新高考三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)“聯(lián)姻”試題教學(xué)策略研究

◎吳依妹

(福建省閩侯縣第一中學(xué)，福建 福州 350100)

一、引 言

我們可以從今年“八省聯(lián)考”中的選擇題12題與壓軸導(dǎo)數(shù)大題看出，近年來，無(wú)論是地方大考，還是高考，都出現(xiàn)了三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的“聯(lián)姻”題型.它是試卷中的?？?，甚至是重頭戲，成為最具區(qū)分度的亮麗風(fēng)景.這種題型命制不但沒有成為桎梏，反而?？汲Ｐ?，豐富了教學(xué)素材.解決這類問題，除了應(yīng)用三角函數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算以外，還要結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與綜合應(yīng)用，這是教和學(xué)的一大難題，對(duì)教師培養(yǎng)學(xué)生綜合能力教學(xué)策略研究提出很高要求.

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)地位

高中階段函數(shù)知識(shí)至關(guān)重要.我們利用函數(shù)知識(shí)可以解決很多生活中的問題.同時(shí)函數(shù)知識(shí)和其他知識(shí)具有一定的關(guān)聯(lián)性，例如，函數(shù)和不等式、函數(shù)和平面幾何等都有關(guān)聯(lián)，學(xué)好函數(shù)有利于學(xué)好其他數(shù)學(xué)知識(shí).在初中階段，學(xué)生就開始接觸簡(jiǎn)單函數(shù)，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)等.學(xué)生升入高中后，開始接觸更多更為復(fù)雜的函數(shù)，包括集合、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.學(xué)生在高中學(xué)習(xí)的函數(shù)，在大學(xué)中會(huì)被進(jìn)一步深化，可以說高中函數(shù)知識(shí)是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).也就是說，在高中階段我們學(xué)習(xí)好函數(shù)有助于我們對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).在高中，函數(shù)知識(shí)所占百分比較大，是高中學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.學(xué)生如果想要提高數(shù)學(xué)成績(jī)，就應(yīng)該充分掌握函數(shù)知識(shí).

導(dǎo)數(shù)對(duì)于高中生而言，屬于初次接觸，具有一定的難度.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)息息相關(guān)，我們通過導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)可以解決函數(shù)的極值問題等.此外，導(dǎo)數(shù)和微積分有著緊密的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ).而微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以說學(xué)好導(dǎo)數(shù)也可以為大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊.同時(shí)，導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)物理學(xué)習(xí)有一定的促進(jìn)作用，所以，導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)也極為重要.綜合近幾年高考來看，函數(shù)和導(dǎo)數(shù)有融合考查的趨勢(shì)，因此教師在教學(xué)中應(yīng)該深入分析函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，重視對(duì)聯(lián)合題型的講解，以此來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī).

三、函數(shù)基本性質(zhì)類問題策略研究

函數(shù)基本性質(zhì)類問題主要包含單調(diào)性問題、奇偶性問題、對(duì)稱性問題，此類問題是解決導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)“聯(lián)姻”問題的基石.

(一)單調(diào)性問題

1.試題分析：這類題目常常涉及已知三角函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.

2.解題策略：我們常常可以利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系求解.若()在(,)上單調(diào)遞增，則′()≥0恒成立，若()在(,)上單調(diào)遞減，則′()≤0恒成立.

1(2018 年全國(guó)Ⅱ卷第10題)若()=cos-sin在[-,]上是減函數(shù),則的最大值是( ).

此題運(yùn)用三角函數(shù)的圖像，結(jié)合區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)′()≤0恒成立解決.

導(dǎo)函數(shù)是三角函數(shù)，圖像的準(zhǔn)確定位是關(guān)鍵，我們可以從圖像中分析原函數(shù)的單調(diào)性.教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)”結(jié)合研究，培養(yǎng)其對(duì)“聯(lián)姻”問題的綜合分析能力.

此題運(yùn)用分離參數(shù)構(gòu)造新的三角函數(shù)求最值來解決.

3.教學(xué)小結(jié)：解題時(shí)，從求導(dǎo)出發(fā)，利用單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)圖像，求出參數(shù)范圍.

