基于巖石損傷本構(gòu)的破碎比功評(píng)價(jià)模型研究與應(yīng)用

蔡 燦 ，伍開松 ，袁曉紅，吳霽薇，趙 攀

（1.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.西南石油大學(xué) 鉆頭研究所，四川 成都 610500；3.殼牌中國勘探開發(fā)有限公司，四川 成都 610500）

1 引 言

鉆頭破巖效果不僅與鉆壓、轉(zhuǎn)速及地質(zhì)條件等相關(guān)，在很大程度上是由鉆頭上的牙齒決定的。因此，牙齒的破巖效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則與方法是否能科學(xué)地反映實(shí)際工況，不僅是國內(nèi)外礦業(yè)學(xué)者和石油鉆井工程師關(guān)注的重點(diǎn)，而且也是新型牙齒的設(shè)計(jì)與優(yōu)化的基礎(chǔ)。

自20 世紀(jì)80年代有學(xué)者提出煤礦的破碎功研究后[1?2]，破碎比功的研究工作不僅繼續(xù)深入，還被應(yīng)用于地下工程災(zāi)害防治[3]。楊迎新等[4]將破碎比功成功應(yīng)用于牙齒破巖效率評(píng)價(jià)，并對(duì)牙齒齒形進(jìn)行了評(píng)價(jià)和優(yōu)選應(yīng)用。該方法經(jīng)過多年應(yīng)用，已被作為牙齒齒形評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則，或者經(jīng)過改進(jìn)和修正后得到更廣泛的研究和應(yīng)用[5?7]。目前的破碎功學(xué)說已經(jīng)考慮到損傷、裂紋等對(duì)破碎的影響[8]，但破碎比功的研究與應(yīng)用都忽略了未破碎的損傷區(qū)。從能量上看，這部分未破碎區(qū)實(shí)際上也吸收了牙齒的大量輸入功，并轉(zhuǎn)化為裂紋、孔洞和其他聲熱能；從礦業(yè)和石油工程中牙齒的連續(xù)破碎來看，這些臨近破碎區(qū)的損傷區(qū)將大大減小下一次破碎的輸入功，這使得第1 次計(jì)算的破碎比功不能完整地評(píng)價(jià)牙齒連續(xù)破碎的效果。基于以上分析可知，研究一種考慮損傷區(qū)的破碎比功評(píng)價(jià)模型對(duì)客觀評(píng)價(jià)牙齒連續(xù)破碎的真實(shí)效果是有必要的。

基于上述分析，對(duì)損傷區(qū)域的破碎功采用了加權(quán)計(jì)入，統(tǒng)一了能量輸入的破碎區(qū)和未破碎區(qū)，建立了考慮損傷區(qū)的破碎比功評(píng)價(jià)模型。采用ANSYS二次開發(fā)損傷本構(gòu)模型，對(duì)單齒壓入破碎比功進(jìn)行了數(shù)值仿真試驗(yàn)。然后與試驗(yàn)測(cè)試中的一次破碎和二次破碎體積的對(duì)比驗(yàn)證，檢驗(yàn)該模型的正確性。

2 考慮損傷的破碎比功評(píng)價(jià)模型

破碎比功是用來衡量牙齒的破巖效果的，是破碎單位體積巖石所消耗的能量，它是巖石抗破碎能力大小的標(biāo)準(zhǔn)[9]。一般認(rèn)為，牙輪鉆頭正常鉆速下，牙齒破巖可近似認(rèn)為是靜態(tài)壓入[8]，因此，可根據(jù)牙齒靜壓入試驗(yàn)來評(píng)價(jià)齒形。具體作法是用靜壓入試驗(yàn)得到的牙齒垂直壓入時(shí)外載荷F 與牙齒侵入深度h 的函數(shù)關(guān)系 f(h)，計(jì)算出外力F 在牙齒壓入直至巖石破碎全過程做的功為W，測(cè)出破碎坑的體積V，然后計(jì)算破碎比功AV，即單位巖石破碎體積的破碎功，公式如下：

