數(shù)學(xué)建模課要有數(shù)學(xué)建模的“味道”

◎薛 興

(甘肅省慶陽市隴東學(xué)院附屬中學(xué)，甘肅 慶陽 745300)

一、引 言

數(shù)學(xué)建模是一個小課題，是一項微型的研究活動，不同于一般常規(guī)課.一些教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是解應(yīng)用題，把數(shù)學(xué)建模課上成了解應(yīng)用題課，這樣的課缺乏數(shù)學(xué)建模的“味道”.數(shù)學(xué)應(yīng)用題不同于數(shù)學(xué)建模題，應(yīng)用題的條件明確，解決問題的指向清晰，結(jié)果常常是確定的或唯一的；數(shù)學(xué)建模題的條件是模糊的、不明確的，變量之間的關(guān)系也是未知的，需要學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析、思考，忽略次要因素，抓住主要因素，抽象概括，大膽猜想和假設(shè)，用數(shù)學(xué)思維建立變量之間的模型，然后用數(shù)學(xué)的思想和方法去解決模型，并檢驗?zāi)Ｐ褪欠穹蠈嶋H.如果檢驗結(jié)果與實際相差較大，那么學(xué)生要重新構(gòu)建模型.由此可見，數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題有很大區(qū)別，那么數(shù)學(xué)建模課究竟怎樣上才有數(shù)學(xué)建模的“味道”呢？筆者從以下幾方面談?wù)剶?shù)學(xué)建模課應(yīng)該怎樣上.

二、教師要選擇合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生合作探究，建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)源于生活，又為生活服務(wù).在課堂教學(xué)過程中，教師要有意識地創(chuàng)設(shè)生活情境，聯(lián)系生活實際，使教學(xué)緊貼生產(chǎn)、生活和社會熱點等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.如空氣污染問題、垃圾分類問題、商品利潤問題、購房貸款問題、節(jié)能減排問題等，都與學(xué)生的生活息息相關(guān)，是學(xué)生經(jīng)常遇到的實際問題.這些問題符合學(xué)生認(rèn)知特點及認(rèn)知水平，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能解決生活中的困難，對學(xué)生有著非常重要的實際意義.若教師選擇的問題不貼合學(xué)生實際，則不僅不能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還會大大挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對學(xué)生進(jìn)一步探究和深度思考造成阻礙.

對于這些生活實際問題，一些學(xué)生在建模初期會感到困難，尤其是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，因為實際問題復(fù)雜，影響因素多，與數(shù)學(xué)問題相差很大.要建立數(shù)學(xué)模型，就要對實際問題進(jìn)行分析、數(shù)學(xué)抽象、歸納總結(jié)、去偽存真、提煉加工.對于實際問題的建模，哪些因素需要保留，哪些因素需要忽略，如何確定自變量和因變量，如何明確控制變量，都沒有固定模式.不同問題有不同的解決思路；同一問題也有不同的解決方式，最終結(jié)果也會有所不同.

例如“停車距離問題”，許多學(xué)生都坐過汽車，親身體驗過汽車剎車的過程，這個問題對學(xué)生來說特別熟悉，學(xué)生會有極大的興趣去研究探討.學(xué)生最直觀的印象是汽車速度越快，剎車距離就越長.實際上，影響停車距離的因素有很多，停車距離與剎車前的速度有關(guān)，與車輛的重量和剎車性能有關(guān)，與駕駛員的反應(yīng)速度有關(guān)，還與道路的平坦?fàn)顩r、是否下雪下雨等一些因素有關(guān).為了方便研究，我們假設(shè)在相同的路段、同一時間和同一車型的條件下研究該問題，主要考慮前兩個因素，這樣就將復(fù)雜的問題簡單化了.學(xué)生應(yīng)忽略對問題影響不大的次要因素，抓住影響問題的主要因素，確保問題的結(jié)論基本符合實際，減少不必要的誤差.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生進(jìn)行探究，從數(shù)學(xué)的角度處理實際問題，發(fā)現(xiàn)實際問題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，逐步掌握數(shù)學(xué)建模的方法，體驗數(shù)學(xué)建模的過程.

