空間超長波天線繩系系統(tǒng)動力學(xué)建模與分析

高懷旭 張曉敏 徐 瑞

北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081

0 引 言

超長波(Extremely low frequency，ELF)通信又稱超低頻通信，指信號頻率在30 Hz ～ 300 Hz的電磁波通信模式。超長波具有抗干擾能力強(qiáng)，衰減率低的優(yōu)點(diǎn)，非常適合超長距離通信，在民用和軍用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。然而，超長波通信的理論優(yōu)勢應(yīng)用在實(shí)際中，仍然面臨一些困難。根據(jù)波長與頻率的反比關(guān)系，超低頻的信號需要匹配極大尺寸的天線。傳統(tǒng)的超長波天線安裝在地面上，不方便機(jī)動和隱蔽，且容易受到地面上山川河流或者建筑物的阻礙影響。空間超長波天線則另辟蹊徑，借助日趨成熟的衛(wèi)星技術(shù)進(jìn)入近地空間。天線在地外環(huán)境中展開不受任何空間上的約束，受地面干擾極小，而且天線還可隨著衛(wèi)星的軌道機(jī)動而機(jī)動，極大增加了其應(yīng)用范圍。截至目前，關(guān)于空間超長波天線系統(tǒng)的理論研究和空間實(shí)驗(yàn)很少。不過，該系統(tǒng)的理論模型與繩系衛(wèi)星有很高的相似性。

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(Tethered satellite system，TSS)主要是指由兩顆衛(wèi)星(一般根據(jù)功能區(qū)分為主星、子星)和一根系繩組成的二體航天器。自20世紀(jì)提出以來，因其在清除空間碎片[1]、軌道轉(zhuǎn)移[2]、人工重力[3]、系繩編隊(duì)[4]等方面具有重要的應(yīng)用，受到研究人員的的持續(xù)關(guān)注[5]。在目前已經(jīng)開展的繩系衛(wèi)星實(shí)驗(yàn)中，系繩的材料以非導(dǎo)電材料為主，這種材料柔性大，易彎折；普通的金屬材料系繩雖然能導(dǎo)電，但重量大，不易收納和展開。這兩類材料都不具備充當(dāng)空間超長天線材料的可能。碳納米管作為一種新型高分子材料，密度低，導(dǎo)電性能好，延展性強(qiáng)。千米級的碳納米管繩，可以被收納到容積為2L的盒子里，這就為空間超長天線系統(tǒng)的構(gòu)建提供了材料上的支持。

搭載著超長天線的衛(wèi)星進(jìn)入軌道后，其最終目的是將千米級的天線展開，并保持對地穩(wěn)定，如此才能完成信號的傳輸。因此對于空間天線展開的動力學(xué)建模尤為重要。參考繩系衛(wèi)星的研究，對于展開過程的動力學(xué)建模主要有以下幾種方法[6]：1)運(yùn)用Lagrange方程建立的桿模型(啞鈴模型)[7]；2)運(yùn)用牛頓第二定律的珠鏈?zhǔn)侥Ｐ停?)運(yùn)用絕對坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)法的有限元模型。

趙國偉等[8]基于啞鈴模型設(shè)計了繩系衛(wèi)星軌道機(jī)動中的連續(xù)推理控制方法。William[9]則在剛性桿的基礎(chǔ)上設(shè)計了繩系衛(wèi)星對于目標(biāo)捕獲的控制方法。朱兵等[10]針對啞鈴模型提出了一種新的離散控制繩系無超調(diào)釋放的方法。楊育偉[11]等研究了系統(tǒng)參數(shù)對電動力繩系動力學(xué)的影響。胡仄虹等[12]基于珠鏈?zhǔn)侥Ｐ徒⒘丝臻g繩系機(jī)器人的動力學(xué)方程組，并給出了一種高效時域求解算法。Mankala等[13]采用有限元法建立了系繩釋放和回收兩個過程的動力學(xué)模型，并進(jìn)行了離散化求解。Ellis等[14]基于有限元模型完成了電動力系繩建模工作。

