生的凍脹，稱為自由凍脹。寒區(qū)工程中由于樁基礎(chǔ)的作用，使樁基周圍地基土的凍脹受到約束，即發(fā)生所謂的約束凍脹，約束凍脹是一種非均勻凍脹。約束凍脹對地基的影響有一定的約束范圍，在靠近樁基礎(chǔ)的一定范圍內(nèi)土體的自由凍脹受到約束，范圍外則發(fā)生自由凍脹。一般地，對于一個(gè)完全錨固的基樁，其有效影響范圍為基礎(chǔ)直徑的7 倍[9]。此外，約束凍脹還受到基礎(chǔ)形狀、土體與樁的接觸面面積和凍結(jié)強(qiáng)度、土的凍脹特性以及凍結(jié)深度等因素的影響[6]。土的自由凍脹和約束凍脹如圖1 所示。

關(guān)于自由凍脹量的研究，不管是在微觀、凍脹機(jī)制還是現(xiàn)場原位觀測，都取得了較為系統(tǒng)的研究成果[10－11]。根據(jù)疊加原理就可以得到約束凍脹變形，如圖1 所示，認(rèn)為樁周土的約束凍脹是先發(fā)生自由凍脹，然后在自由凍脹基礎(chǔ)上由凍脹地基對樁基的反作用力引起的變形，兩種凍脹的疊加產(chǎn)生了約束凍脹地表。

圖1 自由凍脹和約束凍脹示意圖Fig.1 Free frost heave and restrained frost heave

3 半空間土體內(nèi)部作用集中力的黏彈性解

為了便于研究，在進(jìn)行理論分析之前，首先對半無限空間土體作如下假設(shè)：

（1）假定地基土是線性黏彈性介質(zhì)；

（2）假定地基土是均勻各向同性的連續(xù)變形體，在深度和水平方向上無限延伸，即為半無限體；

（3）土體在外部集中力作用下的應(yīng)力為三維應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力球張量和應(yīng)變球張量之間符合彈性關(guān)系，而應(yīng)力偏張量和應(yīng)變偏張量之間為黏彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

由于凍土的變形特性具有蠕變和松弛效應(yīng)，而Kelvin 模型無法描述松弛效應(yīng)，又考慮到為便于計(jì)算，故假定偏張量之間符合三參量固體模型。

依據(jù)半無限彈性體內(nèi)部作用有豎直向或水平向集中力的Mindlin 彈性解，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)黏彈性-彈性相應(yīng)原理，結(jié)合Laplace 變換及Laplace 逆變換，求解相應(yīng)的三維線性黏彈性解答[12－13]。半無限體內(nèi)在點(diǎn)（0,0,c）處作用一沿z 軸方向的單位集中力時(shí)，任意點(diǎn)M(r,z)在 t 時(shí)刻的豎向位移和水平向位移分量的黏彈性表達(dá)為

半無限體內(nèi)在點(diǎn)(0,0,c)處作用一沿x 軸方向的單位集中力時(shí)，任意點(diǎn)M(x,y,z)的位移分量的黏彈性表達(dá)如下：

其中：

式中：K為體積彈性模量；E1、Ek、ηk分別為三參量固體模型系數(shù)。

4 樁基凍脹力分布的黏彈性理論計(jì)算公式

4.1 自由凍脹產(chǎn)生的土體位移

取自由凍脹地表線和樁基軸線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，坐標(biāo)軸oxyz 如圖1 所示（y 軸垂直紙面向外）。模型中凍深以下部分為融土，理論計(jì)算時(shí)凍深以下部分樁基與樁側(cè)土體之間按摩阻力計(jì)算。在本文計(jì)算中，融土、凍土的彈性模量及黏性系數(shù)采用等效模量和等效系數(shù)計(jì)算。

自由凍脹產(chǎn)生的土體位移與凍深H(t)和自由凍脹量h(t)有關(guān)[5]，表達(dá)式如下：

式中：u為階躍函數(shù)，其值為

4.2 約束凍脹產(chǎn)生的土體位移

土體凍脹產(chǎn)生對樁基的切向凍脹力P(c)和法向凍脹力R(c)，土體則受到樁基的反作用力，產(chǎn)生約束凍脹位移。利用式（1）和式（2），在沿樁身分布的切向凍脹反力作用下任意點(diǎn)M(r,z)的豎向位移WII和UII可表示為

