基于多項(xiàng)式正態(tài)變換和擬蒙特卡洛法的概率潮流計(jì)算

傅 明，童 超，單松興，皮香香，楊 柳

（1.南方電網(wǎng)電力科技股份有限公司，廣東 廣州 510000；2.國(guó)網(wǎng)江西省電力有限公司電力科學(xué)研究院，江西 南昌 330096；3.國(guó)網(wǎng)江西省電力有限公司樟樹市供電分公司，江西 樟樹331200；4.國(guó)網(wǎng)江西省電力有限公司高安市供電分公司，江西 高安 330800；5.南昌科晨電力試驗(yàn)研究有限公司，江西 南昌 330096）

0 引言

風(fēng)電出力具有強(qiáng)烈的波動(dòng)性和不確定性，大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)將給電網(wǎng)的安全運(yùn)行帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[1-2]。然而，確定性的潮流計(jì)算（Deterministic Power Flow，DPF）無法考慮風(fēng)電出力的概率不確定性。概率潮流計(jì)算（Probabilistic Power Flow，PPF）將電網(wǎng)中的隨機(jī)變量（如風(fēng)電出力、負(fù)荷等）逐組代入確定性潮流計(jì)算模型，以獲得潮流結(jié)果的矩信息、頻率直方圖和概率密度函數(shù)等，能夠全面揭示隨機(jī)變量對(duì)電網(wǎng)運(yùn)行的影響。因此，研究PPF計(jì)算極具現(xiàn)實(shí)意義。

建立精確的輸入隨機(jī)變量概率模型是保證概率潮流計(jì)算準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。電網(wǎng)中的隨機(jī)變量（如風(fēng)電出力、負(fù)荷等）受到氣象因素、地理環(huán)境等多種復(fù)雜因素影響，這些變量可能服從任意概率分布且分布間存在相關(guān)性[3]。然而，目前電網(wǎng)中隨機(jī)變量常假設(shè)為常規(guī)概率分布，例如負(fù)荷一般當(dāng)成正態(tài)分布[4-6]，風(fēng)速往往用Weibull分布來模擬[7-9]；同時(shí)，利用NATAF變換建立概率分布間的相關(guān)關(guān)系。在少量運(yùn)行場(chǎng)景中，上述建模方法可能具備一定的有效性。但實(shí)際電網(wǎng)中風(fēng)速和負(fù)荷并不一定服從常規(guī)分布，而極有可能服從不規(guī)則分布。那么，基于常規(guī)分布的概率模型將致使PPF產(chǎn)生巨大誤差。

多項(xiàng)式正態(tài)變換技術(shù)基于隨機(jī)變量的歷史數(shù)據(jù)建模，其具備處理隨機(jī)變量服從任意分布且分布間存在相關(guān)性的能力[9]。九階多項(xiàng)正態(tài)變換（Ninth-order Polynomial Normal Transformation，NPNT）能夠計(jì)及隨機(jī)變量前九階矩信息，其所建立的概率模型具備精度高和適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)[10]。因此，文中將NPNT引入PPF計(jì)算中，用其建立輸入概率模型。

建立輸入概率模型是PPF的第一步，第二步則是利用概率分析方法在DPF中傳遞概率信息，并獲取PPF結(jié)果。通常，PPF可以分為解析法、近似法和蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）[11-14]。解析法計(jì)算效率高，但計(jì)算精度難以令人滿意[15]。近似法能較好平衡PPF計(jì)算速度和精度之間的矛盾，但其無法直接獲得PPF結(jié)果的概率密度函數(shù)，導(dǎo)致難以對(duì)PPF計(jì)算結(jié)果深入分析[16]。MCS計(jì)算精確度高，但其極其耗時(shí)[14-16]。