珠鏈?zhǔn)侥Ｐ秃陀邢拊Ｐ蜑榱颂岣呔缺仨氃黾酉喈?dāng)數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)，但這會增加計算量和求解的復(fù)雜性。而在以往采用Lagrange法建立的桿模型中，經(jīng)常忽略系繩的質(zhì)量、彈性以及在系繩釋放過程中整個系統(tǒng)質(zhì)心的變化。剛性桿模型不能體現(xiàn)出系繩在釋放過程中的彈性勢能的變化以及其中的阻尼損耗。對于釋放過程的穩(wěn)定性，大部分的研究都著重于控制方法的設(shè)計，忽視了釋放條件對于系統(tǒng)的影響。

針對上述研究中的不足，本文依托北理工2號衛(wèi)星(BP-2)的工程項(xiàng)目，采用Lagrange法建立了有彈性、有阻尼、變質(zhì)量的動力學(xué)方程來描述超長波天線繩系系統(tǒng)的釋放過程，并根據(jù)釋放條件對于系統(tǒng)的影響情況，設(shè)計了最優(yōu)釋放初值。

1 繩系系統(tǒng)建模

1.1 系統(tǒng)組成

超長波天線繩系系統(tǒng)由兩顆衛(wèi)星和一根千米級的碳納米管繩組成，兩顆衛(wèi)星根據(jù)功能區(qū)分為主星、子星。衛(wèi)星發(fā)射前，主星和子星通過爆炸螺栓緊固連接在一起，碳納米管繩盤繞在收納盒中。

北理工2號衛(wèi)星計劃運(yùn)行在軌道高度370km、軌道傾角97°的太陽同步軌道上。發(fā)射入軌后，衛(wèi)星在空間飛行試驗(yàn)中解鎖爆炸螺栓，由彈簧將主星和子星推離，初始相對速度約1m/s。系繩為純碳納米管材料，總長度1080m，直徑約1mm，線密度為0.8g/m。

1.2 坐標(biāo)系定義

為描述繩系系統(tǒng)在空間的運(yùn)動狀態(tài)，本節(jié)將介紹下列3組坐標(biāo)系：

1)地心慣性坐標(biāo)系：以地心O1為原點(diǎn)，X1軸指向春分點(diǎn)，Z1軸與地球自轉(zhuǎn)軸方向一致，Y1軸由右手法則確定；

2)軌道坐標(biāo)系：以繩系系統(tǒng)的質(zhì)心O為原點(diǎn)，Z2軸指向地心，X2軸指向系統(tǒng)飛行的方向，Y2軸由右手法則確定；

3)本體坐標(biāo)系：以繩系系統(tǒng)的質(zhì)心O為原點(diǎn)，由主星指向子星的方向?yàn)閆軸。本體坐標(biāo)系可由軌道坐標(biāo)系經(jīng)過2次旋轉(zhuǎn)得到，2次旋轉(zhuǎn)的角度記為θ和φ，稱為繩系系統(tǒng)的面內(nèi)角和面外角。釋放繩長l、面內(nèi)角θ和面外角φ，描述了空間繩系系統(tǒng)的基礎(chǔ)運(yùn)動狀態(tài)。

圖1 北理工2號繩系衛(wèi)星的連接方式

圖2(a) 慣性系與軌道系

圖2(b) 軌道系與本體系

1.3 釋放階段動力學(xué)方程建立

繩系系統(tǒng)釋放階段的動力學(xué)服從理想約束條件，因此采用分析力學(xué)的方法推導(dǎo)動力學(xué)方程。這種方法需要先計算系統(tǒng)的動能和勢能。為使建立的模型可計算可分析，現(xiàn)做出如下幾個假設(shè)：

1)考慮到繩系系統(tǒng)從開始釋放到相對穩(wěn)定的時間遠(yuǎn)少于離軌時間，因此認(rèn)為在釋放期間，整個系統(tǒng)運(yùn)行在軌道高度不變的圓軌道上，忽略其他因素對于軌道的攝動影響；釋放過程中關(guān)閉電子收發(fā)裝置，無洛倫茲力的產(chǎn)生；

2)主星和子星在建模中視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其姿態(tài)對于系繩的影響；