三、教師要制訂切實可行的活動方案，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)建模的過程是將一個具體的實際問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法解決這個問題，再把它應(yīng)用到實際生活中的過程，即用數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象和規(guī)律.

在建模過程中，一些學(xué)生初次進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對數(shù)學(xué)建模感到特別陌生，無從下手.這就要求教師有明確的教學(xué)計劃和目標(biāo)，要預(yù)先制訂一個切實可行的活動方案，指導(dǎo)學(xué)生按步驟執(zhí)行計劃.教師要在執(zhí)行計劃的過程中適時引導(dǎo)學(xué)生怎樣去做，但決不能越俎代庖，要讓學(xué)生充分體驗建模的過程，否則學(xué)生將體會不到數(shù)學(xué)建模的意義.

例如，北京市第五十中學(xué)黃老師的“怎樣燒開水最省燃?xì)狻币还?jié)課.黃老師精心設(shè)計教學(xué)過程，預(yù)先制訂了活動方案，以問題為導(dǎo)向，提出一系列切合實際的問題，組織學(xué)生討論.

活動1：以小組為單位討論在燒水時影響燃?xì)庥昧康囊蛩赜心男?水的質(zhì)量、水的初始溫度、水壺的材質(zhì)、燃?xì)庠畹男阅堋⒒鹧娴拇笮〉?；如何處理這些影響因素；火焰越大，越節(jié)省燃?xì)鈫?；火焰越小，越?jié)省燃?xì)鈫?；如何刻畫火焰的大?

活動2：如何獲取相關(guān)數(shù)據(jù)？以小組為單位，學(xué)生分工協(xié)作，通過實驗獲取測量數(shù)據(jù)，記錄測量數(shù)據(jù)，填寫實驗數(shù)據(jù)記錄表.

活動3：以小組為單位，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作出散點圖，觀察數(shù)據(jù)和圖像，得到旋鈕位置與燃?xì)庥昧恐g的變化.

活動4：以小組為單位，討論后對數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，并記錄擬合函數(shù)的表達(dá)式.

活動5：請找出函數(shù)圖像中最小值處的坐標(biāo).

活動6：小組合作，結(jié)合以上探究過程繪制數(shù)學(xué)建模的步驟圖.

通過以上指導(dǎo)方案，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，積極參與建模，認(rèn)真分析影響燃?xì)庥昧康闹饕蛩兀岢龊侠淼募僭O(shè).對于數(shù)據(jù)的收集，學(xué)生經(jīng)過熱烈的討論得出合理的辦法，取旋鈕開關(guān)的特殊角度(如15°、30°、45°、60°、75°、90°)測量.在收集燃?xì)庥昧繒r，學(xué)生多次測量取平均值，以減小測量的誤差.在讀燃?xì)獗頃r，學(xué)生注意到視角不同會造成讀數(shù)誤差.學(xué)生自己動手操作，體會到數(shù)據(jù)收集的重要性，認(rèn)識到稍有不慎會就造成很大誤差，導(dǎo)致最終結(jié)果不符合實際，需要重新收集數(shù)據(jù).在對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時，學(xué)生以小組為單位，分工合作，相互交流，得出不同的函數(shù)模型.這讓學(xué)生體會到：數(shù)學(xué)建模的結(jié)果不唯一，不同的假設(shè)會有不同的結(jié)論.在活動過程中，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力得到提高，分析問題、解決問題的能力進(jìn)一步增強(qiáng)，數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和實踐能力得到提高，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大幅度提高.學(xué)生充分體驗了數(shù)學(xué)建模的全過程，即觀察實際問題情境—發(fā)現(xiàn)問題和提出問題—收集實驗數(shù)據(jù)—建立數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)模型—檢驗結(jié)果—解決實際問題.

在活動方案的實施過程中，由于課堂時間有限，學(xué)校的實驗條件或室內(nèi)環(huán)境等無法滿足學(xué)生的實驗要求，教師可以組織學(xué)生以小組為單位，利用課外時間進(jìn)行實驗活動，提前測量得到課堂所需要的實驗數(shù)據(jù).這樣不僅能大大節(jié)約課堂時間，而且給學(xué)生提供了親身體驗數(shù)據(jù)測量的機(jī)會，為順利完成教學(xué)任務(wù)提供了良好的保障.

四、教師要組織學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)建?；顒?/h2>

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，也是一種學(xué)習(xí)方式.數(shù)學(xué)建模的過程是學(xué)生不斷思考、不斷分析、不斷探究的過程，教師要組織學(xué)生提出問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，讓每名學(xué)生都能深入思考，積極發(fā)言，參與數(shù)學(xué)建?；顒?，通過相互交流解決實際問題.所以，教師要留給學(xué)生足夠的時間去討論問題，要留給學(xué)生足夠的空間去進(jìn)行實驗活動，讓學(xué)生相互交流，合作探究，參與建?；顒?

例如，在“怎樣燒開水最省燃?xì)狻钡恼n程中，黃老師將學(xué)生分成五組，以小組為單位，分析燒水時影響燃?xì)庥昧康囊蛩?經(jīng)過討論，學(xué)生得到“影響燃?xì)庥昧康囊蛩赜兴馁|(zhì)量、水的初始溫度、水壺的材質(zhì)、燃?xì)庠畹男阅?、火焰的大小等”的結(jié)論.如何處理這些影響因素？經(jīng)過認(rèn)真思考、合作交流，學(xué)生認(rèn)為應(yīng)弱化次要因素的影響，對主要因素提出假設(shè)：(1)每次燒水量相等都是1.2 L；(2)每次燒水使用相同的水壺和燃?xì)庠睿?3)在同一地點進(jìn)行多次實驗，每次實驗時水的初始溫度相同，當(dāng)水的溫度達(dá)到100℃時停止加熱.在以上假設(shè)條件下，學(xué)生重點研究火焰的大小對燃?xì)庥昧康挠绊?黃老師引導(dǎo)學(xué)生思考以下幾個問題：(1)火焰越大，越省燃?xì)鈫幔?學(xué)生思考討論后認(rèn)為不一定，火焰越大，灶臺的溫度越高，浪費的能源就越多)；(2)火焰越小，越省燃?xì)鈫幔?學(xué)生認(rèn)為不一定，火焰過小，燃燒時間變長，能源消耗變多)；(3)如何刻畫火焰的大??？(學(xué)生思考后認(rèn)為，在燃?xì)庠畹氖褂眠^程中，可以通過旋轉(zhuǎn)灶臺上的旋鈕來調(diào)整火焰的大小，可以用旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度刻畫火焰的大小);(4)如何獲取相關(guān)數(shù)據(jù)？(學(xué)生思考后認(rèn)為，進(jìn)行實驗，將旋鈕旋轉(zhuǎn)到不同的度數(shù)時，記錄燒開水燃?xì)獗淼臄?shù)值變化，以小組為單位，經(jīng)過大量的重復(fù)實驗，測量數(shù)據(jù)，然后取平均值，減小測量帶來的誤差，獲得數(shù)據(jù)).學(xué)生觀察數(shù)據(jù)后會發(fā)現(xiàn)，隨著旋鈕位置的變化，燃?xì)庥昧恳苍诎l(fā)生變化，這兩個變量可能存在某種函數(shù)關(guān)系，如果我們能找到這個函數(shù)關(guān)系，那么探究的燃?xì)庥昧孔钍栴}就變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最小值問題.于是，學(xué)生以小組為單位，積極討論對數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合的方法，并記錄擬合函數(shù)的表達(dá)式.學(xué)生通過充分交流和多次擬合，得到了不同的擬合結(jié)果.第一組擬合的是三次函數(shù)；第二組擬合的是四次函數(shù)；第三組擬合的是正弦函數(shù)；第四組擬合的是二次函數(shù)；第五組擬合的是冪函數(shù).各組的學(xué)生代表發(fā)言，分析模型，得到最符合實際情況的數(shù)學(xué)模型.在這個活動過程中，每名學(xué)生都參與數(shù)學(xué)建?；顒?通過相互討論、自主交流、合作探究，學(xué)生的合作意識和協(xié)作能力得到了提高，數(shù)學(xué)表達(dá)能力也在不斷提升.合作效能得到了充分的體現(xiàn).

在數(shù)學(xué)建模活動中，學(xué)生是認(rèn)知活動的主體，教師要組織、幫助、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建?；顒?在建模的教學(xué)中，對于方法的探究、實施、調(diào)整和反思等，教師應(yīng)盡可能地讓學(xué)生通過自主探究或合作探究完成，從而培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團(tuán)隊意識，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).

五、教師要充分利用信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)建?；顒樱箶?shù)學(xué)實驗變?yōu)楝F(xiàn)實

隨著科技的迅猛發(fā)展，信息技術(shù)輔助教學(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代教育的一種必不可少的新型教學(xué)模式.它不但能極大地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且能有效提高課堂效率.在數(shù)學(xué)建模過程中，教師要充分利用幾何畫板、Excel、GeoGebra等教學(xué)工具，進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒樱乖瓉頍o法實現(xiàn)的數(shù)學(xué)實驗變得形象直觀，同時模擬現(xiàn)實生活中的許多問題，使數(shù)學(xué)實驗變?yōu)楝F(xiàn)實.

例如，Excel軟件是當(dāng)今十分流行的一款辦公軟件，功能十分強(qiáng)大.在數(shù)學(xué)建模過程中，利用Excel描繪散點圖求出回歸直線方程的操作很簡單，也特別方便.首先，我們將數(shù)據(jù)及序號輸入Excel工作表，將數(shù)據(jù)和序號選中；其次，我們點擊“插入”，找到右下角的“散點圖”，在下拉菜單中選擇“僅帶數(shù)據(jù)標(biāo)記的散點圖”，這時工作表中將顯示這組數(shù)據(jù)的散點圖，我們依次單擊“圖標(biāo)工具”——“布局”“分析”“趨勢線”，再單擊下拉菜單，并從中選擇所需要的模型，此時選擇“線性趨勢線”擬合圖中的散點，軟件便自動繪制出了散點圖，特別方便快捷；最后，我們選中“趨勢線”菜單，勾選“顯示公式”菜單，線性回歸方程就自動出現(xiàn)在散點圖上.

學(xué)生還可以利用Excel中的數(shù)據(jù)分析功能進(jìn)行計算.我們以前面的方式輸入數(shù)據(jù)后，在工作表菜單欄中單擊“數(shù)據(jù)”，選擇圖表欄中的“數(shù)據(jù)分析”，這時在工作表中將彈出一張“分析工具(A)”的菜單表供我們選擇.這時我們可以選擇“回歸”分析，點擊“確實”后，工作表中將彈出回歸分析的參數(shù)表，以供我們輸入回歸分析的有關(guān)數(shù)據(jù)和有關(guān)的控制命令.我們輸入完畢相關(guān)數(shù)據(jù)后單擊“確定”，Excel將立即給出回歸分析的計算結(jié)果.

Excel及很多計算機(jī)軟件都能完成線性模型最小二乘法的計算任務(wù)，所以教師應(yīng)要求學(xué)生在掌握最小二乘法的基本原理的基礎(chǔ)上，學(xué)會使用計算工具來解決比較復(fù)雜的計算問題.

在數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)過程中，學(xué)生是課堂教學(xué)活動的主體，教師是課堂教學(xué)的組織者和引導(dǎo)者，應(yīng)盡可能地讓學(xué)生通過自主探究或合作探究完成數(shù)學(xué)建模活動的實施和方法的探索.教師不能越俎代庖，要讓學(xué)生不斷去實踐、去創(chuàng)新，讓數(shù)學(xué)建模課落到實處，從而促進(jìn)課程改革的貫徹落實.教師要不斷提高教學(xué)方法，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到全面發(fā)展.

“打鐵還要自身硬”，一些教師教學(xué)經(jīng)驗不足，對數(shù)學(xué)建模活動的實踐教學(xué)把握不夠準(zhǔn)確，教師應(yīng)該在備課、說課、磨課等教學(xué)環(huán)節(jié)上下功夫，認(rèn)真做好教學(xué)實踐，不斷提高數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)技能.一些學(xué)生對數(shù)學(xué)建模比較陌生，因此學(xué)生應(yīng)該拓展自己的視野，學(xué)會利用網(wǎng)絡(luò)資源了解數(shù)學(xué)建模相關(guān)內(nèi)容，提高自己的生活問題數(shù)學(xué)化能力，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.