擬蒙特卡羅方法（Quasi Monte Carlo，QMC）[10]不但能夠兼顧計(jì)算精度和計(jì)算速度，而且具備輸出PPF結(jié)果矩信息、頻率直方圖以及概率密度函數(shù)的能力。因此，文中將NPNT與QMC相結(jié)合，提出一種基于NPNT和QMC的概率潮流算法。該方法直接利用電網(wǎng)中隨機(jī)變量（如風(fēng)電出力）的歷史數(shù)據(jù)建立概率模型，不依賴于任何人工經(jīng)驗(yàn)及假設(shè)，進(jìn)而精準(zhǔn)模擬隨機(jī)變量服從任意分布且分布間存在相關(guān)性的場(chǎng)景。通過與QMC相結(jié)合，所提概率潮流算法能夠平衡好概率潮流計(jì)算速度和計(jì)算精度之間的矛盾，具有良好的工程實(shí)用價(jià)值。

1 概率潮流計(jì)算模型

DPF模型可以看成一個(gè)多輸入多輸出的隱函數(shù)：

式中：PG表示傳統(tǒng)電源的出力；PRG表示風(fēng)電出力；PLG表示負(fù)荷的值；Z表示系統(tǒng)的拓?fù)鋮?shù)；V和δ表示系統(tǒng)的電壓和功角；Pline代表線路潮流。

在DPF模型中將負(fù)荷和風(fēng)電出力看成是確定性的數(shù)值，顯然這無法全面反應(yīng)風(fēng)電和負(fù)荷的隨機(jī)性對(duì)電網(wǎng)的影響。如果風(fēng)電、負(fù)荷等輸入變量當(dāng)成是隨機(jī)變量，那么該問題就變成概率潮流計(jì)算問題。

2 九階多項(xiàng)式正態(tài)變換技術(shù)

隨機(jī)變量（如風(fēng)速、負(fù)荷等）受到多種因素影響，其可能不服從常規(guī)概率分布。同時(shí)，相鄰地區(qū)隨機(jī)變量間的相關(guān)性也不能忽視。因此，文中將引入NPNT技術(shù)處理上述問題。

2.1 NPNT中多項(xiàng)式系數(shù)的估計(jì)

多項(xiàng)式正態(tài)變換的核心思想是利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的多項(xiàng)式運(yùn)算模擬服從任意分布的隨機(jī)變量。九階多項(xiàng)式可以表示為[10]：

式中：x0表示實(shí)際電網(wǎng)中的連續(xù)型隨機(jī)變量（如風(fēng)速）；μx和σx分別表示輸入隨機(jī)變量x0的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；x表示經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的隨機(jī)變量；z表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量；ak（k=0、1、2、…、9）為待評(píng)估的多項(xiàng)式系數(shù)。若能夠計(jì)算出ak（k=0、1、2、…、9），那么就能通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模擬服從任意分布的隨機(jī)變量。

數(shù)據(jù)矩通常被用于表征數(shù)據(jù)的概率特征，可以通過計(jì)算變量歷史數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)矩估計(jì)出多項(xiàng)式系數(shù)。文中采用概率權(quán)重矩刻畫電網(wǎng)中歷史數(shù)據(jù)的概率特征，其計(jì)算方法如下[17]：對(duì)隨機(jī)變量歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行大小排序x1≤xi≤xn，進(jìn)而可以推出概率權(quán)重矩計(jì)算公式。

基于公式（4）和（5）可以求出九階多項(xiàng)式的系數(shù)。

式中：Φ(z)和φ(z)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。…、9）表示常數(shù)值，其可以由數(shù)值積分求得。注意，公式（5）是一個(gè)線性化的公式，因此九階多項(xiàng)式的系數(shù)能夠快速求得。

2.2 相關(guān)系數(shù)的估計(jì)

電網(wǎng)中相鄰地區(qū)的隨機(jī)變量之間具有一定的相關(guān)性，例如相鄰風(fēng)電場(chǎng)出力具有相關(guān)性。因此，概率模型不但要考慮電網(wǎng)中隨機(jī)源的不確定性，也必須考慮隨機(jī)源之間的相關(guān)性。假設(shè)x1、x2是兩個(gè)服從任意分布且經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量，那么其可以表示為

隨機(jī)變量z1、z2（服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）之間的相關(guān)系數(shù)ρz與隨機(jī)變量x1、x2（服從任意分布）之間的相關(guān)系數(shù)ρx的函數(shù)關(guān)系可以表示為：

式中：μ1、μ2和σ1、σ2分別表示x1、x2的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。表示關(guān)于ρz的多項(xiàng)式，詳細(xì)公式見文獻(xiàn)[10]。

