一種引力波探測衛(wèi)星動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃方法*

范宇麒 徐 瑞 李朝玉 朱圣英 高 艾 尚海濱 高 越

1. 北京理工大學 深空探測技術(shù)研究所，北京 100081 2. 深空自主導航與控制工業(yè)與信息化部重點實驗室，北京 100081 3. 航天恒星科技有限公司，北京 100086

0 引言

引力波的測量是確認愛因斯坦關(guān)于時空和引力以及廣義相對論的最廣泛認可的方法之一。2016年2月12日，美國LIGO地面引力波探測組宣布首次直接觀測到引力波信號，引起了科學家的廣泛關(guān)注。然而，由于地面實驗裝置受到低頻噪聲和有效臂長的限制，只能探測到中高頻的引力波信號。要探測低頻段的引力波信號，需要在深空環(huán)境中搭建空間引力波探測系統(tǒng)。

自20世紀中期以來，空間引力波探測任務如LISA、太極、天琴等正在進行中，這些任務通過構(gòu)建一個具有長周期穩(wěn)定的空間類等邊三角形系統(tǒng)進行引力波探測，建激光通信鏈路時，衛(wèi)星快速姿態(tài)機動以實現(xiàn)激光器的長距離對準。

入軌建鏈、斷鏈后再對準、鏈路的穩(wěn)定連接都需要探測器能夠進行自主姿態(tài)控制。姿態(tài)規(guī)劃是實現(xiàn)多約束下航天器自主姿態(tài)控制，并實現(xiàn)激光器長距離自主對準的關(guān)鍵技術(shù)之一。眾多學者開展了姿態(tài)規(guī)劃可行解搜索方法研究。Frazzoli等提出了一種隨機姿態(tài)規(guī)劃算法，用于解決動力學約束和指向約束下的航天器姿態(tài)規(guī)劃問題，其仿真結(jié)果表明，該算法在動力學不確定性和環(huán)境擾動方面具有較好的魯棒性[1]。武長青等提出了基于CERRT的多約束抗退繞姿態(tài)路徑規(guī)劃，該方法滿足指向約束和有界約束，且計算時間短[2]。此外還有基于A*的隨機搜索算法[3-5]、幾何姿態(tài)規(guī)劃方法[6-9]和勢函數(shù)法[10-12]等，部分方法已在航天器自主姿態(tài)規(guī)劃方面得到應用。

在引力波大尺度建鏈的姿態(tài)機動過程中，由于衛(wèi)星的目標姿態(tài)與三顆衛(wèi)星的相對位置有關(guān)，故目標姿態(tài)隨著姿態(tài)機動時間的變化而動態(tài)變化。針對目標動態(tài)變化情況下路徑規(guī)劃問題，機器人領域研究較多，馮林等提出了一種基于對比優(yōu)化的RRT改進算法，改善了經(jīng)典RRT算法缺乏穩(wěn)定性和偏離最優(yōu)解的問題，并提高了動態(tài)環(huán)境下路徑規(guī)劃的穩(wěn)定性，但是算法運行時間較長[13]。劉成菊等針對移動障礙物環(huán)境的動態(tài)路徑規(guī)劃問題，引入路徑緩存區(qū)和動態(tài)擴展隨機樹的方法，先進行初始規(guī)劃再進行重規(guī)劃，并將算法移植到機器人上，具有良好的效果，但是重規(guī)劃消耗計算資源過大不適合星上應用[14]。姚遠等通過引入相對速度斥力勢場和斥力常數(shù)模糊控制器對勢函數(shù)法進行改進，并結(jié)合A*算法實現(xiàn)了無人機的動態(tài)避障，但未考慮目標點動態(tài)移動和無人機姿態(tài)[15]。

本文首先對空間引力波探測衛(wèi)星的大尺度建鏈任務進行描述，并針對大尺度建鏈時目標姿態(tài)動態(tài)變化、姿態(tài)約束復雜的問題，將姿態(tài)機動規(guī)劃歸納為一個受終端時刻姿軌耦合約束的多指向規(guī)劃問題，并根據(jù)軌道和姿態(tài)機動時間，求解衛(wèi)星最優(yōu)目標姿態(tài)；然后針對經(jīng)典RRT算法隨機性大和力矩軌跡不平滑的缺點，設計了隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法，在節(jié)點違反指向約束時，生成隨機節(jié)點，并向該隨機節(jié)點擴展正常數(shù)步；接著建立鄰近節(jié)點深度與目標姿態(tài)的函數(shù)關(guān)系，在每次循環(huán)過程更新目標姿態(tài)。最后，開展了引力波探測衛(wèi)星大尺度建鏈姿態(tài)規(guī)劃仿真，結(jié)果表明，本文的姿態(tài)規(guī)劃方法可滿足引力波大尺度建鏈的任務需求，指向偏差相比于經(jīng)典RRT算法更小，力矩軌跡平滑，能量消耗少。

