基于alpha 穩(wěn)定分布的脈沖噪聲模擬方法研究*

李召瑞，陳博航，吳曉蓓，郭寶鋒

（1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094；2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，石家莊 050003）

0 引言

無線通信是指揮控制裝備的主要通信方式，無線信號(hào)在通信中會(huì)受到各種噪聲的干擾，從而影響信號(hào)傳輸效果和質(zhì)量，所以噪聲環(huán)境的模擬對(duì)無線通信系統(tǒng)的性能評(píng)估非常重要。如何在實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生與無線通信系統(tǒng)實(shí)際工作環(huán)境匹配的噪聲，是通信效能評(píng)估領(lǐng)域的熱點(diǎn)。

戰(zhàn)場范圍內(nèi)，噪聲源多樣，空間位置多變，傳播信道不確定，影響通信背景噪聲的因素非常復(fù)雜。高斯分布滿足中心極限定理，一階矩、二階矩有限，易于進(jìn)行特性分析、參數(shù)估計(jì)和濾波等處理運(yùn)算，故傳統(tǒng)通信信號(hào)處理領(lǐng)域多用高斯分布作為噪聲模型。但是大量研究發(fā)現(xiàn)，高斯分布并不適合描述可能產(chǎn)生大量數(shù)據(jù)突變，也就是脈沖性很強(qiáng)的噪聲條件，在一些場景中采用高斯分布對(duì)噪聲建模會(huì)出現(xiàn)很大的誤差，導(dǎo)致噪聲模型失配，造成信號(hào)處理算法性能下降，甚至失效。在中國多地、北極、澳大利亞等地的背景噪聲測量結(jié)果表明，整個(gè)噪聲體系中，由于大量電氣化設(shè)施、用頻設(shè)備的使用，人為的窄帶信號(hào)干擾和脈沖噪聲已經(jīng)占據(jù)主導(dǎo)地位。在戰(zhàn)場電磁環(huán)境中，特別是短波超短波頻段，包含各種隨機(jī)通信產(chǎn)生的數(shù)字脈沖、戰(zhàn)場雷達(dá)雜波信號(hào)、電子對(duì)抗裝備干擾信號(hào)和工業(yè)輻射干擾信號(hào)等成分，恰恰是隨機(jī)脈沖性很強(qiáng)的噪聲，這樣的噪聲一般被歸屬為非高斯噪聲類別。非高斯噪聲指的是不服從高斯分布的噪聲，其特征表現(xiàn)為頻繁出現(xiàn)大幅度尖峰類異常值，對(duì)于這種呈現(xiàn)短時(shí)隨機(jī)沖擊特性的噪聲，一般統(tǒng)稱為脈沖噪聲。非高斯脈沖噪聲在很多自然和人為噪聲環(huán)境中廣泛存在，如大氣噪聲、水聲噪聲、電話線路噪聲、無線通信中的干擾、雷達(dá)雜波等。

既定噪聲下信號(hào)處理的一般研究思路是：建立噪聲的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)，從而獲得噪聲特性描述，根據(jù)噪聲特性開發(fā)信號(hào)處理算法。當(dāng)前描述噪聲的模型主要包括兩類，即統(tǒng)計(jì)物理模型和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。統(tǒng)計(jì)物理模型從真實(shí)物理信號(hào)出發(fā)，需要通過綜合考慮噪聲源在空間中分布位置、噪聲源發(fā)射信號(hào)的波形特征、噪聲信號(hào)在物理信道中的傳播特性等因素生成，由于戰(zhàn)場環(huán)境下噪聲源類型多、信號(hào)發(fā)射隨機(jī)性強(qiáng)、地形地貌復(fù)雜、傳播特性多變，建立物理模型復(fù)雜度太高，所以這種方法用的比較少。數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣t不考慮噪聲產(chǎn)生、傳輸、處理的物理機(jī)理，直接選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，依據(jù)現(xiàn)地觀測噪聲對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，擬合其實(shí)際物理特性。目前，常用的非高斯脈沖噪聲的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭饕? 種：高斯混合、t 分布、廣義高斯和α 穩(wěn)定分布。其中，α 穩(wěn)定分布是一種典型的厚尾分布，在上述脈沖噪聲的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，?穩(wěn)定分布模型應(yīng)用最廣泛。