一般地，能通過歷史數(shù)據(jù)估計(jì)出隨機(jī)變量x1、x2之間的相關(guān)系數(shù)ρx，那么采用二分法能夠由公式（7）求得隨機(jī)變量z1、z2之間的相關(guān)系數(shù)ρz。

3 擬蒙特卡洛法

基于NPNT建立輸入概率模型是概率潮流計(jì)算的第一步，第二步則是利用概率分析方法在確定性潮流計(jì)算模型中傳遞概率信息，以獲得電網(wǎng)概率分析結(jié)果。

Halton序列是擬蒙特卡洛法中最常用的低差異序列，其生成的隨機(jī)樣本點(diǎn)能夠更加均勻地覆蓋隨機(jī)空間。相比蒙特卡洛仿真法，QMC能夠以更少的樣本點(diǎn)獲取更多的概率信息，進(jìn)而極大地提高概率潮流分析的效率。Halton序列的生成方法如下[10]：

設(shè)R為任意質(zhì)數(shù)，則任意自然數(shù)s都存在唯一的R進(jìn)制表示：

式中：對(duì)于任意整數(shù)s>0，ψR(shí)(s)∈[0,1]。

那么，{ }ψR(shí)1(s),ψR(shí)2(s),ψR(shí)3(s),…,ψR(shí)n(s)就 是Haltom序列，其中n表示數(shù)列的維數(shù)?；贖altom序列能夠在均勻分布或者標(biāo)準(zhǔn)高斯分布上生成樣本點(diǎn)集。

4 概率潮流計(jì)算的步驟

基于NPNT和QMC的概率潮流算法計(jì)算步驟如下：

步驟1：收集電網(wǎng)中隨機(jī)變量（風(fēng)電出力、負(fù)荷等）的歷史數(shù)據(jù)；

步驟2：估計(jì)出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)，并利用九階多項(xiàng)式表示隨機(jī)變量

步驟3：計(jì)算電網(wǎng)中隨機(jī)變量歷史數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣，并定義為

步驟4：計(jì)算原始隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間的相關(guān)系數(shù)矩陣

步驟5：利用QMC法生成n_sample組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)，其中n_sample表示電網(wǎng)中隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)；

步驟6：基于QMC生成的隨機(jī)數(shù)生成相關(guān)系數(shù)為RZ的多維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量矩陣Z；

步驟7：將含相關(guān)性的多維正態(tài)分布變量Z代入對(duì)應(yīng)的九階多項(xiàng)式以獲得具有相關(guān)性且標(biāo)準(zhǔn)化的任意分布隨機(jī)變量；

步驟8：將標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)去標(biāo)準(zhǔn)化，即得到具有相關(guān)性且服從任意分布的隨機(jī)變量；

步驟9：將上述變量逐組輸入確定性的潮流計(jì)算模型，并反復(fù)進(jìn)行潮流計(jì)算；

步驟10：輸出概率潮流計(jì)算結(jié)果，包括電網(wǎng)電壓、功角以及支路潮流的矩信息、頻率直方圖和概率密度函數(shù)等。

基于NPNT和QMC的概率潮流算法的優(yōu)勢(shì)有：第一，NPNT直接基于歷史數(shù)據(jù)建立概率模型，能夠避免人工經(jīng)驗(yàn)的主觀性對(duì)建模準(zhǔn)確度的影響，所建立的概率模型更加貼合實(shí)際；第二，NPNT能夠獲取變量歷史數(shù)據(jù)的前九階矩信息，其能夠精準(zhǔn)模擬隨機(jī)變量的概率特征；第三，QMC算法在保證計(jì)算精度的前提下，能夠大幅提升概率潮流的計(jì)算效率；第四，所提算法能夠輸出計(jì)算結(jié)果的矩信息、頻率直方圖等，方便電網(wǎng)規(guī)劃運(yùn)行人員全面準(zhǔn)確地識(shí)別電網(wǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

