格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊子代數(shù)

姜曼，盧金梅

(1.西安交通工程學院公共課部， 陜西 西安 710300；2.鄭州輕工業(yè)大學數(shù)學與信息科學學院，河南 鄭州 450000)

0 引言

自從模糊集[1]的概念被提出后，模糊集已經(jīng)應用到生活中的各個方面.由于需要考慮元素之間非此即彼的關(guān)系，Atanassotv K[2]提出了直覺模糊集；為了解決生活中數(shù)據(jù)的區(qū)間性，Zadeh[3]提出了區(qū)間值模糊集；因為要處理不相容事物的兩極性，張文冉[4]提出了雙極值模糊集；由于自然界中的大部分問題的解決方案并不是確定的，Torra V[5]提出了猶豫模糊集；在Ω集的基礎(chǔ)上，Yong B J等[6]提出了Ω-模糊集.在模糊蘊涵代數(shù)[7]的基礎(chǔ)上，1993年徐揚[8]提出了格蘊涵代數(shù)的概念.有關(guān)模糊蘊涵代數(shù)的子代數(shù)的研究，現(xiàn)階段學者們做了大量工作:比如劉熠[9]等研究了區(qū)間值(α,β)模糊格蘊涵子代數(shù);秦學成等[10]在格蘊涵代數(shù)研究了區(qū)間值模糊子代數(shù);傅小波等[11]研究了格蘊涵代數(shù)(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊子代數(shù);特別地，傅小波等[12-13]在格蘊涵代數(shù)中研究猶豫模糊LI理想與反猶豫模糊濾子.本研究把猶豫模糊集、Ω-模糊集與格蘊涵代數(shù)相結(jié)合，研究格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊子代數(shù)及其性質(zhì)，一系列結(jié)果對研究格蘊涵代數(shù)有重要的意義.

1 預備知識

定義1.1[14]設(shè)(L,∨,∧,′,→,O,I)是有界格，O是最小元，I是最大元，′：L→L是格中偏序≤的逆序?qū)蠈?，?L×L→L是一個映射.稱(L,∨,∧,′,→,O,I)是一個格蘊涵代數(shù)，如果?x,y,z∈L，滿足下列條件：

1)x→(y→z)=y→(x→z)；

2)x→x=I；

3)x→y=y′→x′；

4) 若x→y=y→x=I,則x=y；

5) (x→y)→y=(y→x)→x；

6) (x∨y)→y=(x→z)∧(y→z)；

7) (x∧y)→y=(x→z)∨(y→z).

簡稱L是格蘊涵代數(shù).

定義1.2[15]設(shè)X，Ω為非空給定集合，映射A：X×Ω→[0,1]稱為X的Ω-模糊集.

定義1.3[5]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合，一個X上的猶豫模糊集F的定義如下：

F:{(x,hF(x))|x∈X},

其中hF(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度.

設(shè)F為X中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集，稱集合

X(F,γ):={x∈X|γ?hF(x)}

為F的猶豫水平集，其中γ?P([0,1]).記X中的猶豫模糊集為HF(X).

定義1.4[5]對于F∈HF(X)，猶豫模糊元hF(x)的下界和上界分別定義如下：

下界:hF-(x)=minhF(x),上界:hF+(x)=maxhF(x).

猶豫模糊集的3基本運算補、并和交分別定義如下：

1)補：對于F∈HF(X)，它的補元Fc定義為：

hFc(x)=∪{1-h|h∈hF(x)},

補運算滿足對合律，即(Fc)c=F.

2)并：F,G∈HF(X)，F(xiàn)和G的并F∪G定義為：?x∈X,

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF-(x),hG-(x))}.

3)交：F和G的交F∩G定義為：

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≤min(hF+(x),hG+(x))}.

引理1.1[14]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，?x,y∈L，則

1)O→x=I,x→I=I,I→x=x,x→O=x′；

2)x≤y當且僅當x→x=I；

3)x∨y=(x→y)→y.

