“等時(shí)圓”對(duì)折射定律的表示意義

黃 偉 陳 珂

（1.湖北漢川一中，湖北 孝感 431600；2.武漢光谷教育發(fā)展研究院，湖北 武漢 430000）

折射定律概括了光線在不同光介質(zhì)中傳播的基本規(guī)律.折射定律是幾何光學(xué)的基本原理，它的發(fā)現(xiàn)奠定了幾何光學(xué)的定量地位.折射定律有3種表示方式，分別是斯涅耳原理、費(fèi)馬原理、惠更斯原理.

1 折射定律的發(fā)展及深入理解

公元2世紀(jì)，古希臘人托勒密（約90—168）通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了光的折射現(xiàn)象，并得出“折射角與入射角成正比”的結(jié)論.1611年，德國(guó)科學(xué)家開普勒（1571—1630）在其系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，寫成了《折射光》一書，指出托勒密的折射定律只適用于入射角小于30°的情況.他認(rèn)為折射角是由兩部分組成的，一部分正比于入射角，另一部分正比于入射角的正割，對(duì)折射定律的研究開普勒比托勒密前進(jìn)了一步，但他沒(méi)找到折射定律的正確形式.

1.1 斯涅耳的折射定律

折射定律物理上的正確表述最早是由荷蘭數(shù)學(xué)家斯涅耳（1591—1626）于1621年由實(shí)驗(yàn)得出，他作了這樣的表述：對(duì)于給定的兩種介質(zhì)，入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值.他研究了水中的物體看起來(lái)像漂浮的現(xiàn)象，如圖1所示，當(dāng)從空氣中的A點(diǎn)觀察水中的B點(diǎn)時(shí)，猶如在E點(diǎn)一樣.斯涅耳發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意入射角，存在以下關(guān)系

圖1

斯涅耳得出這一定律，但他在世時(shí)并未公開發(fā)表，1626年，惠更斯閱讀其遺稿后，才正式發(fā)表.斯涅耳的折射定律只是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，沒(méi)有作理論上的推導(dǎo).

1.2 費(fèi)馬原理與折射定律

費(fèi)馬原理為折射定律提供了嚴(yán)格準(zhǔn)確的證明.

法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601～1665）在1662年提出：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.“取極值”在數(shù)學(xué)上可理解為一階導(dǎo)數(shù)為0，它可以是極大值、極小值甚至是拐點(diǎn).用光程表示的費(fèi)馬原理為

參考圖1，若光從A點(diǎn)出射通過(guò)分界面到達(dá)B點(diǎn)，設(shè)介質(zhì)1中光速為v1，介質(zhì)2中光速為v2，令A(yù)C=a，BD=b，CD=l，CO=x，則通過(guò)的時(shí)間為

費(fèi)馬原理還可表述為：在所有可能的光傳播途徑中，實(shí)際路徑所需的時(shí)間取極值.

1.3 惠更斯原理與折射定律

惠更斯原理從光的波動(dòng)說(shuō)的角度更加形象地解釋了折射定律.

荷蘭物理學(xué)家惠更斯（1629—1695）在1690年出版的《光論》一書中正式提出了光的波動(dòng)說(shuō)，建立了著名的惠更斯原理（后發(fā)展為“惠更斯-菲涅耳原理”）.在此原理基礎(chǔ)上，他推導(dǎo)出了光的反射和折射定律，圓滿地解釋了光速在光密介質(zhì)中減小的原因.

惠更斯原理指出：介質(zhì)中任一波面上的各點(diǎn)，都可以看作發(fā)射子波的波源，其后任意時(shí)刻，這些子波在波前進(jìn)方向的包絡(luò)面就是新的波面.如圖2所示，由惠更斯原理，O、B為同一波面上的兩點(diǎn)，經(jīng)Δt后，O點(diǎn)發(fā)射的子波到達(dá)界面處A點(diǎn)，B點(diǎn)發(fā)射的子波到達(dá)C點(diǎn)，由于

圖2

2 惠更斯原理下“等時(shí)圓”的幾何表示

惠更斯用波前的概念表示光波的傳播，如圖2是惠更斯原理的幾何三角形的表示，三角形表示的意義在于直觀呈現(xiàn)在不同介質(zhì)中，光線行進(jìn)方向的轉(zhuǎn)向關(guān)系.幾何三角形還可以被“等時(shí)圓”的形式等價(jià)表示，“等時(shí)圓”表示的意義在于直觀呈現(xiàn)不同折射率光線相同時(shí)間的光程大小關(guān)系.