用AV作為牙齒破巖效率的定量評(píng)價(jià)依據(jù)，認(rèn)為 AV越大，破碎效率越低；AV越小，破碎效率越高[10－11]。

但上述破碎比功主要是針對(duì)一次鑿巖破碎效果的，而石油工程鉆井過程中巖石是被牙齒連續(xù)破碎的，這與僅用一次鑿巖效果去評(píng)價(jià)牙齒整個(gè)周期的鑿巖效率是有區(qū)別的。要想得到牙齒在連續(xù)鑿擊下的整體鑿巖效果，就應(yīng)當(dāng)考慮初次鑿擊產(chǎn)生的破碎區(qū)與未破碎損傷區(qū)的綜合影響。

針對(duì)實(shí)際問題的需要，應(yīng)當(dāng)研究一種新的破碎比功模型，這種模型應(yīng)當(dāng)具備兩個(gè)重要特征：①在破碎比功中應(yīng)當(dāng)計(jì)入未破碎但受到損傷的區(qū)域，該區(qū)域?qū)ρ例X第2 次鑿擊效果有重要影響；② 該模型不僅含有第1 次破碎的效果評(píng)價(jià)，還應(yīng)當(dāng)能夠?qū)ο乱淮纹扑榈男ЧM(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)。

2.1 基于損傷的破碎比功模型

巖石受到連續(xù)鑿擊可以看成前后兩次鑿擊的多次重復(fù)，因此，可以以兩次鑿擊作為基本的研究單元來建立新的破碎比功評(píng)價(jià)模型。由于牙齒破巖的高度非線性和一定的隨機(jī)性，因此，本文所提的破碎比功模型實(shí)際上包含試驗(yàn)和數(shù)值仿真兩個(gè)模型，這既能保證準(zhǔn)確性和適用性，又能降低試驗(yàn)成本和次數(shù)。

2.1.1 試驗(yàn)測(cè)試的破碎比功模型

式（1）是破巖破碎比功的原始表達(dá)式，根據(jù)上述分析，引入第2 次破碎之后，試驗(yàn)第1 次破碎比功可表達(dá)如下：

式中：W1為牙齒第1 次壓入的輸入功；V1為第1 次的破碎體積。

由于試驗(yàn)測(cè)試時(shí)載荷施加在同一牙齒上的，牙齒上受力面積S 是一樣的。由于力 F1與壓力 P1是線性關(guān)系（F1=P1S），為了簡化計(jì)算，上式可整理為

式中：H1為第1 次壓入深度。由于牙齒在第1 次破碎坑的基礎(chǔ)上作第2 次破碎，因此，第2 次破巖破碎比功（以下簡稱第2 次破碎比功）為牙齒在經(jīng)歷單次準(zhǔn)靜態(tài)壓入后，在同一損傷（或破碎）部位的再次壓入，其第2 次壓入的輸出功與該次造成的破碎體積之比。其表達(dá)式如下：

式中：P2、H2、V2分別為第2 次壓入的壓力、深度、體積。

兩次鑿擊是連續(xù)破巖的基本單元，因此，前后兩次破碎的總破碎比功（以下簡稱試驗(yàn)前兩次總破碎比功）是牙齒綜合破巖效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，是牙齒前后兩次壓入的總輸出功與其總破碎體積之間的比值，表達(dá)式為

2.1.2 基于損傷本構(gòu)的仿真破碎比功評(píng)價(jià)模型

試驗(yàn)無法判斷損傷區(qū)的破碎效果，也不能預(yù)測(cè)第1 次壓入后的后續(xù)破碎效果。當(dāng)建立了巖石的損傷本構(gòu)模型并將該模型編程嵌入ANSYS 求解器后，可以通過數(shù)值仿真來近似模擬多次壓入的試驗(yàn)。在此新的仿真試驗(yàn)條件下，結(jié)合連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)，提出了描述巖石連續(xù)破碎效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)——仿真總有效理論破碎比功，其表達(dá)為

式中：Pm為m 次壓入的壓力（MPa）；Hm為m 次壓入的壓入深度（mm）；VElem為圖1 中損傷單元的單元體積；D*為該損傷單元的損傷值；i為損傷單元的序號(hào)（Element Number），范圍從min～max，可由ANSYS 內(nèi)部提取函數(shù)獲得。

圖1 仿真一次破碎產(chǎn)生的潛在破碎區(qū)單元損傷云圖Fig.1 Potential damage contour of crushing area subject to the first impression by numerical simulation

式（6）對(duì)所有損傷巖石單元進(jìn)行體積求和，并采用損傷權(quán)重計(jì)入潛在破碎體積中。與試驗(yàn)破碎比功不同，該式輸入功不僅計(jì)入分母中的已破碎區(qū)，還包括了未破碎損傷區(qū)，這使得巖石的消耗功或能量更加接近外部輸入功。

基于上述理論分析，進(jìn)一步提出仿真牙齒壓入第1 次有效破碎比功（以下簡稱一次有效破碎比功）：

圖2 仿真第1 次破碎的破碎區(qū)單元損傷云圖Fig.2 Damage contour of crushing area subject to the first impression by numerical simulation

同理，可定義仿真牙齒第2 次壓入的有效破碎比功（以下簡稱第2 次有效破碎比功），可同樣用式（7）表示。

圖3 仿真第2 次破碎的破碎區(qū)單元損傷云圖Fig.3 Damage contour of crushing area subject to the second impression by numerical simulation

考慮巖石損傷軟化是由于微裂隙發(fā)展所導(dǎo)致的，許多學(xué)者都指出，巖石損傷變量是應(yīng)變的指數(shù)函數(shù)，并且損傷參量的變化應(yīng)當(dāng)與巖石初始狀態(tài)和損傷閥值有關(guān)?？梢远x損傷變量D 時(shí)，關(guān)于孔隙率變化的指數(shù)函數(shù)關(guān)系為

式中：φm為孔隙度變化的閥值。

將式（8）代入式（9）后則有

經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)損傷理論認(rèn)為

式中：σ為介質(zhì)主應(yīng)力；E為彈性模量；Dε為單元損傷量。

因此，式（11）可化簡為

以巖石受到的連續(xù)兩次鑿擊作為基本研究單元來建立新的破碎比功評(píng)價(jià)模型在試驗(yàn)和仿真中得到統(tǒng)一，結(jié)合起來即可對(duì)牙齒連續(xù)破巖效果進(jìn)行有效的預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià)。

3 自定義損傷本構(gòu)模型及二次開發(fā)

3.1 自定義損傷本構(gòu)模型

上述模型的基礎(chǔ)在于自定義損傷本構(gòu)模型并將其二次開發(fā)嵌入ANSYS 軟件中。蔡燦等[12]基于巖石內(nèi)部孔隙、裂隙與裂紋等變化建立了孔隙度變量演化函數(shù)。在加載過程中，巖石內(nèi)部孔隙、裂隙與微裂紋有些在變大，有些發(fā)生擴(kuò)展與貫通，還有些存在閉合（即巖石力學(xué)試驗(yàn)中的壓實(shí)現(xiàn)象）。尤其在壓縮階段的彈性變形初期，孔隙、裂隙與微裂紋的閉合影響十分顯著[13?14]。因此，引入孔隙度變化率系數(shù)K 和孔隙閉合參數(shù)δ 。

任意應(yīng)變時(shí)刻的孔隙度為

式中：ε1、ε2和 ε3分別為巖石微元三向主應(yīng)力；φ(ε)

考慮到巖石內(nèi)部壓縮和拉伸的不同破壞形式，將上述孔隙度、損傷分別定義，即拉伸孔隙度φt和拉伸損傷Dt；壓縮孔隙度φc與壓縮損傷Dc，并采用下式進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，加權(quán)因子計(jì)算式為

式中：tt為拉伸損傷的加權(quán)因子；cc為壓縮損傷加權(quán)因子。由于本文重點(diǎn)是巖石破碎比功評(píng)價(jià)模型，限于篇幅，此處對(duì)自定義損傷本構(gòu)不再贅述。

