基于傅里葉級數(shù)的橢圓球面波信號時頻分析

趙樂源，劉傳輝，劉錫國，張 磊

（1.海軍航空大學，山東 煙臺 264001；2.山東省信號與信息處理重點實驗室，山東 煙臺 264001；3.中國人民解放軍92853 部隊，遼寧 葫蘆島 125000）

0 引 言

基于橢圓球面波（Prolate Spheroidal Wave Functions，PSWFs）信號的非正弦通信是近些年來提出的一種新型通信方式，其采用時域正交、頻域混疊的PSWFs 信號作為載波，突破了利用正余弦波信號進行信息傳輸?shù)膫鹘y(tǒng)思維。得益于PSWFs 信號具有雙完備正交性、時域波形奇偶對稱性、高時頻能量聚集性、時間帶寬積與頻譜靈活可控等優(yōu)良特性，基于PSWFs 信號的非正弦通信可直接在時頻域進行信號波形設(shè)計，具有信號波形設(shè)計靈活、高頻譜效率等諸多優(yōu)勢，是一種極具應(yīng)用前景的通信新體制。

時頻特性作為PSWFs 信號的基礎(chǔ)性質(zhì)之一，在基于PSWFs 信號的非正弦通信特別是時頻檢測中具有如下潛在應(yīng)用價值。傳統(tǒng)的PSWFs 調(diào)制信號的檢測大都采用基于正交性的相關(guān)檢測，在信道條件較好的情況下，檢測效果較好；而在信道條件較差正交性被破壞的情況下，檢測效果較差?；赑SWFs 信號的時頻檢測是根據(jù)PSWFs 信號的時頻特性，從時頻域中提取特征參量，如時頻峰值點、時頻中心點等，用以信號的檢測。此類方法根據(jù)PSWFs 信號的自身特性，有望實現(xiàn)檢測效果的提升。

PSWFs 信號時頻特性是時頻檢測的基礎(chǔ)。為進一步研究PSWFs 信號的時頻特性，文獻[9]采用Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）分析了PSWFs信號WVD 交叉項的時頻特性。文獻[10]采用平滑Wigner-Ville 分布（Smoothed Wigner-Ville Distribution，SWVD）分析了交叉項抑制情況下的PSWFs 信號時頻特性。文獻[11]采用短時傅里葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT）和S 變換（Stockwell Transform，ST）分析了線性時頻方法下的PSWFs 信號時頻特性。研究發(fā)現(xiàn)，WVD 時頻分辨率高，能夠獲取PSWFs 信號時頻域中更為精確的特征參量，對于PSWFs 信號時頻檢測具有重要意義。

然而，PSWFs 信號無閉式解析解，當前通常采用數(shù)值求解的方式產(chǎn)生，故對于PSWFs 信號時頻特性的研究是通過大量數(shù)值仿真實驗得來的。通過數(shù)值仿真得到的PSWFs 信號時頻特性，由于無顯式表達式，特別是PSWFs 信號某一頻率隨時間變化表達式，導致其時頻特性難以應(yīng)用于PSWFs 信號時頻檢測。

針對上述問題，本文引入傅里葉級數(shù)，將PSWFs 信號按傅里葉級數(shù)展開，分析PSWFs 信號每一頻率隨時間的變化情況，同時結(jié)合數(shù)值仿真，重點研究PSWFs 信號WVD 時頻中心點、時頻峰值點、時頻零點等特殊點隨自身參數(shù)（時間帶寬積、階數(shù)）之間的變化規(guī)律。

1 PSWFs 信號基本原理

PSWFs 信號定義和性質(zhì)是其應(yīng)用的基礎(chǔ)。下面簡要梳理PSWFs 信號的定義和奇偶對稱性，為PSWFs 信號傅里葉級數(shù)展開可行性及時頻分析奠定理論基礎(chǔ)。

