數(shù)學(xué)文化視域下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)
——以“和的奇偶性”的教學(xué)為例

江蘇揚(yáng)州市汶河小學(xué)（225100）余 璟

數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定律（知識(shí)性成分）是顯性的數(shù)學(xué)文化，而貫穿其間的數(shù)學(xué)思想、理性精神、數(shù)學(xué)方法（觀念性成分）則是數(shù)學(xué)文化的精神實(shí)體，這種蘊(yùn)藏在知識(shí)性成分背后的觀念性成分（也叫隱性數(shù)學(xué)文化）則是數(shù)學(xué)文化的核心和靈魂所在。下面，筆者結(jié)合“和的奇偶性”一課，從數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐視角談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

視角一：舉例

在規(guī)律探究的過程中，有教師認(rèn)為應(yīng)教授學(xué)生用推理的模式進(jìn)行探究。而筆者卻認(rèn)為，推理是從現(xiàn)象到本質(zhì)的一種追尋，而舉例卻是反其道而行之的、契合學(xué)生思維的一種歸納。

相比較而言，舉例是驗(yàn)證規(guī)律的最直接的手段。就本節(jié)課“和的奇偶性”舉例活動(dòng)的反饋來看，學(xué)生的思維高下直接顯現(xiàn)：有的學(xué)生以較小的自然數(shù)逐一列舉，并沒有考慮不同的類型，而有的學(xué)生所舉的例子體現(xiàn)出差異性，不但考慮到不同情況（有加數(shù)數(shù)位的不同，有加數(shù)個(gè)位數(shù)字的不同），還考慮到0這樣的特殊數(shù)。通過這個(gè)活動(dòng)，所有學(xué)生都能在自己原有的知識(shí)基礎(chǔ)上獲得真正的思考與探究。當(dāng)然，選擇舉例并不是排斥使用其他方法，只不過有所側(cè)重，因?yàn)檫@些例子對(duì)學(xué)生來說是最方便的，在驗(yàn)證時(shí)懂得用有限的例子闡述自己的猜想，說明學(xué)生的思考勢(shì)必要經(jīng)歷一個(gè)從有限到無限的擴(kuò)展過程。如果在此過程能夠給予學(xué)生充分的時(shí)間引發(fā)他們反思，引導(dǎo)他們從反例上去琢磨，便能與用數(shù)學(xué)文化思想育人的步調(diào)保持一致，也為學(xué)生的后續(xù)習(xí)得經(jīng)驗(yàn)提供強(qiáng)有力的支撐。

視角二：猜想

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說，真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想并加以證實(shí)。因此，猜想、驗(yàn)證都是重要的思想方法，也是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)采用的基本策略。

“和的奇偶性”是在學(xué)生掌握了奇偶數(shù)概念，并掌握一定的研究、猜想、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)方法之后展開教學(xué)的。對(duì)于這節(jié)活動(dòng)課，如果教師的教學(xué)目標(biāo)僅限于讓學(xué)生掌握和的奇偶性特征，那么學(xué)生只要記住結(jié)論，然后套用結(jié)論進(jìn)行判斷即可。很顯然，這種模仿式的判斷只是一種形式化的教學(xué)，很難讓學(xué)生真正達(dá)到對(duì)問題本質(zhì)的理解，更難培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的意識(shí)與眼光，也就無法真正讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，當(dāng)學(xué)生能夠運(yùn)用舉例的方式發(fā)現(xiàn)“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”的猜想時(shí)，筆者并沒有簡(jiǎn)單地讓學(xué)生進(jìn)行形式化的演繹和驗(yàn)證，而是適時(shí)啟發(fā)：“同學(xué)們能根據(jù)平時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)，通過舉例后提出了猜想，并在舉例時(shí)能夠考慮不同類型，比如加數(shù)位數(shù)不同、個(gè)位數(shù)字不同……不過，這樣的例子舉得完嗎？萬一有個(gè)例子不符合結(jié)論怎么辦？該如何驗(yàn)證猜想的正確性？”并據(jù)此帶領(lǐng)學(xué)生展開深度探究。借助學(xué)生的各種表達(dá)方式（用字母表示、數(shù)形結(jié)合，以及只考慮加數(shù)個(gè)位數(shù)的和的結(jié)果等），讓學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)，使學(xué)生“知其然”，更“知其所以然”，感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，以及懂得數(shù)學(xué)是一門講理的學(xué)科。在教師不斷追問“為什么”的過程中，學(xué)生的理解也由表及里、由淺入深，這無形之中形成的批判意識(shí)和質(zhì)疑精神為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定了重要基石，同時(shí)也彰顯了數(shù)學(xué)文化的育人功能。