2.1 惠更斯“等時(shí)圓”模型

如圖3所示，一束白光從真空射入某種介質(zhì)中，發(fā)生折射后，各種單色光到達(dá)以入射點(diǎn)O為端點(diǎn)、界面為直徑的一個(gè)幾何圓周上的時(shí)間相等，與折射率無(wú)關(guān).

圖3

證明：如圖4所示，OB為其中一束折射光線，設(shè)入射角為θ，折射角為α，圓的半徑為R，則此束光線在介質(zhì)中從O傳到B的時(shí)間

圖4

2.2 模型拓展

復(fù)色光從真空射入平行透明磚色散的兩個(gè)推論.

推論1：折射角為45°的折射光通過(guò)平行透明磚時(shí)間最短.

證明：如圖5所示，以入射點(diǎn)O為端點(diǎn)，上界面為直徑作圓，與下界面相切于B點(diǎn)，由惠更斯“等時(shí)圓”可知，折射光線OB在介質(zhì)中傳播時(shí)間最短，此時(shí)折射角為45°.

圖5

推論2：折射角互余（關(guān)于折射角為45°折射光線角對(duì)稱）的兩束折射光通過(guò)平行透明磚時(shí)間相等.

證明：如圖6所示，由惠更斯“等時(shí)圓”可知，折射光線OA、OC在介質(zhì)中傳播的時(shí)間相等，由圓的幾何對(duì)稱關(guān)系可得，其折射角∠POA與∠POC互余，即關(guān)于折射角為45°折射光線角對(duì)稱.

圖6

2.3 模型應(yīng)用

例1.（2008年全國(guó)卷Ⅰ第21題改編）如圖7所示，一束由紅、藍(lán)兩單色光組成的光線從一平行透明磚上表面以入射角θ射入，穿過(guò)平行透明磚自下表面射出，則在θ從0°逐漸增大至90°的過(guò)程中，求哪種色光先射出透明磚（設(shè)平行透明磚厚度為d，對(duì)紅光折射率為n1，對(duì)藍(lán)光折射率為n2）.

圖7

解析：（1）用折射定律求解.

設(shè)紅光與藍(lán)光穿過(guò)磚所用時(shí)間為t1和t2，根據(jù)路程，折射率，速度，可得時(shí)間，原高考題中n=1.5，進(jìn)1一步計(jì)算可得t1＜t2.

這類題目一般以選擇題的形式出現(xiàn)，利用折射定律求解計(jì)算量較大，若介質(zhì)折射率未知?jiǎng)t需分類討論，更為復(fù)雜.

（2）“等時(shí)圓”圖解很直觀.

例1中，當(dāng)入射角為θ=90°、折射角為α=45°時(shí)，

圖8

（a）當(dāng)入射角為臨界角θ0時(shí)，如圖9所示，紅光、藍(lán)光同時(shí)射出透明磚.

圖9

（b）當(dāng)入射角小于臨界角θ0時(shí)，如圖8所示，紅光先射出透明磚.

（c）當(dāng)入射角大于臨界角θ0時(shí)，如圖10所示，藍(lán)光先射出透明磚.

圖10

例2.如圖11所示，某玻璃磚的橫截面是等腰直角三角形，一束由紅藍(lán)兩色組成的復(fù)色光從AB邊的O點(diǎn)平行于BC邊射入后，兩種色光均在BC發(fā)生全反射后首次從AC邊射出玻璃磚，求哪種色光先射出透明磚.

圖11

解析：“等時(shí)圓”圖解.如圖12所示，構(gòu)建正方形平行玻璃磚ABDC，由幾何對(duì)稱關(guān)系可知，紅光由O傳到E與O傳到E′的時(shí)間相等，藍(lán)光由O傳到F與O傳到F′的時(shí)間相等，由上述平行透明磚的推論可知，紅光先射出玻璃磚.

圖12

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，利用惠更斯“等時(shí)圓”比較光通過(guò)平行玻璃磚的時(shí)間非常形象直觀，“等時(shí)圓”表示折射定律使其物理意義得以更加明確地體現(xiàn).在教學(xué)中，加強(qiáng)“物理模型”的構(gòu)建與轉(zhuǎn)化應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、發(fā)展學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng).