高階非線性Sasa-Satsuma方程的新精確單行波解分類

韓天勇,李 釗

(1.成都大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610106；2.成都理工大學(xué) 數(shù)學(xué)地質(zhì)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610059)

1 引言

非線性偏微分方程常用于描述很多自然現(xiàn)象中的演化過程[1-6].非線性Schr?dinger方程是一種描述發(fā)生在多種物理情況下的非線性偏微分方程，在數(shù)學(xué)、金融、生物、化學(xué)、等離子體、非線性光學(xué)、流體力學(xué)、凝聚態(tài)物質(zhì)、核物理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.另外，在皮秒范圍內(nèi)單模或單芯光纖中光孤子的傳播模型也可以使用非線性Schr?dinger方程描述[1-2,5].大量的實(shí)驗(yàn)證明光纖中存在孤立波，因而光纖中的孤立波問題受到大量學(xué)者的關(guān)注.孤立波理論在許多非線性模型中是必不可少的，尤其是光纖和其他應(yīng)用物理學(xué)科，可用于光纖數(shù)字信息傳輸研究.這些非線性偏微分方程的精確解[7-10]在非線性現(xiàn)象研究中是很重要的，尤其是尋找非線性偏微分方程精確行波解的分類是最重要的研究課題之一.

本文考慮如下的(3+1)維非線性Sasa-Satsuma (SS)方程[11-12]：

(1.1)

2 精確解

考慮如下行波變換

Ψ(x,y,z,t)=Φ(ξ)eiη,

(2.1)

其中ξ=c1x+c2y+c3z+c4t,η=d1x+d2y+d3z+d4t.

將方程 (2.1)代入 (1.1),分離其實(shí)部和虛部,則(3+1)維SS 方程約化為

b3Φ3+b1Φ+b5Φ''=0，

(2.2)

(b2Φ2+b4)Φ'+b6Φ'''=0，

(2.3)

對(duì)方程(2.3)關(guān)于ξ積分一次，可得：

(2.4)

比較方程(2.2)和方程(2.4)可得

令Φ'=φ,可得系統(tǒng)(2.2)的如下平面動(dòng)力系統(tǒng):

(2.5)

方程(2.5)對(duì)應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)可以表示成如下形式:

利用MAPLE繪制的系統(tǒng) (2.5)的相圖如圖1-4所示.

圖1 當(dāng)b2>0,e1>0時(shí)，系統(tǒng)(2.5)的相圖

方程(2.2)兩邊乘Φξ后積分可得：

圖2 當(dāng)b2>0,e1<0時(shí)，系統(tǒng)(2.5)的相圖

圖3 當(dāng)b2<0,e1<0時(shí)，系統(tǒng)(2.5)的相圖

圖4 當(dāng)b2<0,e1>0時(shí)，系統(tǒng)(2.5)的相圖

Φξ2=A4Φ4+A2Φ2+A0,

(2.6)

對(duì)方程(2.6)作如下變換：

方程(2.6)可以變形成如下形式：

(Vξ1)2=4V(V2+B1V+B0).

(2.7)

令F(V)=V2+B1V+B0，則方程(2.7)可以改寫為

(2.8)

情形1.Δ=0.方程(2.8)可以改寫成：

(2.9)

(1)如果B1>0，那么(2.9)的解為：

(2.10)

即

結(jié)合(2.8)、(2.10)，可以得到方程(1.1)的解為

(2)如果B1<0，那么(2.6)的解為：

因此

故

ei(d1x+d2y+d3z+d4t).

ei(d1x+d2y+d3z+d4t).

(3)如果B1=0，那么(2.6)的解為：

因此，

情形2.Δ>0，B0=0 .如果V>-B1可得：

(1)如果B1>0 ，那么

因此

即

ei(d1x+d2y+d3z+d4t),

ei(d1x+d2y+d3z+d4t).

(2)如果B1<0 ，那么

ei(d1x+d2y+d3z+d4t).

情形3.Δ>0，B0≠0 ，α1<α2<α3.這里α1,α2,α3中有一個(gè)等于0，而另外兩個(gè)是函數(shù)F(V) 的零點(diǎn).

(1)若α1

故

因此，

(2)若V>α3，考慮變量替換：

因此(1.1)有解，

因此系統(tǒng)(1.1)有解 ，

3 結(jié)論

高階(3+1)維非線性Sasa-Satsuma方程是一類廣義的Schr?dinger方程在三維空間里的推廣形式，它描述了光纖傳輸系統(tǒng)中超快脈沖傳輸中的三階色散、自陡峭和散射效應(yīng)。本文首先利用行波變換，將原方程變形成了一個(gè)非線性常微分方程，然后利用Hamilton系統(tǒng)，得到了方程的平面動(dòng)力系統(tǒng)，結(jié)合圖1-4給出了相圖. 隨后利用多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)給出了高階非線性Sasa-Satsuma方程行波解新的分類.這些行波解包括了Jacobi橢圓解、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)解. 這些結(jié)果顯示了光脈沖在具有自陡峭、非線性色散、散射等特征的非線性光纖中的各種傳播模式.