視角三：建模

伽利略曾說：“宇宙是永遠(yuǎn)放在我們面前的一本大書，哲學(xué)就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號(hào)，就不能理解它。這本書是用數(shù)學(xué)寫的，它的符號(hào)是三角形、圓和其他圖形，不借助于它們就一個(gè)字也看不懂，沒有它們就只會(huì)在黑暗的迷宮里躑躅?！蔽覀冎?，數(shù)學(xué)模型是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)最精妙的概括，是數(shù)學(xué)抽象性特征的具體體現(xiàn)。因此，在嚴(yán)格意義上來說，建模既是數(shù)學(xué)教學(xué)的手段和方法，更是一種基本的數(shù)學(xué)思想。

“和的奇偶性”一課的知識(shí)起點(diǎn)并不高，對(duì)學(xué)生而言貌似是“不教也會(huì)”的內(nèi)容，但事實(shí)果真如此嗎？實(shí)際上，學(xué)生對(duì)這些知識(shí)只是“知其然”，而“不知其所以然”，對(duì)于知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想、方法大都是一知半解而已。教師一定要從數(shù)學(xué)文化的視角對(duì)教材作深度挖掘與思考。

【片段1】筆者引導(dǎo)學(xué)生判斷36+28的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，36+6+20+32的和呢？36+1+9+3+5的和呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個(gè)算式的結(jié)果都是偶數(shù)，而最后一個(gè)算式中，在“36”后面依次添上“+1”“+9”“+3”“+5”時(shí)，和有時(shí)是奇數(shù)，有時(shí)是偶數(shù)。由此，學(xué)生根據(jù)直覺猜測(cè)和的奇偶性與算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)。于是，筆者出示學(xué)習(xí)單（如圖1）。

圖1

筆者以兩個(gè)問題追問學(xué)生：（1）幾個(gè)非0自然數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，關(guān)鍵看什么？（2）和的奇偶性與算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？一下子將學(xué)生對(duì)2個(gè)數(shù)的和的奇偶性的認(rèn)知擴(kuò)大到3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)……將關(guān)注點(diǎn)聚焦于奇數(shù)的個(gè)數(shù)上，使學(xué)生對(duì)知識(shí)“知其然”，更“知其所以然”，這為課程的推進(jìn)起到了較強(qiáng)的推動(dòng)作用，從而為全課營(yíng)造基于疑問的認(rèn)知場(chǎng)，使得學(xué)生的答案精彩紛呈。

生1：偶數(shù)的個(gè)數(shù)不管是2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)……它們的和的奇偶性并沒有變化，也就是n個(gè)非0偶數(shù)的和仍然是偶數(shù)。

生2：隨著奇數(shù)個(gè)數(shù)的增加，它們的和的奇偶性隨之發(fā)生變化。當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是1、3、5、7……時(shí)，它們的和是奇數(shù)；當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2、4、6、8……時(shí)，它們的和是偶數(shù)。也就是n個(gè)奇數(shù)的和有可能是奇數(shù)，也有可能是偶數(shù)。

師（追問）：這樣看來，判斷n個(gè)數(shù)相加的和的奇偶性，我們只要看什么就行了？起決定作用的是什么？

生（齊）：奇數(shù)的個(gè)數(shù)。

師：當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，和就是奇數(shù)；當(dāng)奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，和就是偶數(shù)。