3.2 ANSYS 二次開發(fā)流程

ANSYS 公司為用戶提供的本構(gòu)模型二次開發(fā)接口可以解決自定義的材料本構(gòu)模型。限于篇幅，僅介紹二次開發(fā)本構(gòu)材料程序流程（見圖4）。利用巖石自定義損傷本構(gòu)模型程序進(jìn)行編譯鏈接，生成可執(zhí)行的ANSYS.EXE 求解器。使用上述求解器就可以使用自編損傷本構(gòu)模型進(jìn)行分析。

3.3 基于損傷的破碎比功模型數(shù)值試驗(yàn)方法

（1）有限元建模

根據(jù)江鉆公司提供的球形牙齒尺寸[14]，建立了球形齒的模型（如圖5 所示）。該牙齒半徑為7.18 mm，齒頂柱臺(tái)的傾角為20°，齒頂球半徑為4.72 mm，牙齒總高為21.44 mm。

圖4 損傷本構(gòu)二次開發(fā)的程序流程圖Fig.4 Flow chart of the secondly developed damage constitutive model

圖5 牙齒與巖石接觸模型的有限元建模Fig.5 Modeling of tooth-rock contact by finit element

巖石為砂巖，材料參數(shù)如表1 所示，輸入方式如圖6 所示。模型為90°圓柱體，直徑為180 mm，高度為50 mm。該巖石模型與牙齒模型相比足夠大，可以忽略邊界的影響。所有模型均為1/4 模型，以達(dá)到較好的精度和合理的計(jì)算機(jī)時(shí)。為了提高接觸區(qū)域的計(jì)算精度，對(duì)接觸區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格的細(xì)化分。

圖6 巖石自定義損傷本構(gòu)材料參數(shù)輸入Fig.6 Parameter import using the user-defined damage constitutive model

表1 巖石自定義本構(gòu)的力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanics parameters of user-defined constitutive model

4 新破碎比功模型的應(yīng)用研究

4.1 試驗(yàn)驗(yàn)證

西南石油大學(xué)鉆頭研究所楊迎新[15]和古劍飛[16]等設(shè)計(jì)了牙齒靜壓入試驗(yàn)（如圖7 所示），試驗(yàn)時(shí)將牙齒安裝在壓力傳感器的端頭，巖石表面垂直于牙齒軸線，用液壓緩慢加載。在此過程中，連續(xù)測(cè)量牙齒的載荷F 和侵入巖石的深度H 并且記錄，繪出它們的關(guān)系曲線，同時(shí)觀察壓入?yún)^(qū)域周圍巖石的變化，直至發(fā)生巖石的脆性破碎或體積破碎。中間中斷一次測(cè)試破碎體積V1，結(jié)束后再測(cè)試一次破碎體積(V1+V2)，詳細(xì)過程請(qǐng)參考文獻(xiàn) [17]。

在牙齒壓入巖石過程中測(cè)試：①第1 次體積破碎的門限值，測(cè)試載荷F 與位移h 的關(guān)系曲線和極限值。②對(duì)破碎坑進(jìn)行三維掃描或拍攝照片，測(cè)試巖石破碎的基本數(shù)據(jù)。

圖7 單齒靜壓入試驗(yàn)原理Fig.7 The work principle of a single-tooth impression

4.2 自定義損傷本構(gòu)程序的單齒壓入驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該損傷本構(gòu)可以應(yīng)用于破碎比功模型，有必要選用單齒單次壓入破碎進(jìn)行驗(yàn)證。該驗(yàn)證過程既可以驗(yàn)證模型正確性，又可分析單齒破碎機(jī)制。分析壓縮孔隙度分布（如圖8 所示）可知，在牙齒作用正下方的巖石孔隙度已經(jīng)達(dá)到了3.672，表明巖石已經(jīng)完全破碎，這與圖9 Hagan[18]在鈉玻璃的侵入試驗(yàn)結(jié)果一致。下方出現(xiàn)了孔隙度擴(kuò)展的兩個(gè)側(cè)方向，角度約為45°，與單齒靜壓巖石的試驗(yàn)現(xiàn)象十分吻合。