1 任務描述與問題陳述

1.1 任務描述

由于引力波探測任務中星座的等邊三角形臂長為1×106km量級，實現(xiàn)鏈路構(gòu)建要求衛(wèi)星相對姿態(tài)對準精度高(1nrad量級)，而基于星敏感器的姿態(tài)對準精度僅能達到10μrad量級，因此引力波探測鏈路構(gòu)建需要進行如下姿態(tài)機動過程[16]：

1) 大尺度建鏈：根據(jù)標稱軌道數(shù)據(jù)計算出參考姿態(tài)，3顆衛(wèi)星借助星敏感器進行大角度姿態(tài)機動達到參考姿態(tài)；

2) 迭代跟描：掃描星采取適用的掃描策略對被掃描星進行掃描，掃描錐需要覆蓋整個不確定錐，掃描過程中，被掃描星保持參考姿態(tài)穩(wěn)定不動；

被掃描星接收到掃描星的激光信號之后進行相應的姿態(tài)校正，即進行微角度姿態(tài)機動，使激光器指向從光電耦合元件(Charge coupled device, CCD)視場內(nèi)，并向四象限光電傳感器(Quadrant photodiode, QPD)中心靠近，姿態(tài)校正完成之后，掃描星可以接收到被掃描星的激光信號;

3) 微角度姿態(tài)機動：掃描星接收到被掃描星的激光信號之后，停止掃描并進行微角度姿態(tài)機動。至此，掃描星和被掃描星都進行了姿態(tài)校正，可實現(xiàn)高精度的對準。

本文主要研究引力波探測任務中的大尺度建鏈姿態(tài)機動自主規(guī)劃方法，即上述引力波建鏈步驟中第一步的過程。

引力波探測衛(wèi)星在姿態(tài)機動過程中，目標姿態(tài)也在發(fā)生變化，若使用目標姿態(tài)固定的姿態(tài)規(guī)劃方法，將造成鏈路構(gòu)建第一步大尺度建鏈姿態(tài)對準精度10 μrad量級的偏差，而大尺度建鏈的精度作為衛(wèi)星執(zhí)行迭代跟瞄的初始精度，將會延長迭代跟瞄執(zhí)行的時間，因此必須考慮目標姿態(tài)不定和姿軌耦合約束的影響。此外，由于空間明亮天體和衛(wèi)星內(nèi)部因素的影響，衛(wèi)星的大角度姿態(tài)機動面臨著復雜姿態(tài)約束的問題，導致姿態(tài)機動的可行空間受到限制，傳統(tǒng)的姿態(tài)控制方法難以滿足當前任務需求。

針對以上討論的任務需求，提出了引力波探測衛(wèi)星動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃方法，通過最優(yōu)目標姿態(tài)求解和改進RRT動態(tài)目標姿態(tài)規(guī)劃滿足任務需求。

1.2 問題陳述

基于四元數(shù)的剛體衛(wèi)星運動學方程可表示如下：

(1)

式中，q=[q0,q1,q2,q3]T是姿態(tài)四元數(shù)，表示從本體坐標系到慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)，ω=[ω1,ω2,ω3]T表示本體坐標系下的衛(wèi)星角速度，且

剛體衛(wèi)星的動力學方程如下：

(2)

式中，J=diag(J1,J2,J3)表示衛(wèi)星相對于本體系的慣量矩陣，ω×是ω的叉乘矩陣形式，u=[u1,u2,u3]T是衛(wèi)星本體系下的控制力矩。式(1)和(2)構(gòu)成了剛體衛(wèi)星的動力學和運動學模型，由此可以定義衛(wèi)星的狀態(tài)變量為：

x=[u1,u2,u3,ω1,ω2,ω3,q0,q1,q2,q3]T

(3)

衛(wèi)星狀態(tài)變量是一個10維向量，其中包括力矩3維、角速度3維和四元數(shù)4維。該向量可以表示衛(wèi)星任意時刻的狀態(tài)，衛(wèi)星的姿態(tài)軌跡即該向量隨時間變化的軌跡。

衛(wèi)星的姿態(tài)機動不僅需要滿足動力學約束和運動學約束，還需要滿足有界約束、指向約束、歸一化約束和邊界約束。

有界約束：在實際的姿態(tài)機動中，執(zhí)行機構(gòu)所提供的力矩大小是有限的，因此有力矩有界約束：

ui≤umaxi=1,2,3

(4)

式中，ui為控制力矩分量，umax為控制力矩分量最大值。此外，由于物理結(jié)構(gòu)和角速度量程的限制，衛(wèi)星本體的角速度也是有限的，故有角速度有界約束：

ωi≤ωmaxi=1,2,3

(5)

式中，ωi為角速度分量，ωmax為角速度分量最大值。

指向約束：引力波探測衛(wèi)星上安裝有成60°夾角的兩個激光器，激光器主軸還安裝有CCD和QPD等敏感器，為避免明亮天體進入敏感器視場和敏感器指向過于偏離目標指向，主軸指向需滿足禁忌約束和強制約束：

(6)

式中，rb為激光器主軸在慣性系下的方向矢量，rs和rv分別為慣性系下的禁忌錐主軸和強制錐主軸，θs和θv分別為慣性系下的禁忌錐半角和強制錐半角。

歸一化約束：引力波探測衛(wèi)星進行大角度姿態(tài)機動時，用姿態(tài)四元數(shù)來描述本體的姿態(tài)，其中旋轉(zhuǎn)四元數(shù)根據(jù)其定義需滿足歸一化約束，即：

(7)

邊界約束：在實際的姿態(tài)機動任務中，會給定衛(wèi)星的初始狀態(tài)x0和目標狀態(tài)xf作為姿態(tài)規(guī)劃問題的輸入，衛(wèi)星姿態(tài)軌跡的起點和終點必須滿足邊界約束：

(8)

本節(jié)對引力波探測衛(wèi)星鏈路構(gòu)建任務描述后，分析了引力波探測中大尺度建鏈的任務需求，并將建鏈中姿態(tài)機動問題建模為一個受終端姿軌耦合約束下的多指向姿態(tài)規(guī)劃問題?？紤]到原有靜態(tài)姿態(tài)目標時的姿態(tài)規(guī)劃方法難以適用，需設計相應的動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃方法。

2 建鏈中目標求解及動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃

考慮引力波探測衛(wèi)星目標姿態(tài)受姿軌耦合約束的特點，設計了引力波探測衛(wèi)星最優(yōu)目標姿態(tài)求解方法，并對RRT姿態(tài)規(guī)劃算法進行改進，設計了適用于引力波探測衛(wèi)星大尺度建鏈的動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃算法。

2.1 最優(yōu)目標姿態(tài)求解方法

引力波探測衛(wèi)星的目標姿態(tài)需要根據(jù)三顆衛(wèi)星的實時軌道位置進行解算，而同一時刻軌道位置對應的滿足可動激光器擺角有界約束的目標姿態(tài)是一個無限集合，因此設計引力波探測衛(wèi)星最優(yōu)目標姿態(tài)求解方法。

在地心慣性坐標系下，引力波探測衛(wèi)星編隊標稱軌道如圖1所示，3顆衛(wèi)星的連線構(gòu)成等邊三角形。圖2是衛(wèi)星最優(yōu)目標姿態(tài)示意圖，其中，SC表示引力波探測衛(wèi)星，SC1、SC2和SC3共同構(gòu)成衛(wèi)星編隊，rb1為SC1指向SC2的方向矢量，rb2為SC1指向SC3的方向矢量，r1和r2為SC1兩個激光器的方向矢量。

圖1 引力波探測衛(wèi)星編隊標稱軌道

圖2 目標姿態(tài)示意圖

根據(jù)軌道計算得到的rb1和rb2的夾角在59°-61°之間浮動，如圖3所示。由于衛(wèi)星上兩個激光器安裝構(gòu)型為固定60°夾角，且在姿態(tài)機動的過程中不考慮激光器的機動能力，故SC1的目標姿態(tài)應該保證激光器指向盡量靠近對應的衛(wèi)星鏈路指向，即r1盡量靠近rb1，r2盡量靠近rb2。因此，SC1的目標姿態(tài)無法通過解析計算求得，需要在終端時刻，求解一個最小二乘問題，得到衛(wèi)星的目標姿態(tài)四元數(shù)。該最小二乘問題可表示為：