定義1.5[14]設(shè)A?L，稱A是L的一個格蘊涵子代數(shù).如果A滿足下列條件：

1)(A,∨,∧,′)是(L,∨,∧)的帶有逆序?qū)?、的有界子格?/p>

2)若x,y∈A,則有x→y∈A.

引理1.2[14]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，A是L的一個非空子集，則A是L的一個格蘊涵子代數(shù)，如果?x,y∈L，滿足下列條件：

1)O∈A,

2) 若x,y∈A,則有x→y∈A.

定義1.6[14]設(shè)L是格蘊涵代數(shù)，A是L的一個非空子集，則A是L一個模糊格蘊涵子代數(shù)，如果?x,y∈L，滿足下列條件：

1)A(I)=A(O)；

2)A(x→y)≥A(x)∧A(y).

引理1.3[8]設(shè)A是L的一個模糊格蘊涵子代數(shù)，則?x∈L，A(I)=A(O)?A(x).

定義1.7[14]設(shè)L,M是格蘊涵代數(shù)，稱蘊涵同態(tài)f:L→M為格蘊涵同態(tài)，如果?x,y∈L，滿足下列條件:

1)f(x→y)=f(x)→f(y)；

2)f(x∨y)=f(x)∨f(y)；

3)f(x∧y)=f(x)∧f(y)；

4)f(x′)=(f(x))′.

設(shè)映射f:L→M為格蘊涵同態(tài)，若f是單射，則稱f是單同態(tài)；若f是滿射，則f是滿同態(tài)；若f是雙射，則稱f是同構(gòu).

引理1.4[14]設(shè)L、M是格蘊涵代數(shù)，映射f:L→M為滿格蘊涵同態(tài)，則f(O)=O.

定義1.8[14]設(shè)L1、L2是格蘊涵代數(shù)，規(guī)定(L1×L2,∨,∧,′,→,O,I)的運算如下：

?x,y∈L1×L2，x=(x1,x2)，y=(y1,y2)，其中xi,yi∈Li(i=1,2).

1)x∧y=(x1∧x2,y1∧y2)；

2)x∨y=(x1∨x2,y1∨y2)；

4)x→y=(x1→x2,y1→y2)；

5)O=(O,O)，I=(I,I).

引理1.5[14]L1×L2在定義1.8 運算規(guī)定下構(gòu)成一個格蘊涵代數(shù).稱L1×L2為格蘊涵代數(shù)L1、L2的乘積格蘊涵代數(shù)，簡稱為直積.

說明：上述引理1.1～1.2，1.4～1.5，定義1.1，1.5～1.8在文獻[14]中第二章，本章系統(tǒng)介紹了格蘊涵代數(shù)的定義與基本性質(zhì)，子代數(shù)、直積，同態(tài)與同構(gòu)定理.

定義1.9[11]設(shè)A、B分別是格蘊涵代數(shù)L1、L2的模糊子集，?x,y∈L1×L2，定義映射：

A×B：L1×L2→[0,1]，(A×B)(x,y)=A(x)∧B(y)，

則A×B是L1×L2的模糊子集，并稱A×B是為A、B的直積.

2 格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊子代數(shù)

定義2.1設(shè)X，Ω為非空給定集合，映射A：X×Ω→P([0,1])稱為X的Ω-猶豫模糊集.記X上的全體Ω-猶豫模糊集為ΩHF[X].

定義2.2設(shè)A:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].如果?x,y∈L,?δ∈Ω，滿足下列條件：

1)hA(O,δ)?hA(x,δ)；

2)hA(x→y,δ)?hA(x,δ)∩hA(y,δ).

則稱A是L的Ω-猶豫模糊子代數(shù).記L的全體Ω-猶豫模糊子代數(shù)為ΩHFS[L].

定義2.3設(shè)A:L→P([0,1])∈HF[L].如果?x,y∈L，滿足下列條件：

1)hA(O)?hA(x)；

2)hA(x→y)?hA(x)∩hA(y).

則稱A是L的猶豫模糊子代數(shù).記L的全體猶豫模糊子代數(shù)為HFS[L].

定理2.1設(shè)A:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].若A∈ΩHFS[L],則?x,y∈L,?δ∈Ω，有下列性質(zhì)成立：

1)hA(I,δ)=hA(O,δ)；

2)hA(x,δ)=hA(x′,δ)；

3)hA(x∨y,δ)?hA(x,δ)∩hA(y,δ)；

4)hA(x∧y,δ)?hA(x,δ)∩hA(y,δ).

定理2.1的證明1) ?x∈L，?δ∈Ω，首先，由于A∈ΩHFS[L]，因此hA(O,δ)?hA(x,δ)，取x=I，則hA(O,δ)?hA(I,δ)；其次hA(I,δ)=hA(O→O,δ)?hA(O,δ)∩hA(O,δ)=hA(O,δ).

綜上可得，hA(I,δ)=hA(O,δ).

2)?δ∈Ω,?x∈L,由于A∈ΩHFS[L]，根據(jù)引理1.1，首先有：

hA(x,δ)=hA(I→x,δ)=hA(x′→I′,δ)=hA(x′→O,δ)?hA(x′,δ)∩hA(O,δ)=hA(x′,δ).其次，hA(x′,δ)=hA(x→O,δ)?hA(x,δ)∩hA(O,δ)=hA(x,δ).

因此可得，hA(x,δ)=hA(x′,δ).

3)?δ∈Ω,?x,y∈L,由A∈ΩHFS[L]，根據(jù)引理1.1，可以得到hA(x∨y,δ)=hA((x→y)→y,δ)?hA(x→y,δ)∩hA(y,δ)?(hA(x,δ)∩hA(y,δ))∩hA(y,δ)=hA(x,δ)∩hA(y,δ).

4)?δ∈Ω,?x,y∈L,由于A∈ΩHFS[L]，根據(jù)引理1.1和定理2.1的條件2)、3)，有hA(x∧y,δ)=hA((x∧y)′,δ)=hA(x′∨y′,δ)?hA(x′,δ)∩hA(y′,δ)=hA(x,δ)∩hA(y,δ).

定理2.2設(shè)A:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].A∈ΩHFS[L]當且僅當?γ∈(0,1]，R(A,γ)Ω≠?是L的子代數(shù).其中定義

R(A,γ)Ω={x∈L|hA(x,δ)?γ,?δ∈Ω}.

定理2.2的證明“?” ?δ∈Ω，由于R(A,γ)Ω≠φ，因此?x0∈R(A,γ)Ω，即hA(x0,δ)?γ.又由于A∈ΩHFS[L]，因此hA(O,δ)?hA(x,δ)?γ，即O∈R(A,γ)Ω;如果x∈R(A,γ)Ω并且y∈R(A,γ)Ω，那么有hA(x,δ)?γ和hA(y,δ)?γ成立.

即hA(x→y,δ)?hA(x,δ)∩hA(y,δ)?γ，hA(x→y,δ)?γ，因此x→y∈R(A,γ)Ω.綜上可得，R(A,γ)Ω≠?是L的子代數(shù).

“?”?δ∈Ω，假設(shè)?x0∈L，我們有hA(O,δ)?hA(x0,δ)，令hA(O,δ)?γ?hA(x0,δ)，因此R(A,γ)Ω≠φ.由于R(A,γ)Ω是L的子代數(shù)，即O∈R(A,γ)Ω，因此hA(O,δ)?γ，這與hA(O,δ)?γ產(chǎn)生矛盾.所以?δ∈Ω,?x∈L,hA(O,δ)?hA(x,δ).

定理2.3設(shè)A:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L]，A∈ΩHFS[L]當且僅當?γ∈(0,1]，R(A,γ)?Ω≠φ是L的子代數(shù). 其中定義

R(A,γ)?Ω={x∈L|hA(x,δ)?γ,?δ∈Ω}.

定理2.3的證明同定理2.2的證明.

記L的全體Ω-猶豫模糊特征函數(shù)為ΩHFCF[L].