α 穩(wěn)定分布的重要特點(diǎn)是概率分布上的穩(wěn)定性和概率密度函數(shù)（probability density function，PDF）具有厚重拖尾，其分布特性可以匹配物理、化學(xué)、生物等學(xué)科的多種現(xiàn)象和變化，作為數(shù)學(xué)模型得到了廣泛應(yīng)用。α 穩(wěn)定分布最早由Levy 在1925 年提出，丹麥物理學(xué)家Holtsmark 將其用于描述星際間引力場的隨機(jī)波動(dòng)，并且還估計(jì)出對(duì)應(yīng)的特征參數(shù)α 為1.5。1993 年，Shao 和Nikias 將分?jǐn)?shù)階微積分理論與α 穩(wěn)定分布結(jié)合起來，推進(jìn)了基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理理論的發(fā)展。在噪聲擬合方面，α 穩(wěn)定分布不僅被成功用于大氣噪聲、電話電流噪聲的建模，在其他脈沖噪聲場景中也獲得了廣泛應(yīng)用，例如：水下聲學(xué)噪聲、雷達(dá)雜波、電力線通信信道脈沖噪聲和無線網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)干擾等。利用α 穩(wěn)定分布模型進(jìn)行噪聲建模的優(yōu)勢(shì)在于：模型數(shù)學(xué)定義完善，特征函數(shù)可解析表達(dá)、形式簡潔，便于進(jìn)行理論分析，與統(tǒng)計(jì)物理模型具有緊密的聯(lián)系。

本文以α 穩(wěn)定分布作為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，介紹其性質(zhì)，通過分析其概率分布，確定其與脈沖噪聲的匹配性，研究了α 穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)方法和隨機(jī)數(shù)生成方法，以及參數(shù)估計(jì)精度驗(yàn)證方法。依據(jù)雷達(dá)、通信裝備固定工作場景的采集數(shù)據(jù)，對(duì)擬合的α 穩(wěn)定分布參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，確定了參數(shù)范圍，為既定噪聲條件下通信系統(tǒng)性能度量奠定基礎(chǔ)，形成了真實(shí)性更強(qiáng)的環(huán)境噪聲模擬方法與手段。

1 α 穩(wěn)定分布模型

1.1 定義

首先介紹穩(wěn)定分布定義：假設(shè)X、X是隨機(jī)變量X 的獨(dú)立樣本，若對(duì)于任何正數(shù)A、B，都存在正數(shù)C 和實(shí)數(shù)D 滿足

α 穩(wěn)定分布的定義為：針對(duì)上述穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量X，如果存在一個(gè)數(shù)α∈（0，2］，使?jié)M足式（1）的A、B、C 滿足

那么稱X 符合α 穩(wěn)定分布。α 穩(wěn)定分布通常沒有封閉的概率密度函數(shù)解析式，但是存在統(tǒng)一的特征函數(shù)表達(dá)式：

其中，α 為特征指數(shù)，取值范圍是0＜α≤2，特征指數(shù)α 決定了穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的脈沖程度，α 值越小，脈沖性越強(qiáng)，也就是大幅值突變脈沖出現(xiàn)的概率越高，在概率密度分布上表現(xiàn)為拖尾越厚；α 值越接近2，脈沖性越弱，越接近高斯分布，當(dāng)α=2 時(shí)，α 穩(wěn)定分布退化為高斯分布。所以說，α 穩(wěn)定分布是高斯分布的廣義化形式，高斯分布是α 穩(wěn)定分布的一個(gè)特例。

β 為偏斜指數(shù)，取值范圍是-1≤β≤1，該參數(shù)決定了α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的偏斜程度。當(dāng)β=0 時(shí)，α 穩(wěn)定分布是對(duì)稱α 穩(wěn)定分布（symmetric α stable，SαS），β＞0 和β＜0 時(shí)，分別表示分布是左偏斜分布和右偏斜分布，數(shù)值大小表征了偏斜程度。

γ 為分散系數(shù)，取值范圍是0＜γ＜+∞，該參數(shù)用以描述隨機(jī)變量偏離均值或者中值的程度，其含義和高斯分布中的方差類似。高斯分布情況下，它的值等于方差的一半，即2γ=σ。