圖3 rb1和rb2的夾角變化

(9)

式中，θ1為r1和rb1的夾角，θ2為r2和rb2的夾角，θ1和θ2是目標姿態(tài)四元數(shù)qf=[qf 0,qf 1,qf 2,qf 3]T的函數(shù)，θ1和θ2被稱為呼吸角，θmax為激光器擺角控制機構(gòu)可擺動的最大角度。該問題的最優(yōu)解為衛(wèi)星的目標姿態(tài)四元數(shù)?？稍谌w星標稱軌道上選擇均勻分布的關(guān)鍵節(jié)點，求其對應的目標姿態(tài)，并對關(guān)鍵節(jié)點的目標姿態(tài)進行插值，計算任意時刻目標姿態(tài)。

將上述求解最小二乘問題的過程表示成一個函數(shù)f，目標姿態(tài)必須滿足終端時刻姿軌耦合約束，并且是姿態(tài)機動時間的函數(shù)：

qf=f(tf)

(10)

2.2 基于改進RRT的動態(tài)目標姿態(tài)規(guī)劃算法

目前用于姿態(tài)規(guī)劃的方法主要有勢函數(shù)法、隨機規(guī)劃方法、幾何方法等，性能對比如表1所示，可以看出隨機規(guī)劃方法處理復雜約束能力強、可進行多星規(guī)劃，并且對指向約束的處理能力較強。因此，本文對RRT算法進行改進，設計了隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法和目標姿態(tài)實時更新方法，實現(xiàn)力矩軌跡平滑和目標姿態(tài)動態(tài)跟蹤。

表1 姿態(tài)規(guī)劃方法對比

RRT算法是基于采樣的快速搜索隨機算法，在1998年由LaValle等提出[17]，并被廣泛應用于機器人的運動規(guī)劃中。

然而，經(jīng)典的RRT算法有以下缺點和不足：

1)具有較大的隨機性；

2)生成路徑不平滑；

3)只適用于靜態(tài)環(huán)境。

針對以上問題，對RRT算法主要提出以下2點改進。

1)隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法

為了實現(xiàn)姿態(tài)軌跡平滑，減少算法的不確定性，引入目標節(jié)點和指向約束區(qū)域作為隨機節(jié)點擴展啟發(fā)式信息，區(qū)別于經(jīng)典RRT算法在整個狀態(tài)空間中無差別生成隨機節(jié)點，僅在節(jié)點違反指向約束時向隨機節(jié)點擴展，且隨機節(jié)點滿足指向約束并位于當前節(jié)點的鄰域內(nèi)，其他情況則向目標節(jié)點擴展。如圖4所示，隨機擴展樹從初始節(jié)點向目標節(jié)點擴展，若當前節(jié)點xcollided違反指向約束，在當前節(jié)點鄰域內(nèi)生成一個滿足指向約束的隨機節(jié)點xrandom，在隨機樹上找到距該隨機節(jié)點最近的節(jié)點并標記為分支節(jié)點xbranch，從分支節(jié)點向隨機節(jié)點擴展m步，m為大于等于1的整數(shù)，m越大，力矩軌跡越平滑；但是m不能過大，否則路徑將偏離向目標節(jié)點靠近的趨勢，并消耗更多的燃料。

圖4 隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展示意圖

在完成隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展之后，隨機擴展樹中將包含為滿足指向約束而產(chǎn)生的分支，在接下來的隨機樹擴展過程中，隨機樹將沿著新產(chǎn)生的分支向目標節(jié)點擴展。應用隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法使隨機樹只在指向約束區(qū)域附近產(chǎn)生分支，有效減少了隨機樹的分支節(jié)點，從而使力矩軌跡更加平滑。

2)目標姿態(tài)實時更新方法

在目標點動態(tài)變化的環(huán)境下，基于RRT的姿態(tài)規(guī)劃方法需要作適當?shù)母倪M，才能保證終端時刻姿軌耦合約束的滿足。為了減小計算資源消耗并實現(xiàn)目標姿態(tài)不定的動態(tài)規(guī)劃，在算法每次循環(huán)過程中，計算鄰近節(jié)點的深度，即路徑所包含的節(jié)點數(shù)。引入最優(yōu)目標姿態(tài)求解方法，并根據(jù)鄰近節(jié)點深度實時更新目標姿態(tài)，從而對目標節(jié)點姿軌耦合約束進行滿足。目標姿態(tài)和鄰近節(jié)點的深度的關(guān)系可表示如下：