由式（1）、（2）可得

法向凍脹反力沿樁側(cè)分布，方向背離樁側(cè)。對于豎直平面（xy 平面）而言，平行于x 軸的單位法向凍脹反力由一對集中力組成，設(shè)定其中一力沿x軸正向作用于(0,0,c)，則另一力等值反向作用于(-d,0,c)，d為樁的直徑。利用式（3）、（4），在這樣一對集中力共同作用下，任意點(diǎn)M(x,y,z)的位移為

將樁基對凍土的徑向作用力R(c)分別乘以式（13）和式（14），并沿環(huán)向積分，便得到在xy 平面內(nèi)z=c 處作用環(huán)向均勻分布的凍脹反作用力時(shí)，半空間土體內(nèi)任意一點(diǎn)M(r,z)的位移表達(dá)式為

則在埋入土體的樁長范圍內(nèi)(z∈0,L)分布的凍脹反作用力作用下，凍土任意一點(diǎn)M(r,z)的位移為

由疊加原理便可得到約束凍脹產(chǎn)生的位移。利用式（9）自由凍脹產(chǎn)生的位移、式（11）切向凍脹力產(chǎn)生的位移和式（18）法向凍脹力產(chǎn)生的位移，得到在切向凍脹力P(c)和法向凍脹力R(c)作用下凍土內(nèi)任意一點(diǎn)M(r,z)的位移為

式中：UI為樁側(cè)土自由凍脹時(shí)沿水平方向產(chǎn)生的位移。

4.3 驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)的正確性，以式（14）為例，將t=0 代入式（14），得到在t=0 時(shí)刻一對集中力作用在點(diǎn)(0,0,c)和點(diǎn)(-d,0,c)處時(shí)任意點(diǎn)M(x,y,z)產(chǎn)生的豎向位移為

式（20）與彈性解[5]相同，表明在加載瞬時(shí)材料的變形主要由三參量模型中彈簧E1來承擔(dān)，由此也可以驗(yàn)證本文的黏彈性理論解的正確性。

4.4 樁基凍脹力的黏彈性解

土體凍脹后，樁側(cè)土與樁基黏結(jié)在一起無相對滑動(dòng)，可認(rèn)為其水平位移為0；由于鋼筋混凝土樁的彈性模量比凍土的大得多，可假設(shè)樁身不可壓縮，則樁側(cè)土體豎向位移等于樁的拔出量hb(t)。若計(jì)算初始時(shí)刻為凍脹前，則樁側(cè)土水平位移不為0，用m 表示。因此，可以將式（19）簡化為關(guān)于切向凍脹力和法向凍脹力的方程組，并將式（19）中的方程式離散化處理得到tk時(shí)刻的凍脹力方程為

式（21）中，埋入土體中的樁長L 劃分為n 等份，每段長ΔL =L/n，且有

求解時(shí)將式（21）轉(zhuǎn)化以下矩陣形式進(jìn)行計(jì)算：

由凍脹反力與凍結(jié)強(qiáng)度的關(guān)系可知，凍脹反力的最大值等于凍結(jié)強(qiáng)度，也就是說，凍脹反力達(dá)到或超過凍結(jié)強(qiáng)度時(shí)，凍土與基礎(chǔ)聯(lián)接界面被剪壞，基礎(chǔ)也就對凍土沒有了約束作用[14]。因此，如果由式（25）計(jì)算出來的切向凍脹反力大于樁土間的凍結(jié)強(qiáng)度，需用樁土表面的摩阻力修正式（25），并將系數(shù)矩陣降維處理計(jì)算，直到計(jì)算出的切向凍脹力均小于凍結(jié)強(qiáng)度為止。

5 算 例

某鋼筋混凝土灌注樁基礎(chǔ)[5]直徑d=0.3 m，埋深L=2.5 m，地基土質(zhì)為砂質(zhì)黏土，凍深H=2 m，樁基拔出量hb=0.01 m，自由凍脹量h=0.192 m。計(jì)算時(shí)以該狀態(tài)為初始時(shí)刻進(jìn)行研究。

計(jì)算分析時(shí)，關(guān)于凍土三參量模型中E1、Ek、ηk三個(gè)系數(shù)能查閱到的資料很少，故由室內(nèi)實(shí)測凍土蠕變曲線反演得到。本蠕變試驗(yàn)的圍壓為0.5 MPa，溫度為-1.5 ℃，蠕變應(yīng)力為1.316 MPa。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，據(jù)三參量模型蠕變解公式為

利用單純形法，尋優(yōu)求解非線性方程組，得到3 個(gè)參數(shù)的取值為E1=93.96 MPa、Ek=23.09 MPa、ηk=8.08 MPa ? d。