5 仿真測(cè)試

應(yīng)用IEEE118節(jié)點(diǎn)[17]系統(tǒng)驗(yàn)證文中所提概率潮流算法的有效性。七個(gè)風(fēng)電場(chǎng)（包括WF1、WF2、WF3、WF4、WF5、WF6和WF7）通過母線35、36、43、44、45、46和90接入系統(tǒng)。測(cè)試系統(tǒng)中風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速數(shù)據(jù)來源于風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)記錄[18]。假設(shè)風(fēng)電場(chǎng)WF1、WF2、WF3、WF4、WF5、WF6、WF7風(fēng)速之間的相關(guān)系數(shù)0.3。

5.1 NPNT有效性評(píng)估

采用頻率直方圖相似度指標(biāo)（Frequency Histogram Similarity Index，F(xiàn)HSI）衡量?jī)蓚€(gè)頻率直方圖的重疊程度[18]，其定義為：

表1中給出了由NPNT、Gaussian和Weibull分布所得到頻率直方圖相似度指標(biāo)FHSI。Gaussian和Weibull分布的FHSI的平均值分別為78.45%和82.85%。NPNT的FHSI的平均值為93.92%。事實(shí)上，NPNT的大部分FHSI指標(biāo)均高于93.5%。這說明，基于NPNT的概率建模方法是準(zhǔn)確的。因此，在概率潮流分析中NPNT將用于建立輸入概率模型。

表1 NPNT、Gaussian、Weibull分布的FHSI值 %

5.2 概率潮流算法性能評(píng)估

為了驗(yàn)證文中所提概率潮流算法的有效性，運(yùn)用基于NPNT的MCS仿真法作為參考結(jié)果，其在輸入概率模型中選取50 000個(gè)樣本點(diǎn)。為了說明不準(zhǔn)確的概率建模將影響概率潮流計(jì)算結(jié)果，利用Weibull分布直接擬合風(fēng)速數(shù)據(jù)、運(yùn)用Gaussian分布擬合負(fù)荷數(shù)據(jù)，同時(shí)基于QMC法進(jìn)行概率信息傳遞組成一種新的概率潮流算法。因此，將有如下算法參與計(jì)算，并進(jìn)行性能對(duì)比：

1）參考算法：將NPNT和MCS仿真法相結(jié)合的概率潮流算法，簡(jiǎn)稱NPNT-MCS；

2）文中所提算法：基于NPNT和QMC的概率潮流算法，簡(jiǎn)稱NPNT-QMC；

3）對(duì)比方法：基于常規(guī)分布（Common Distributions）和QMC仿真法組成的概率潮流算法，簡(jiǎn)稱CDQMC。

表2和表3給出了交流系統(tǒng)電壓均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差。文中所提算法交流電壓均值的相對(duì)誤差均小于0.7%，電壓標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差均小于2.5%，具有良好的計(jì)算精度。上述計(jì)算結(jié)果充分說明了文中所提算法的有效性。

表2 交流母線電壓均值相對(duì)誤差 %

表3 交流母線電壓標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差 %

表4給出了參考算法、NPNT-QMC和CD-QMC的計(jì)算時(shí)間分別為11 132.75 s、100.26 s、99.06 s。與參考算法對(duì)比，文中所提算法能夠極大地降低概率潮流分析的計(jì)算負(fù)擔(dān)，同時(shí)保持令人滿意的計(jì)算精度。與對(duì)比算法CD-QMC相比，概率潮流分析所需時(shí)間相近，但是文中所提算法能夠極大地提高概率分析精度。因此，文中所提算法能夠在概率潮流計(jì)算速度和計(jì)算精度中達(dá)到較好地平衡。

表4 計(jì)算時(shí)間對(duì)比

6 結(jié)語

針對(duì)現(xiàn)有大多概率潮流算法假設(shè)電網(wǎng)中隨機(jī)變量為常規(guī)概率分布的問題，文中提出了一種基于NPNT和QMC的概率潮流算法。該算法不但能夠處理電網(wǎng)中隨機(jī)變量服從任意分布且分布間存在相關(guān)性的問題，而且能夠較好地平衡好概率潮流分析中計(jì)算速度和精度之間的矛盾。此外，所提算法能夠獲得概率潮流計(jì)算結(jié)果的矩信息、頻率直方圖和PDF信息，以便電網(wǎng)運(yùn)行規(guī)劃人員深入分析計(jì)算結(jié)果。