(二)奇偶性問題

1.試題分析：這類題目可利用“可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)”來解決.

2.解題策略：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合三角函數(shù)奇偶性求解.

類似題型還有：

本題也是先由()是偶函數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),必過原點(diǎn)求出,再結(jié)合三角函數(shù)圖像之間關(guān)系得以解決問題.

3.教學(xué)小結(jié)：此類題型引導(dǎo)我們?cè)诮虒W(xué)中注重導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的奇偶性特征的內(nèi)在聯(lián)系.

(三)對(duì)稱性問題

1.試題分析：對(duì)稱性是三角函數(shù)的重要特征之一，特別在三角函數(shù)中，當(dāng)函數(shù)取到最值時(shí)，若直線=為對(duì)稱軸，則′()=0.

2.解題策略：利用在三角函數(shù)最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0，即切線斜率為0的幾何意義來解決問題.由于三角函數(shù)圖像的特殊性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可知最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為零，對(duì)于這一特殊性質(zhì)，教師在教學(xué)中應(yīng)注重強(qiáng)調(diào)分析，使學(xué)生加深印象，并能學(xué)以致用.

5已知當(dāng)=時(shí)，()= sin-2cos，∈取最大值，求cos的值.

類似題型還有：

6已知函數(shù)()=sin(π+)-2cos(π+)(0<<π)的圖像關(guān)于直線=1對(duì)稱，求sin 2的值.

3.教學(xué)小結(jié)：選填試題常常是求值運(yùn)算，學(xué)生對(duì)于三角誘導(dǎo)公式、倍角公式、圖像必須能夠熟練運(yùn)用.

四、由導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)最值問題策略研究

1.試題分析：試題雖然是最值問題，但實(shí)際也是借助導(dǎo)數(shù)考查三角函數(shù)的單調(diào)性，從而求出三角函數(shù)最值.

2.解題策略：最值問題往往需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，從而得到最值位置.

7(2018年全國(guó)Ⅰ卷16題)已知()=2sin+sin 2，求()的最小值.

3.教學(xué)小結(jié)：教師在教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具研究三角函數(shù)單調(diào)性，最值在連續(xù)函數(shù)的極值或端點(diǎn)值中產(chǎn)生.全國(guó)卷中還有許多這樣的題目，例如：()=cossin 2，研究()的圖像的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸，()的最大值、奇偶性，借助求導(dǎo)加換元法，研究導(dǎo)函數(shù)圖像，從而得到原函數(shù)的全方位的特征.

五、由導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)極值點(diǎn)問題策略研究

1.試題分析：借助求導(dǎo)，結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，再緊扣極值、極值點(diǎn)概念進(jìn)行求解.這類題目要求學(xué)生對(duì)極值與極值點(diǎn)概念有深刻認(rèn)識(shí)并掌握.

2.解題策略：極值點(diǎn)位置分析離不開導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與圖像的綜合分析.

3.教學(xué)小結(jié)：極值點(diǎn)概念、掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與三角函數(shù)圖像的結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵.

六、借助導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)零點(diǎn)問題策略研究

1.試題分析：利用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，通常要與零點(diǎn)存在性定理結(jié)合，往往證明某個(gè)區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).

2.解題策略：零點(diǎn)問題綜合性強(qiáng)，歸根結(jié)底離不開單調(diào)性分析.

借助導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)零點(diǎn)問題，還有：

11已知()=sin 2的圖像與直線2--π=0(>0)恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為,,，求(-)tan(-2)的值.

3.教學(xué)小結(jié)：三角函數(shù)零點(diǎn)問題，往往需要數(shù)形結(jié)合，再利用導(dǎo)數(shù)工具，要求教師培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力.

七、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，受到新高考改革的影響，為了幫助學(xué)生做到舉一反三、學(xué)以致用，真正意義上提高綜合解決問題的能力，教師要注重為學(xué)生講解解題方法策略與技巧.尤其對(duì)于三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的“聯(lián)姻”試題來說，教師要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用多種方法解題，發(fā)散學(xué)生思維，使學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的障礙，樹立信心，提高效果，以達(dá)到數(shù)學(xué)教育教學(xué)的立德樹人目標(biāo).