3)系繩在釋放過程中始終呈直線，不考慮系繩的柔性。由于在實(shí)際的繩系衛(wèi)星實(shí)驗(yàn)中，系繩的長度常常達(dá)到千米級甚至十幾千米，因此在計算中需考慮系繩的質(zhì)量和彈性，同時也考慮系繩釋放過程中對于主星質(zhì)量的影響、對于系統(tǒng)質(zhì)心的影響。

各部分質(zhì)量表達(dá)式為

(1)

考慮系繩質(zhì)量變化和系統(tǒng)質(zhì)心變化的等效質(zhì)量m*和m#表達(dá)式為

(2)

下面直接給出系統(tǒng)動能、重力勢能和彈性勢能的表達(dá)式[15]

(3)

取拉格朗日函數(shù)L=T-V1-V2，建立含有耗散函數(shù)的第二類拉格朗日方程

(4)

求解拉格朗日方程中需用到的等效質(zhì)量對時間和繩長的導(dǎo)數(shù)如下

(5)

三個廣義坐標(biāo)分別為q1=θ,q2=φ,q3=l。在自由釋放過程中，無主動力的控制和外界攝動力的作用，廣義力Qqi=0。

為提高方程解算精度，引入無量綱化處理

(6)

定義如下質(zhì)量系數(shù)

(7)

最終得到的無量綱化的動力學(xué)方程為

(8)

2 繩系釋放過程仿真

本節(jié)將對第1節(jié)中所建立的繩系釋放動力學(xué)模型進(jìn)行仿真計算，仿真環(huán)境為Windows 10，Matlab和ode45 Runge-Kutta積分器。仿真中所用的物理參數(shù)來源于北理工2號繩系衛(wèi)星。根據(jù)北理工2號衛(wèi)星的預(yù)設(shè)工況，本小節(jié)設(shè)置釋放初始面內(nèi)角θ0=5°，初始面外角φ0=1°，其余參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 北理工2號繩系衛(wèi)星參數(shù)

圖3和4展示了繩系系統(tǒng)的三個廣義坐標(biāo)隨時間的變化情況。從中可以分析出：系繩釋放長度在首次達(dá)到標(biāo)稱長度后，迅速下降至一個波谷，然后再次上升至標(biāo)稱長度，如此反復(fù)幾次。最終在系繩阻尼的作用下趨于穩(wěn)定，整個過程持續(xù)時間約為0.7個軌道周期。面內(nèi)角在釋放過程中會隨著時間進(jìn)行一定幅度的振蕩變化，且并不收斂。面外角在整個釋放過程中也隨時間進(jìn)行周期性振蕩，但其振蕩幅度始終很小(-0.6°～0.6°)。因此，可將三維空間內(nèi)的繩系衛(wèi)星釋放過程，簡化至二維平面內(nèi)。

圖3 無量綱繩長隨時間變化圖

結(jié)合3個廣義坐標(biāo)的變化情況，可以得出繩系系統(tǒng)釋放時的運(yùn)動規(guī)律。在釋放的初始階段，子星相對主星的運(yùn)動可以看成是遵循C-W方程的相對運(yùn)動。當(dāng)系繩釋放至標(biāo)稱長度時，其產(chǎn)生的張力促使子星迅速向主星所在方向回擺，主星和子星之間的距離縮短，系繩變?yōu)樗沙跔顟B(tài)，整個系統(tǒng)也進(jìn)入新的運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)兩顆立方星之間的距離再次達(dá)到標(biāo)稱長度時，系繩再次張緊，子星再次回擺，如此循環(huán)若干次最終由于系繩上的彈性勢能不斷被其阻尼耗散，系繩釋放長度趨于穩(wěn)定，兩顆立方星之間的距離也不再變化。但由于面內(nèi)角無法收斂，在無其它外力的擾動和控制下，子星將相對于主星做周期性的圓弧形擺動，擺動幅度為-15°～15°。

圖4 面內(nèi)角和面外角隨時間變化圖

3 釋放動力學(xué)特性分析

3.1 繩系釋放初值對于系統(tǒng)運(yùn)動的影響

在繩系系統(tǒng)開始釋放時，子星的相對運(yùn)動方向(即繩系系統(tǒng)面內(nèi)角初值)和速度大小，會影響到整個系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)和最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間。本小節(jié)對此進(jìn)行仿真計算，選取一組初始面內(nèi)角θ0=[5°,10°,20°,40°]和速度v0=[0.5,1,2,2.5]m/s。