定理2.5設(shè)A:L×Ω→P([0,1])∈ΩHF[L].A∈ΩHFS[L]當且僅當Aδ∈HFS[L]，定義Aδ:L→P([0,1])，?x∈L，?δ∈Ω，其中hAδ(x)=hA(x,δ).

定理2.5的證明“?”若A∈ΩHFS[L]，則?x,y∈L，?δ∈Ω.首先hAδ(0)=hA(0,δ)?hA(x,δ)=hAδ(x)；其次，hAδ(x→y)=hA(x→y,δ)?hA(x,δ)∩hA(y,δ)=hAδ(x)∩hAδ(y).因此可得，Aδ∈ΩHFS[L].

定理2.7設(shè)A、B∈ΩHFS[L]，則A∩B∈ΩHFS[L].

定理2.7的證明若A、B∈ΩHFS[L]，則?δ∈Ω，?x,y∈L.首先hA∩B(O,δ)=hA(O,δ)∩hB(O,δ)?hA(x,δ)∩hB(x,δ)；其次hA∩B(x→y,δ)=hA(x→y,δ)∩hB(x→y,δ)?(hA(x,δ)∩hA(y,δ))∩(hB(x,δ)∩hB(y,δ))=(hA(x,δ)∩hB(x,δ))∩(hA(y,δ)∩hB(y,δ))=hA∩B(x,δ)∩hA∩B(y,δ).

即A∩B∈ΩHFS[L].

設(shè)A∈ΩHF[X]，0≤k≤1，?x∈X，δ∈Ω，定義A∪k，A∩k為：

hA∪k(x,δ)=hA(x,δ)∪k，hA∩k(x,δ)=hA(x,δ)∩k.

定理2.9若A∈ΩHFS[L]，則A∩k∈ΩHFS[L].

定理2.9的證明若A∈ΩHFS[L]，則?δ∈Ω，x,y∈L.首先，hA∩k(O,δ)=hA(O,δ)∩k?hA(x,δ)∩k=hA∩k(x,δ)；其次，hA∩k(x→y,δ)=hA(x→y,δ)∩k?(hA(x,δ)∩hA(y,δ))∩k=(hA(x,δ)∩k)∩(hA(y,δ)∩k)=hA∩k(x,δ)∩hA∩k(y,δ).因此可得A∩k∈ΩHFS[L].

定理2.10若A∈ΩHFS[L]，則A∪k∈ΩHFS[L].

定理2.10的證明若A∈ΩHFS[L]，則?δ∈Ω，x,y∈L.首先，hA∪k(O,δ)=hA(O,δ)∪k?hA(x,δ)∪k=hA∪k(x,δ)；其次，hA∪k(x→y,δ)=hA(x→y,δ)∪k?(hA(x,δ)∩hA(y,δ))∪k=(hA(x,δ)∪k)∩(hA(y,δ)∪k)=hA∪k(x,δ)∩hA∪k(y,δ).

綜上可得，A∪k∈ΩHFS[L].

3 格蘊涵代數(shù)的Ω-猶豫模糊子代數(shù)的同態(tài)與直積

定理3.1設(shè)L1、L2是格蘊涵代數(shù)，映射f:L1→L2為格蘊涵滿同態(tài)映射.若A∈ΩHFS[L1]，則f(A)∈ΩHFS[L2].

定理3.1的證明?y1,y2∈L2，因為映射f:L1→L2為格蘊涵滿同態(tài)映射，所以?x1,x2∈L1，使得f(x1)=y1，f(x2)=y2，且f(O)=O，從而?δ∈Ω.

定義：

hf(A)(y,δ)=∪{hA(x,δ)|f(x)=y,δ∈Ω}.

首先hf(A)(O,δ)=∪{hA(x,δ)|f(x)=O,δ∈Ω}=∪{hA(O,δ)|f(O)=O,δ∈Ω}?∪{hA(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}=hf(A)(y1,δ)；其次，hf(A)(y1→y2,δ)=∪{hA(x,δ)|f(x)=y1→y2,δ∈Ω}?∪{hA(x1→x2,δ)|f(x1→x2)=y1→y2,δ∈Ω}=∪{hA(x1→x2,δ)|f(x1)→f(x2)=y1→y2,δ∈Ω}?∪{hA(x1,δ)|f(x1)=y1,δ∈Ω}∩∪{hA(x2,δ)|f(x2)=y2,δ∈Ω}=hf(A)(y1,δ)∩hf(A)(y2,δ).綜上可得，f(A)∈ΩHFS[L2].