圖8 壓縮孔隙度云圖Fig.8 Contour of the compressed porosity

圖9 鈉玻璃受壓內(nèi)部裂紋擴(kuò)展圖Fig.9 Image of the crack development of a sodium glass

圖10 復(fù)合損傷參數(shù)分布云圖Fig.10 Contour of the combined damage parameter

分析復(fù)合損傷的分布（如圖10 所示）可知，巖石在接觸點(diǎn)下方的損傷值達(dá)到了1，已經(jīng)發(fā)生了破碎。但在破碎區(qū)的正下方，巖石孔隙度接近或者達(dá)到?1，說明此處巖石基本上被壓實(shí)，并且在壓實(shí)區(qū)有向兩側(cè)流動(dòng)的趨勢(shì)，形成了剪切角度，這與破碎坑的結(jié)構(gòu)（如圖11 所示）十分吻合。

圖11 壓入后的巖石破壞現(xiàn)象Fig.11 Rock crushing situation under impress

為了進(jìn)一步驗(yàn)證損傷本構(gòu)模型的的正確性，對(duì)該巖石內(nèi)部損傷與應(yīng)力進(jìn)行定量對(duì)比驗(yàn)證，采用鉆頭研究所前人試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比（如表2 所示）。

取該巖石表面沿徑向分布的節(jié)點(diǎn)，得到徑向的巖石孔隙度和損傷變化（如圖12、13 所示），它表明，在牙齒壓入內(nèi)側(cè)巖石孔隙度已經(jīng)超過1，達(dá)到了完全損傷。在約2 mm 處，巖石損傷呈壓實(shí)損傷，并且損傷沿徑向快速下降趨近于0。

圖12 徑向孔隙度變化Fig.12 Porosity change in the radial direction

通過上述單齒壓入破巖機(jī)制的分析，與試驗(yàn)及以往理論經(jīng)驗(yàn)的對(duì)比，從定量和定性角度均說明本文的損傷本構(gòu)是正確的，可以應(yīng)用于損傷的破碎比功研究中。

圖13 徑向復(fù)合損傷Fig.13 Composite damage in the radial direction

4.3 在單齒破巖效率分析和齒形評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

將上述損傷本構(gòu)模型結(jié)合本文提出的破碎比功模型，可應(yīng)用于牙齒齒形優(yōu)選或者牙齒破巖效果評(píng)價(jià)中去。通過一次破碎的試驗(yàn)校準(zhǔn)，就可以推算出牙齒后續(xù)二次破碎的效果，并且綜合評(píng)價(jià)牙齒連續(xù)破巖的效果。這不僅可大大減小試驗(yàn)次數(shù)，節(jié)約試驗(yàn)成本，也可以避免試驗(yàn)中人為因素產(chǎn)生的誤差。

首先分析牙齒的試驗(yàn)和仿真一次破碎比功規(guī)律（如圖14 所示）可以發(fā)現(xiàn)，隨著載荷的增大，破碎比功整體有下降趨勢(shì)。這種趨勢(shì)有兩個(gè)特點(diǎn)：①個(gè)別試驗(yàn)數(shù)據(jù)有一定的隨機(jī)性，可能大于也可能小于理論值；② 下降趨勢(shì)比較緩慢。由于仿真能夠排除破碎體積測(cè)試誤差，其與破碎比功變化趨勢(shì)相比試驗(yàn)更加規(guī)律。

圖14 試驗(yàn)與仿真的第1 次破碎比功對(duì)比Fig.14 Comparison of experimental and numerical results of the first crushing work ratio

對(duì)比第2 次試驗(yàn)破碎比功和仿真第2 次破碎比功（如圖15 所示），其整體隨載荷的增大也有緩慢下降趨勢(shì)。與第1 次破碎比功相比，第2 次破碎比功平均值僅為第1 次破碎比功平均值的1/5（18.62%）。這說明，在同一點(diǎn)的再次破碎會(huì)大大提高巖石的破碎效率，提高牙齒輸入功的轉(zhuǎn)化。這也間接說明，引入第2 次破碎比功去評(píng)價(jià)牙齒破巖效果對(duì)巖石破碎和牙齒優(yōu)選十分重要。

圖15 試驗(yàn)與仿真的第2 次破碎比功對(duì)比Fig.15 Comparison of experimental and numerical results of the second crushing work ratio