文獻[1]定義的PSWFs 信號φ(,)由積分方程給出，PSWFs 信號積分方程表達式為：

PSWFs 信號具有奇偶對稱性，其對稱性與階數(shù)相關(guān)，滿足：

2 基于傅里葉級數(shù)的PSWFs 信號時頻特性分析

文獻[12]指出，任意波形總能進行譜分解，分解為不同頻率、不同振幅的簡諧波的線性疊加。PSWFs 信號作為一類非正弦非平穩(wěn)信號，雖無閉式解析表達式，但可以由傅里葉級數(shù)進行表征。下面首先分析PSWFs 信號的傅里葉級數(shù)展開式，然后將PSWFs 信號傅里葉級數(shù)展開式與WVD 相結(jié)合，分析PSWFs 信號頻率隨時間的變化情況。

2.1 基于傅里葉級數(shù)的PSWFs 信號WVD 展開

式中：

PS WFs 信號具有奇偶對稱性，故可對式（3）作進一步簡化，偶數(shù)階PSWFs 信號(,)和奇數(shù)階PSWFs 信號(,)可分別表示為：

與一般信號一致，根據(jù)文獻[13]，PSWFs 信號WVD可表示為：

將式（6）代入式（8），并化簡得偶數(shù)階PSWFs 信號WVD(,)表示為：

將式（7）代入到式（8），并化簡得奇數(shù)階PSWFs 信號WVD(),表示為：

通過式（9）、式（10），即可分析PSWFs 信號某一特定頻率幅值隨時間的變化情況。

2.2 特性分析

下面結(jié)合PSWFs 信號基本原理及2.1 節(jié)分析，對PSWFs 信號WVD 對稱性、時頻中心點進行研究。

特性1：PSWFs 信號WVD 關(guān)于時間軸對稱、頻率軸對稱，且關(guān)于=0，=0 中心對稱。

證明：

由式（2）、式（8）可得：

由式（11）可知，PSWFs 信號WVD 關(guān)于時間軸對稱。

此外，由式（2）、式（8）可得：

由式（12）可知，PSWFs 信號WVD 關(guān)于頻率軸對稱。

另外，結(jié)合式（11）、式（12）可得：

由式（13）可知，PSWFs 信號WVD 關(guān)于=0，=0 中心對稱。

證畢。

特性2：PSWFs 信號WVD 時頻中心點幅值極性與PSWFs 信號階數(shù)有關(guān)。階數(shù)為偶數(shù)時，PSWFs 信號WVD時頻中心點幅值極性為正；階數(shù)為奇數(shù)時，PSWFs 信號WVD 時頻中心點幅值極性為負。

證明：

令=0，即在0 頻率處，式（9）可簡化為：

式（14）表明，在0 頻率處，偶數(shù)階PSWFs 信號時間分布為余弦信號的疊加。

令=0，即在0 時間處，式（9）可簡化為：

式（15）表明，在0 時間處，偶數(shù)階PSWFs 信號頻率分布為各頻率處沖激函數(shù)的疊加。

令式（9）中，=0，=0，則偶數(shù)階PSWFs 信號WVD 在時頻中心為：

令=0，即在0 頻率處，式（10）可簡化為：

式（17）表明，在0 頻率處，奇數(shù)階PSWFs 信號時間分布為余弦信號的疊加。

令=0，即在0 時間處，式（10）可簡化為：

式（18）表明，在0 時間處，奇數(shù)階PSWFs 信號頻率分布為沖激函數(shù)的疊加。令式（10）中，=0，=0，則奇數(shù)階PSWFs 信號WVD 在時頻中心為：

證畢。

3 數(shù)值仿真

基于傅里葉級數(shù)的PSWFs 信號WVD，可分析PSWFs 信號某一頻率隨時間變化情況。但PSWFs 信號無閉式解析解，無法通過顯式表達式完全分析其時頻特性。下面結(jié)合數(shù)值仿真，驗證理論分析的正確性；同時，進一步利用數(shù)值仿真探索基于WVD 的PSWFs 信號時頻特性。