μ 為位置參數(shù)，用于描述α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)的絕對(duì)位置。對(duì)于SαS 分布，當(dāng)1＜α≤2 時(shí)，μ與α 穩(wěn)定分布的均值相等；當(dāng)0＜α＜1 時(shí)，μ 與α 穩(wěn)定分布的中值相等。

當(dāng)μ=0，γ=1 時(shí)，α 穩(wěn)定分布稱為標(biāo)準(zhǔn)α 穩(wěn)定分布；當(dāng)α=2，β=0，γ=1/2σ時(shí)，分布為高斯分布；當(dāng)α=1，β=0 時(shí)，分布為柯西分布。

1.2 α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)

相對(duì)于時(shí)域波形，概率密度函數(shù)能夠更加直觀地展示數(shù)據(jù)的分布特性，α 穩(wěn)定分布的概率密度只有特殊情況下才能有解析的表達(dá)式，很多情況下只能通過數(shù)值方法來求取。Fourier 逆變換法和漸進(jìn)級(jí)數(shù)展開法可以獲取既定條件下分布的概率密度。

1.2.1 Fourier 逆變換法

當(dāng)μ=0，γ=1 時(shí)，α 穩(wěn)定分布為標(biāo)準(zhǔn)α 穩(wěn)定分布，通過對(duì)特征函數(shù)進(jìn)行Fourier 逆變換，可得到其概率密度表達(dá)式

μ、γ 不滿足標(biāo)準(zhǔn)α 穩(wěn)定分布條件時(shí)，只有高斯分布、柯西分布、Levy 分布幾種情況存在封閉的表達(dá)式。

1.2.2 漸進(jìn)級(jí)數(shù)展開法

標(biāo)準(zhǔn)α 穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式可以獲得，并且級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂的。函數(shù)表達(dá)式為

此處給出的α 穩(wěn)定分布概率密度函數(shù)限制條件較多，多為固定條件下的分布，但是在研究α 穩(wěn)定分布下的信號(hào)處理問題時(shí)，這些特例都非常具有代表性。除上述集中特例外，α 穩(wěn)定分布只可以用數(shù)值方法得到概率密度曲線。圖1 為不同α 取值下的對(duì)稱α 穩(wěn)定分布的概率密度曲線，當(dāng)α 取值趨近于2 時(shí)，其輸出信號(hào)被局限在一定幅度，α 取值越小，概率密度曲線出現(xiàn)越來越厚的拖尾，表示幅度異常值越來越多，且幅值越來越大。

圖1 不同α 值下概率密度曲線

綜上所述，α 穩(wěn)定分布模型存在穩(wěn)定的概率分布，且便于模擬異常值多、異常幅值高的脈沖性噪聲，所以本文選擇α 穩(wěn)定分布模型對(duì)戰(zhàn)場脈沖型噪聲環(huán)境進(jìn)行模擬。

2 α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)的生成

α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)的生成是一種噪聲模擬實(shí)現(xiàn)方法，本文研究的一個(gè)主要內(nèi)容就是α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)生成方法?；贘anicki-Weron（JW）算法可得到穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)。當(dāng)α≠1 時(shí)，應(yīng)用下式

圖2 β=0，γ=0.5，μ=0 時(shí)，不同α 值時(shí)生成的α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)時(shí)域圖

3 α 穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)

在進(jìn)行通信信號(hào)處理的相關(guān)算法研究時(shí)，可以用α 穩(wěn)定分布模型產(chǎn)生所需的噪聲數(shù)據(jù)，但是α 穩(wěn)定分布的參數(shù)選取不同，產(chǎn)生的噪聲數(shù)據(jù)差異非常大。為提高模擬噪聲的針對(duì)性、真實(shí)性，需要用α 穩(wěn)定分布模型去匹配真實(shí)戰(zhàn)場環(huán)境的噪聲分布，這涉及到了噪聲模型參數(shù)估計(jì)的問題。解決問題的思路是，針對(duì)特定場景采集到的噪聲信號(hào)，首先進(jìn)行非高斯性判定，確定采集的環(huán)境噪聲是否為非高斯脈沖性噪聲；然后依據(jù)實(shí)采數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，確定參數(shù)的取值范圍，后期實(shí)驗(yàn)即可依據(jù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行噪聲模擬，以此增強(qiáng)噪聲的真實(shí)性。噪聲對(duì)稱與否，參數(shù)估計(jì)的算法不同，所以參數(shù)估計(jì)前還需要通過正、負(fù)數(shù)值統(tǒng)計(jì)進(jìn)行對(duì)稱性判定。本文主要以對(duì)稱α 穩(wěn)定分布為例開展研究，即β=0；μ 是噪聲概率密度函數(shù)的位置參數(shù)，僅表征左右平移特性，對(duì)噪聲性質(zhì)沒有影響，所以下文主要研究α、γ 的估計(jì)方法。