定理3.2設(shè)L1、L2是格蘊涵代數(shù)，映射f:L1→L2為格蘊涵同態(tài)映射，若B∈ΩHFS[L2]當且僅當f-1(B)∈ΩHFS[L1].

定理3.2的證明“?” 若B∈ΩHFS[L2]，則?y1,y2∈L1，?δ∈Ω.

定義：

hf-1(B)(y,δ)=hB(f(y),δ),δ∈Ω，

首先，hf-1(B)(O,δ)=hB(f(O),δ)?hB(f(y1),δ)=hf-1(B)(y1,δ)；其次，hf-1(B)(y1→y2,δ)=hB(f(y1→y2),δ)=hB(f(y1)→f(y2),δ)?hB(f(y1),δ)∩hB(f(y2),δ)=hf-1(B)(y1,δ)∩hf-1(B)(y2,δ).

于是，f-1(B)∈ΩHFS[L1].

“?”若f-1(B)∈ΩHFS[L1]，?y1,y2∈L2，因為f:L1→L2為格蘊涵滿同態(tài)映射，所以?x1,x2∈L1，使得f(x1)=y1，f(x2)=y2，且f(O)=O.因此?δ∈Ω，首先，hB(O,δ)=hB(f(O),δ)=hf-1(B)(O,δ)?hf-1(B)(x1,δ)=hB(f(x1),δ)=hB(y1,δ)；其次，hB(y1→y2,δ)=hB(f(x1)→f(x2),δ)=hB(f(x1→x2),δ)=hf-1(B)(x1→x2,δ)?hf-1(B)(x1,δ)∩hf-1(B)(x2,δ).

綜上可得，B∈ΩHFS[L2].

定義3.1設(shè)A∈ΩHF[L1]、B∈ΩHF[L2]，定義映射?(x1,x2)∈L1×L2，?δ∈Ω，A×B:[L1×L2]×Ω→P([0,1])，其中

hA×B((x,y),δ)=hA(x,δ)∩hB(y,δ)，

則稱A×B為L1×L2的Ω-猶豫模糊子集，并稱A×B為A、B關(guān)于Ω的直積.

記L1×L2上的全體Ω-猶豫模糊子集為ΩHF[L1×L2].

定理3.3設(shè)A∈ΩHFS[L1]、B∈ΩHFS[L2]，則A×B∈ΩHFS[L1×L2].

定理3.3的證明若A∈ΩHFS[L1]、B∈ΩHFS[L2]，首先，?(x1,x2)∈L1×L2，?δ∈Ω，hA×B((O,O),δ)=hA(O,δ)∩hB(O,δ)?hA(x,δ)∩hB(x,δ)=hA×B((x,y),δ)；其次，?(x1,y1),(x2,y2)∈L1×L2，?δ∈Ω，hA×B((x1,y1)→(x2,y2),δ)=hA×B((x1→x2,y1→y2),δ)=hA(x1→x2,δ)∩hB(y1→y2,δ)?(hA(x1,δ)∩hA(x2,δ))∩(hB(y1,δ)∩hB(y2,δ))=(hA(x1,δ)∩hB(y1,δ))∩(hA(x2,δ)∩hB(y2,δ))=hA×B(x1,y1)∩hA×B(x2,y2).綜上可得，A×B∈ΩHFS[L1×L2].

定理3.4若A×B∈ΩHFS[L1×L2]，則A1(x,δ)∈ΩHFS[L1]，B1(y,δ)∈ΩHFS[L2].

綜上可得，A1(x,δ)∈ΩHFS[L1].

類似地，可得B1(y,δ)∈ΩHFS[L2].