自由凍脹量、凍深以及樁基凍拔位移隨時(shí)間的發(fā)展變化關(guān)系，由已有資料得到。其中自由凍脹量與凍深的變化遵循海拉爾凍土站1974、1975年度凍結(jié)過程線的規(guī)律[14]，樁基凍拔位移規(guī)律由孫洪偉等[15]關(guān)于樁基凍拔位移的實(shí)測值擬合得到，并結(jié)合本算例中的自由凍脹量值、凍深值以及樁基上拔量，最終得到其隨時(shí)間的發(fā)展變化關(guān)系分別為

按照本文建立的樁基凍脹力三維黏彈性方程得到的初始時(shí)刻切向凍脹力及法向凍脹力隨深度的變化曲線如圖2、3 所示，其中取凍結(jié)強(qiáng)度為200 kPa，用于對切向凍脹力的修正計(jì)算。與文獻(xiàn)[5]提供的數(shù)據(jù)相比（如圖4 所示），凍脹力的分布規(guī)律與本文理論計(jì)算結(jié)果基本一致。本文的切向凍脹力最大值在樁深1.0 m 處，文獻(xiàn)[5]中最大值在0.8 m 附近，兩者相接近，表明本文建立的樁基凍脹力三維黏彈性方程計(jì)算模式是可行的。就數(shù)值而言，本文計(jì)算結(jié)果與彈性解存在一定的差別，這是由于黏彈性解模型中參數(shù)數(shù)目多于彈性解模型，而且兩種模型的參數(shù)取值也存在差別。

圖2 初始時(shí)刻切向凍脹力沿樁深的分布Fig.2 Distribution of tangential frost forces along the lateral surface of pile at the initial time

圖3 初始時(shí)刻法向凍脹力沿樁深的分布Fig.3 Distribution of normal frost forces along the lateral surface of pile at the initial time

圖4 切向凍脹力彈性解和黏彈性解Fig.4 Viscoelastic and elastic solutions of tangential frost force

已有文獻(xiàn)中關(guān)于凍脹力理論計(jì)算值隨時(shí)間變化的研究鮮有見到。本文根據(jù)前述理論分析，得到本算例中切向凍脹力、法向凍脹力時(shí)空分布的三維曲面，如圖5、6 所示。計(jì)算所選取的凍結(jié)深度模型中當(dāng)凍結(jié)到30 d 時(shí)，凍結(jié)深度已達(dá)到2.4 m，接近樁底，故只研究凍結(jié)30 d 的情況。

圖5 切向凍脹力隨深度及時(shí)間的三維曲面Fig.5 3D surface of tangential frost forces vs.depth and time

由圖5 可以得出，隨著凍結(jié)時(shí)間的增長，凍結(jié)深度逐漸增大的同時(shí)，切向凍脹力峰值位置緩慢地下移，峰值也在增大，凍結(jié)30 d 后的切向凍脹力峰值比凍結(jié)5 d 時(shí)的值增大了約1/3。由圖6 可知，法向凍脹力分布范圍隨時(shí)間的增長而增大，其峰值隨時(shí)間變化較小。從法向凍脹力峰值來看，圖6 所示的峰值比圖3 所示初始時(shí)刻的凍脹力峰值小很多，這是由于計(jì)算時(shí)認(rèn)為初始時(shí)刻樁側(cè)土體與樁體有一定距離，土體凍脹后，樁側(cè)土與樁基黏結(jié)在一起無相對滑動(dòng)，其水平位移為0。

圖6 法向凍脹力隨深度及時(shí)間的三維曲面Fig.6 3D surface of normal frost forces vs.depth and time

6 結(jié) 論

（1）以樁基凍脹力理論為基礎(chǔ)，通過分析地基土凍脹變形規(guī)律，運(yùn)用經(jīng)典黏彈性力學(xué)理論，導(dǎo)出了適用樁基凍脹力三維黏彈性問題的合理表達(dá)及解釋。

（2）提出求解樁基凍脹力三維黏彈性方程的方法及思路，得到了模型中各參數(shù)的表達(dá)式及取值。結(jié)合已有工程實(shí)例進(jìn)行求解，得到的初始時(shí)刻的黏彈性解與已有文獻(xiàn)[5]中的彈性解吻合較好。

（3）通過理論計(jì)算，首次得到了樁基凍脹力的時(shí)空分布三維曲面，可以較直觀地反映凍脹力的分布規(guī)律。

本論文在理論計(jì)算中還存在一定的不足。在計(jì)算過程中沒有考慮溫度變化對土層特性的影響，并且假定凍結(jié)強(qiáng)度是常數(shù)，所以計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值還存在一定的差距，以后的研究中會嘗試在該部分做進(jìn)一步地探討。

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