3.1 分?jǐn)?shù)階矩法參數(shù)估計(jì)

隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)矩包含豐富的信號(hào)特征，高斯分布的統(tǒng)計(jì)矩可以從零階一直計(jì)算到無窮階，一階矩、二階矩可用來分析服從高斯分布的信號(hào)。但α穩(wěn)定分布由于存在大量脈沖值，不存在有限的方差，高階統(tǒng)計(jì)矩更是不存在，分?jǐn)?shù)低階矩理論（fractional low order moment，F(xiàn)LOM）為α 穩(wěn)定分布的參數(shù)估計(jì)提供了有效的分析方法，本文主要采用分?jǐn)?shù)階矩法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。針對(duì)脈沖型噪聲的參數(shù)估計(jì)，本文先通過時(shí)域統(tǒng)計(jì)法，選取對(duì)稱型噪聲，基于對(duì)稱α 穩(wěn)定分布模型實(shí)現(xiàn)噪聲的參數(shù)估計(jì)。

3.1.1 對(duì)稱α 穩(wěn)定分布分?jǐn)?shù)低階矩定義

式（9）中，γ 是分散系數(shù)，滿足γ=σ，C（p，α）是參數(shù)p和α 的函數(shù)，與X 無關(guān)。1995 年，Ma 和Nikias 提出了分?jǐn)?shù)負(fù)階矩的定義，可表示為

3.1.2 分?jǐn)?shù)階矩法參數(shù)估計(jì)

變換可得到參數(shù)α 的估計(jì)式

針對(duì)已知樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，有

3.2 參數(shù)估計(jì)精度驗(yàn)證

針對(duì)參數(shù)估計(jì)的可信度問題，以已知的α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)作為對(duì)象，利用分?jǐn)?shù)階矩法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，分析參數(shù)p、樣本點(diǎn)數(shù)目、α 取值不同對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，比較參數(shù)估計(jì)值與理論值的差異，達(dá)到評(píng)估參數(shù)估計(jì)精度的目標(biāo)。本節(jié)以對(duì)稱α 穩(wěn)定分布模型α 值的估計(jì)為例進(jìn)行分析，斜α 穩(wěn)定分布的評(píng)估方法與此類同。

3.2.1 參數(shù)p 取值對(duì)α 估計(jì)值的影響分析

p 取值不同，會(huì)影響α 值的估計(jì)精度，在p 取不同值的條件下對(duì)α 進(jìn)行估計(jì)，分析得到在不同條件下p 的最優(yōu)取值范圍。應(yīng)用JW 方法，生成α=0.8，β=0，γ=1，μ=0 的穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)，樣本點(diǎn)取10 000個(gè)，分別在p 取不同值的條件下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可多次估計(jì)取均值，結(jié)果如圖3 所示。

圖3 p 取不同值對(duì)α 值估計(jì)的偏差

由圖3 可以看到，p 值越小，估計(jì)值精度越高，當(dāng)取值大于0.4 后，估計(jì)值偏差明顯增大，與理論分析結(jié)果相符，所以，p 的最佳取值范圍為0～min（α/2，1），并盡量取較小值。

3.2.2 樣本點(diǎn)數(shù)目對(duì)參數(shù)估計(jì)值的影響分析

同樣應(yīng)用JW 方法，生成α=0.8，β=0，γ=1，μ=0的穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)，改變樣本點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 不同樣本點(diǎn)數(shù)對(duì)α 值估計(jì)的偏差

由圖4 可以看到，樣本點(diǎn)越多，估計(jì)精度也越高，符合一般規(guī)律。但是隨著樣本點(diǎn)增多，計(jì)算量也會(huì)加大，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，取樣本點(diǎn)為5 000 以上，此時(shí)參數(shù)估計(jì)誤差較小。