生3：在既有奇數(shù)也有偶數(shù)的加法算式中，如果僅僅增加偶數(shù)的個(gè)數(shù)，和的奇偶性不改變。但是增加奇數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，如果增加偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，和的奇偶性不變；如果增加奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，和的奇偶性改變。

嚴(yán)密的思維和清晰的表達(dá)是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的學(xué)習(xí)要求。此時(shí)，這張為學(xué)生搭建認(rèn)知結(jié)構(gòu)平臺(tái)的學(xué)習(xí)單，成為他們不斷分析、思考、演繹、歸納的場(chǎng)所。在學(xué)生不斷思考構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)習(xí)單中的表格充當(dāng)了學(xué)生不斷建模的理想“模具”，于無形中幫助學(xué)生拓展了新的模型，也剛好符合數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值要求。

視角四：表征

真正的數(shù)學(xué)文化蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過程之中，它有著本身自帶的文化生命。對(duì)學(xué)生來說，使他們感到困惑的內(nèi)容，往往是蘊(yùn)藏在知識(shí)背后的、反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想觀念。因此，教師應(yīng)將教材中沒有顯現(xiàn)出來的，或?qū)W生理解存在困惑之處進(jìn)行加工再創(chuàng)造，使得隱藏于數(shù)學(xué)知識(shí)里的邏輯規(guī)律顯現(xiàn)。

【片段2】奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。兩個(gè)自然數(shù)相加，和的奇偶性為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢？

師：要解決這個(gè)問題，我們先來認(rèn)識(shí)一位重要的人物——華羅庚。華羅庚是我國著名的數(shù)學(xué)家，他有一句非常重要的話——數(shù)形結(jié)合百般好。這句話是什么意思呢？為什么數(shù)和形結(jié)合好處多呢？剛才我們研究這三條規(guī)律時(shí)都采用了舉例的方式，其實(shí)我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅要回答老師提出的問題，更重要的是自己能提出有價(jià)值的問題。下面小組合作討論，任選一條規(guī)律，用你喜歡的方式驗(yàn)證它是否適合所有的算式。

（學(xué)生反饋如圖2、圖3、圖4）

圖3

圖4

筆者用這樣一個(gè)敞開式的話題勾起了學(xué)生交流的欲望。學(xué)生有的用具體數(shù)值計(jì)算（如圖2），有的采用字母表征的方式（如圖3），有的考慮個(gè)位相加的情況，有的依據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的本質(zhì)特點(diǎn)——能否被2整除來闡述（如圖4）……這樣的過程呈現(xiàn)的是學(xué)生原生態(tài)的思維方式。

【片段3】

如圖5，當(dāng)學(xué)生演繹出“2a+2b+2c+1=2（a+b+c）+1”的字母表達(dá)式時(shí)，儼然已經(jīng)超出了本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)定位，但筆者并沒有阻止學(xué)生繼續(xù)思考，而是給學(xué)生搭建必要的支架，讓他們的思考路徑、思考方法順勢(shì)而為，因?yàn)檫@樣的探究更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的活力，碰撞出新火花。在這種相輔相成的互動(dòng)中，演繹出字母表達(dá)式的學(xué)生自身也能夠因同伴的啟發(fā)而產(chǎn)生更深刻的思考。接著學(xué)生的思維，筆者用課件呈現(xiàn)學(xué)生的思路（如圖6）。

圖5

圖6

課件內(nèi)容的直觀呈現(xiàn)，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到“數(shù)形結(jié)合百般好”的優(yōu)勢(shì)所在。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心是認(rèn)同數(shù)學(xué)價(jià)值的內(nèi)在動(dòng)力，而對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值認(rèn)同的重要標(biāo)識(shí)顯然是對(duì)數(shù)學(xué)思想的體會(huì)及凝練。良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、言必有據(jù)的治學(xué)精神都是由數(shù)學(xué)縝密的邏輯思維方式所給予的。相信這樣一節(jié)充滿理性探究、動(dòng)態(tài)生成的課堂，勢(shì)必為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基石！