式中，ΔT為相鄰兩節(jié)點之間的時間間隔，N為鄰近節(jié)點的深度，f為最優(yōu)目標姿態(tài)求解方法對應的函數(shù)映射，將姿態(tài)機動時間tf映射為最優(yōu)目標姿態(tài)。

綜合隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法和目標姿態(tài)實時更新方法，得到基于改進RRT的動態(tài)目標姿態(tài)規(guī)劃算法流程圖如下：

圖5 基于改進RRT的動態(tài)目標姿態(tài)規(guī)劃算法流程圖

在擴展節(jié)點時，兩相鄰節(jié)點必須滿足動力學約束和運動學約束：由式(1)和(2)并運用一階歐拉法將其離散化，可得出衛(wèi)星的動力學約束和運動學約束方程：

(11)

(12)

ρ=(Cq)TR1(Cq)+ωTR2ω

(13)

3 仿真校驗

引力波探測衛(wèi)星需要進行大角度姿態(tài)機動，將初始時刻姿態(tài)轉(zhuǎn)向最優(yōu)目標姿態(tài)。設初始時刻為t0，進行任意初始時刻的大尺度建鏈仿真。仿真輸入僅需要衛(wèi)星編隊標稱軌道和初始狀態(tài)，分別用改進RRT算法和經(jīng)典RRT算法進行姿態(tài)規(guī)劃，仿真參數(shù)如表2所示，考慮3個禁忌約束和1個強制約束，衛(wèi)星在z軸和[0,0.8660,0.5000]T方向分別安裝了一個激光器。本文仿真使用相同的運行環(huán)境：Mac OS12.1系統(tǒng)，計算機主頻1.4GHz，內(nèi)存8GB。

表2 仿真條件

圖6為改進RRT算法規(guī)劃的引力波探測衛(wèi)星激光器的指向路徑和收斂軌跡，圖6(a)中上三角為禁忌錐的邊界，下三角為強制錐的邊界，圖6 (b)中紅色曲面為禁忌錐在姿態(tài)球上的投影，綠色曲面為強制錐在姿態(tài)球的投影，圖6(c)中實線表示指向1的當前指向與目標指向間的夾角，虛線表示指向2的當前指向與目標指向間的夾角?？梢娂す馄鲝某跏贾赶蚴諗康侥繕酥赶?，并且指向路徑滿足禁忌約束和強制約束。

圖6 改進RRT算法姿態(tài)規(guī)劃結(jié)果

圖7為引力波探測衛(wèi)星三軸力矩軌跡對比圖，其中圖7 (a)為改進RRT三軸力矩軌跡，圖7 (b)為傳統(tǒng)RRT三軸力矩軌跡，可見改進RRT算法相比于經(jīng)典RRT算法力矩軌跡較為平滑且突變較少，符合實際。

圖7 力矩軌跡對比

對上述任務場景，分別用經(jīng)典RRT算法和改進RRT算法進行5次姿態(tài)規(guī)劃，對比其性能指標，總結(jié)如表3所示：

表3 經(jīng)典RRT和改進RRT性能指標對比

其中，終端時刻指向誤差考慮了在姿態(tài)機動的過程中3顆星位置時變帶來的指向誤差，從表中可以看出改進RRT算法在平均能量消耗和平均計算時間方面均優(yōu)于經(jīng)典RRT算法，并且終端時刻指向1誤差降低了30.3%，指向2誤差降低了37.1%，這將顯著減小后續(xù)迭代跟瞄的時間。

4 結(jié)論

介紹了空間引力波探測任務的背景，研究了引力波探測衛(wèi)星大尺度建鏈的動態(tài)姿態(tài)規(guī)劃方法，完成了以下工作：

1)根據(jù)三顆衛(wèi)星的運行軌道，通過求解最小二乘問題，求解引力波探測衛(wèi)星在任一時刻的姿態(tài)機動目標姿態(tài)；

2)基于RRT姿態(tài)規(guī)劃算法，設計了隨機節(jié)點啟發(fā)式擴展方法和目標姿態(tài)實時更新方法，實現(xiàn)了力矩軌跡平滑和目標動態(tài)跟蹤。

本文將引力波探測衛(wèi)星作為單個剛體進行建模，并未考慮激光器的可動能力，接下來仍需對復雜約束下、帶有多可動部件的衛(wèi)星姿態(tài)規(guī)劃方法展開進一步的研究。