為了驗(yàn)證本文提出的仿真預(yù)測(cè)總破碎比功的有效性，有必要將前兩次壓入總的破碎比功與之對(duì)比。由于做第3、4 次乃至后續(xù)的壓入破碎試驗(yàn)誤差太大，所以本文只選取前兩次。通過前兩次總的破碎比功曲線，能夠發(fā)現(xiàn)破碎比功的整體變化趨勢(shì)。如果壓入的仿真預(yù)測(cè)總破碎比功趨勢(shì)與試驗(yàn)前兩次破碎比功一致，說明基于損傷本構(gòu)的仿真預(yù)測(cè)總破碎比功是有效的。

通過對(duì)比兩者的曲線可以發(fā)現(xiàn)（見圖16），隨著壓入載荷的增大，破碎比功的趨勢(shì)基本呈現(xiàn)一致變化，誤差分布有一定隨機(jī)性。圖17為仿真預(yù)測(cè)總破碎比功與試驗(yàn)測(cè)試的前兩次破碎比功對(duì)比，由于仿真預(yù)測(cè)總破碎比功的分母是所有損傷單元體積的加權(quán)求和，故該指標(biāo)的值比僅前兩次的破碎比功要小很多，約為后者的10%。此外隨著載荷的增大，兩者之間的誤差也越來越大，仿真模擬的破碎體積比實(shí)際破碎體積要偏小。

圖16 前兩次總破碎比功對(duì)比Fig.16 Comparison of experimental and numerical results of the first and the second total crushing work ratios

圖17 試驗(yàn)前兩次總破碎比功與仿真預(yù)測(cè)總破碎比功對(duì)比Fig.17 Comparison of total crushing work ratio of the first two experimental results and numerical predictions

由于試驗(yàn)中載荷從92～102 MPa 不等，破碎比功值差距并不大，因此，對(duì)比第1 次破碎比功、第2 次破碎比功和總的破碎比功對(duì)分析多次加載破碎巖石效果有一定意義。表3為各項(xiàng)破碎比功的平均值，根據(jù)該表結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，不論是試驗(yàn)或是仿真，第2 次破碎比功均比第1 次破碎比功下降70%～90%不等。由于第2 次破碎比功的大幅度下降，兩次總的破碎比功也大大降低。這說明在鉆頭破巖中，連續(xù)在同一破碎點(diǎn)或者已經(jīng)損傷的巖石部位再進(jìn)行加載，會(huì)大大提高破碎巖石的效率。通過對(duì)比該表也可以發(fā)現(xiàn)，雖然仿真與試驗(yàn)之間存在一定誤差，但整體平均值的誤差都在20%以下，這對(duì)非均質(zhì)的巖石材料來說精度已經(jīng)算比較高了。

表3 各破碎比功平均值的對(duì)比Table 3 Comparison of the average crushing work ratios

因此，通過建立損傷本構(gòu)模型，并結(jié)合ANSYS二次開發(fā)，建立基于損傷的牙齒破碎新評(píng)價(jià)模型是適用于牙齒齒形評(píng)價(jià)和巖石破碎效果評(píng)價(jià)的，可以代替較為繁瑣和不確定性的試驗(yàn)來綜合判斷牙齒的破碎比功。

5 結(jié) 論

（1）基于自定義損傷本構(gòu)的巖石破碎比功可以用于評(píng)價(jià)牙齒的二次及連續(xù)破碎效果的預(yù)測(cè)及評(píng)價(jià)，其中仿真總預(yù)測(cè)破碎比功還可以作為連續(xù)破碎效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

（2）隨著牙齒的壓入載荷增加，破碎比功會(huì)緩慢下降。它表明，當(dāng)載荷增大到一定后，繼續(xù)增大載荷并不會(huì)顯著提高破碎效果。

（3）第2 次破碎比功約為第1 次破碎比功的20%，說明一次破碎后的巖石損傷對(duì)巖石破碎影響十分顯著，在同一處的連續(xù)破碎將會(huì)大大減小牙齒的破碎效率，提高牙齒輸入功的轉(zhuǎn)化效率。

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