為便于總結(jié)特性規(guī)律，下面引入時頻峰值點(,)概念，時頻峰值點(,)對應(yīng)的幅值 |(,)|滿足：

式中，(+Δ,+Δ)為PSWFs 信號時頻峰值點(,)鄰域，時頻峰值點示意圖如圖1 中點所示。

圖1 時頻峰值點示意圖

系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

3.1 PSWFs 信 號WVD 情 況

圖2 給出了時間帶寬積為4 Hz·s 的0～3 階PSWFs信號WVD，將時間區(qū)間移到了[0，2 s]。

圖2 PSWFs 信號WVD

由數(shù)值仿真結(jié)果可知：

1）PSWFs 信 號WVD 關(guān) 于 時 間 軸=1.0 s 對 稱，關(guān)于頻率軸=0 對稱，且關(guān)于（1.0 s，0）中心對稱，與理論分析一致。

2）0 階PSWFs 信號與2 階PSWFs 信 號 在WVD 時頻中心（1.0 s，0）幅值為正，1 階PSWFs 信號與3 階PSWFs信號在WVD 時頻中心（1.0 s，0）幅值為負，與理論分析一致。

3）0～3 階PSWFs 信號在WVD 時頻中心（1.0 s，0）都含有一個時頻峰值點，如圖2a）～圖2d）中點所示。但隨著階數(shù)增加，PSWFs 信號峰值點數(shù)量增加，如1 階PSWFs 信號除在WVD 時頻中心有一個峰值點外，在時頻中心外環(huán)也含有時頻峰值點，如圖2b）中處所示。并且，時頻峰值點連線組成時頻峰值圈。

4）若將PSWFs 信號WVD 時頻峰值點也看作一個特殊的峰值圈，則PSWFs 信號WVD 時頻峰值圈數(shù)量與PSWFs 信號階數(shù)有關(guān)，滿足=+1。如2 階PSWFs信號，含有3 個時頻峰值圈（或點），如圖2c）中，，所示；3 階PSWFs 信號，含有4 個時頻峰值圈（或點），如圖2d）中，，，所示。

3.2 PSWFs 信號頻率幅值隨時間變化情況

由3.1 節(jié)分析可知，0 頻率作為PSWFs 信號的中心頻率，對于時頻提取具有重要參考意義。下面結(jié)合基于傅 里 葉 級 數(shù) 的PSWFs 信 號WVD 展 開，對5 階、6 階PSWFs 信號0 頻率幅值隨時間變化情況展開分析?？紤]到PSWFs 信號無顯式表達式，難以通過顯式表達式分析PSWFs 信號0 頻率幅值隨時間帶寬積、階數(shù)變化情況，下面結(jié)合數(shù)值仿真進行分析。

圖3 給出了在不同時間帶寬積下，第5 階、第6 階PSWFs 信號0 頻率幅值隨時間變化情況。

圖3 PSWFs 信號0 頻率幅值隨時間變化情況

由數(shù)值仿真結(jié)果可知：

1）PSWFs信號0頻率幅值隨時間非平穩(wěn)變化，第5階PSWFs 信號含有6 個極大值點，5 個極小值點，10 個過零點；第6 階PSWFs 信號含有7 個極大值點，6 個極小值點，12 個過零點。結(jié)合其他階PSWFs 信號情況，第階PSWFs 信號0 頻率幅值隨時間變化，在給定時長內(nèi)，含有+1 個極大值點，個極小值點，2個過零點。

2）由時間區(qū)間中心向時間區(qū)間兩端，各個極點幅值的絕對值逐漸減小。

3）對于第個極值點t，隨著時間帶寬積逐漸增大，極值點t的位置逐漸向時間中心=1.0 s 移動。而極值點含有信號較大的能量，故隨著時間帶寬積的增大，0 頻率處信號能量逐漸向時間中心聚集。

4 結(jié) 語

針對數(shù)值仿真無法給出PSWFs 信號某一頻率隨時間變化顯式表達式的問題，本文引入傅里葉級數(shù)，將PSWFs 信號按傅里葉級數(shù)展開，利用WVD 分析每一頻率隨時間變化情況，并重點研究了PSWFs 信號WVD 時頻中心點、時頻峰值點、時頻零點等特殊點隨自身參數(shù)（時間帶寬積、階數(shù)）之間的變化規(guī)律。相關(guān)結(jié)論及方法可為PSWFs 信號時頻檢測提供重要理論參考價值，如時頻中心點、0 頻率處幅值隨時間變化情況，可作為重要特征參量用于時頻檢測，這也是下一步研究的方向。