3.2.3 α 取值對(duì)參數(shù)估計(jì)值的影響分析

α 取不同的值，對(duì)其本身的估計(jì)結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生影響。應(yīng)用JW 方法，生成β=0，γ=1，μ=0 的穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可多次估計(jì)取均值，結(jié)果如圖5 所示。

圖5 不同α 取值下α 值估計(jì)偏差分析

由圖5 可知，隨著α 增大，參數(shù)估計(jì)的誤差也越大。得到α 的估計(jì)值后，根據(jù)式（16）即可計(jì)算出γ 的估計(jì)值，篇幅所限，本文不再詳細(xì)闡述。分析可得：p取值越小，γ 的估計(jì)值越準(zhǔn)確，樣本點(diǎn)越多，估計(jì)精度也越高，γ 值越大，估計(jì)值與實(shí)際值的偏差越大。

3.3 基于實(shí)采數(shù)據(jù)的模型參數(shù)估計(jì)

3.3.1 環(huán)境構(gòu)建

本次采集環(huán)境使用的裝備包括3 輛指揮車、1部中低空目標(biāo)指示雷達(dá)、1 部戰(zhàn)場活動(dòng)目標(biāo)偵察雷達(dá)，以及短波超短波電臺(tái)若干。應(yīng)用RFBOX-6G 型射頻信號(hào)采集記錄回放儀作為采集設(shè)備，針對(duì)超短波波段，采樣帶寬設(shè)為100 MHz～500 MHz，采樣率為240 MSPS～1 000 MSPS，進(jìn)行了長達(dá)1 h 的數(shù)據(jù)采集。采集場景如圖6 所示。

圖6 戰(zhàn)場環(huán)境數(shù)據(jù)采集場景圖

3.3.2 采集結(jié)果分析

針對(duì)裝備關(guān)機(jī)、電臺(tái)開機(jī)、雷達(dá)開機(jī)、電臺(tái)發(fā)射、雷達(dá)發(fā)射等裝備不同工作模式采集環(huán)境噪聲數(shù)據(jù)，進(jìn)行記錄并存儲(chǔ)。數(shù)據(jù)采集結(jié)果示例如下頁圖7 所示。

圖7 數(shù)據(jù)采集結(jié)果示例

針對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，為保證隨機(jī)性，主要采用從30 min 的采集數(shù)據(jù)中序列截取的方式，綜合考慮數(shù)據(jù)特征抓取與計(jì)算量的平衡，令截取數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N=100 000。分別進(jìn)行50 次和500 次估計(jì)，結(jié)果如圖8、圖9 所示。

圖8 50 次實(shí)驗(yàn)參數(shù)α 估計(jì)結(jié)果

圖9 500 次實(shí)驗(yàn)參數(shù)α 估計(jì)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，由于用頻設(shè)備的信號(hào)發(fā)射是在以min 為尺度情況下實(shí)施的，大部分時(shí)間是沒有發(fā)射信號(hào)的，所以很多情況下，α 的取值多在接近2 的較大值范圍內(nèi)，得到的α 值在1.88～1.98 之間，如圖8 所示。圖9 選取有輻射信號(hào)情況下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可明顯看到脈沖性特征，但是，即使在近距離大功率的條件下，參數(shù)α 估計(jì)值也很難低于1.5，所以后面針對(duì)α 穩(wěn)定分布噪聲下通信系統(tǒng)性能研究，以主要針對(duì)α＞1.5 的情況開展為宜。γ 值的估計(jì)與采集點(diǎn)位置、輻射源類型等密切相關(guān)，本文估計(jì)值多在0.3～0.8 之間，能夠體現(xiàn)出與距離、輻射功率等指標(biāo)的相關(guān)性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)戰(zhàn)場環(huán)境噪聲特點(diǎn)，選用α 穩(wěn)定分布作為噪聲模型，研究了α 穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法和參數(shù)估計(jì)方法，針對(duì)特定裝備工作場景采集的噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并分析了參數(shù)估計(jì)精度，量化得到了模型參數(shù)取值特征和范圍，根據(jù)參數(shù)范圍可產(chǎn)生對(duì)應(yīng)工作場景的噪聲數(shù)據(jù)。本文提出的噪聲模擬方法和形成的量化結(jié)論，對(duì)提高電磁環(huán)境噪聲模擬的針對(duì)性和真實(shí)性具有重要意義。