圖5展示了在初始釋放速度為1 m/s的情況下，不同的面內(nèi)角初值對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的影響。隨著面內(nèi)角初值的增大，釋放完畢后系統(tǒng)面內(nèi)角的振蕩幅隨之減小。當(dāng)面內(nèi)角初值增加至40°時，最終的振蕩幅值大幅度降低(-5°～5°)。由此得出，面內(nèi)角初值即系繩釋放的初始方向，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有很大影響。另一方面，面外角的振蕩幅度同樣會隨著面內(nèi)角初值的增加而增加，但相比于面內(nèi)角仍然很小。

圖5 不同面內(nèi)角初值下的面內(nèi)角變化曲線

圖6和圖7展示了在初始面內(nèi)角為5°的情況下，釋放初速度對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的影響。當(dāng)初速度為2.5m/s時，繩系系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)相比于1 m/s時，都產(chǎn)生了較大的變化。面內(nèi)角在-50°～50°的范圍內(nèi)大幅度振蕩；預(yù)設(shè)工況下振蕩幅度很小的面外角振幅也達(dá)到了-8°～8°，系統(tǒng)有隨時翻轉(zhuǎn)、失穩(wěn)的可能，抗干擾能力很弱。由此可見，應(yīng)將2.5m/s設(shè)為釋放初速度的安全上限。

圖6 不同釋放初速度下的面內(nèi)角變化曲線

圖7 不同釋放初速度下的面外角變化曲線

3.2 系繩最優(yōu)釋放初值分析

已有文獻(xiàn)表明[17]當(dāng)系繩擺角接近50°，系繩會松弛。若繩的擺幅過大，如90°，此時，主星和子星之間的重力梯度力會消失，在外界的輕微擾動下很容易導(dǎo)致整個繩系衛(wèi)星系統(tǒng)發(fā)生翻滾，使其空間任務(wù)失敗。

根據(jù)3.1小節(jié)中的研究，已經(jīng)初步得到面內(nèi)角和面外角的擺幅變化規(guī)律。本小節(jié)將會在一定區(qū)間內(nèi)采用遍歷法，尋找北理工2號繩系衛(wèi)星的最優(yōu)釋放初值。

給定面內(nèi)角初值區(qū)間[1°,40°]、釋放初速度區(qū)間[0.5,1.5]m/s。將繩系系統(tǒng)釋放穩(wěn)定后面內(nèi)角和面外角的擺動幅度(極值)分別記為θs和φs，通過遍歷法尋找兩者之和的最小值。

遍歷計算的結(jié)果如圖11所示，經(jīng)比較、檢驗(yàn)，當(dāng)θ0=35°、v0=1.15m/s時，繩系系統(tǒng)穩(wěn)定后的面內(nèi)角、面外角振蕩幅度最小，振蕩幅值之和在3°以下，相比于預(yù)設(shè)工況釋放條件下的運(yùn)動情況， 最優(yōu)釋放條件使整個系統(tǒng)的擺幅降低了80%，大大提高了穩(wěn)定性，也為后續(xù)的主動力控制減輕了負(fù)擔(dān)。

圖8 釋放初值與振蕩幅值的等值區(qū)域圖

4 結(jié)論

以空間超長波天線繩系系統(tǒng)為研究對象，依托北理工2號衛(wèi)星的實(shí)際工程參數(shù)，使用Lagrange方法，充分考慮系繩的質(zhì)量、彈性和阻尼耗散，建立了變質(zhì)量、變質(zhì)心的繩系系統(tǒng)釋放過程的動力學(xué)模型。分析了繩系釋放從開始到相對穩(wěn)定的全運(yùn)動過程，探究了系繩釋放初速度和面內(nèi)角初值對于系統(tǒng)運(yùn)動和穩(wěn)定性的影響，指出在一定范圍內(nèi)隨著面內(nèi)角初值的增加，系統(tǒng)最終的振蕩幅度會減小。計算得到系統(tǒng)的最優(yōu)釋放條件(θ0=35°、v0=1.15m/s)，為北理工2號衛(wèi)星繩系系統(tǒng)的工程方案設(shè)計提供了理論依據(jù)。