數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課里的Lagrange插值公式

劉合國(guó)，趙靜

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

0 引言

從文獻(xiàn)[1]中可知Lagrange插值公式與中國(guó)剩余定理是一脈相承的,它們體現(xiàn)了一種非常深刻有用的數(shù)學(xué)思想.劉合國(guó)等[2]運(yùn)用中國(guó)剩余定理解決了一些看似棘手的問題,現(xiàn)在我們用Lagrange插值公式來解決一些多項(xiàng)式代數(shù)、矩陣論等方面的一些問題.從這些內(nèi)容可以看到中國(guó)剩余定理,以及插值思想的重要性.

本研究是文獻(xiàn)[1-2]的續(xù)篇,采用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)的,一般按照文獻(xiàn)[3-4].

1 理念

插值的思想能夠幫助我們找到解決問題的路徑.

例1.1設(shè)f(x)是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,滿足f(a)是有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)a是有理數(shù),證明f(x)=kx+b,式中k是非零有理數(shù),b是有理數(shù).

g(x)=ann-1f(x)=(anx)n+ann-1an-1xn-1+…+ann-1a1x+ann-1a0,

記X=anx,則g(X)=Xn+an-1Xn-1+…+ann-2a1X+ann-1a0也滿足條件.對(duì)每個(gè)素?cái)?shù)p, 記

hp(X)=Xn+an-1Xn-1+…+ann-2a1X-p，

它同樣也滿足條件.當(dāng)p>1+|an-1|+…+|ann-2a1|時(shí),因hp(0)=-p<0,故存在r>0使得hp(r)=0,從條件知r∈.從hp(X)是首1多項(xiàng)式可知r∈且r|p,這樣r=p.這意味著多項(xiàng)式Xn+an-1Xn-1+…+ann-2a1X-X有無數(shù)個(gè)根,從而Xn+an-1Xn-1+…+ann-2a1X-X=0,必有n=1,即f(x)=a1x+a0.

例1.2設(shè)f(x)是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,滿足f(a)是實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)a是實(shí)數(shù),證明f(x)=kx+b,式中k是非零實(shí)數(shù),b是實(shí)數(shù).

例1.2的證明根據(jù)Lagrange插值公式可設(shè)f(x)=xn+an-1xn+…+a1x+a0∈[x].根據(jù)條件可知f(x)有n個(gè)實(shí)根r1≥r2≥…≥rn,此時(shí)f(x)=(x-r1)(x-r2)…(x-rn).f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)有n-1個(gè)實(shí)數(shù)根s1≥s2≥…≥sn-1.我們有r1≥s1≥r2≥s2≥r3≥…≥rn-1≥sn-1≥rn.

當(dāng)n≥2時(shí),由f(x)是首1多項(xiàng)式可知當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,從而f(x)在[r2,+∞]上可取最小值m且m∈R,故f(x)=m-1在[r2,+∞]上無解,即f(x)-m+1=0的n個(gè)根均是實(shí)數(shù)且小于r2,進(jìn)而(f(x)-m+1)′=f′(x)的n-1個(gè)根均小于r2,矛盾.因此n=1,結(jié)論成立.

例1.3設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,則對(duì)任意n+1個(gè)兩兩互異的數(shù)x0,x1,…,xn,有

例1.3的證明根據(jù)Lagrange插值公式可知

又f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,通過比較xn的系數(shù)即可得.

例1.4設(shè)a1,a2,…,an是兩兩互異的整數(shù),則對(duì)任意自然數(shù)k,

總是整數(shù).

例1.4的證明記ω(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an).顯然ω(x)是首1的整系數(shù)多項(xiàng)式,故存在q(x),r(x)∈[x],使得

xk=q(x)w(x)+r(x),

例1.5設(shè)x1,x2,…,xn是n個(gè)兩兩互異的數(shù),求

解記ω(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn).注意到xn=ω(x)+[xn-ω(x)],式中?(xn-ω(x))≤n-1.根據(jù)Lagrange插值公式可得

比較等號(hào)兩邊xn-1的系數(shù)可得

例1.6設(shè)a1,a2,…,an是n個(gè)兩兩互異的實(shí)數(shù),證明對(duì)任意n個(gè)正數(shù)b1,b2,…,bn,存在無實(shí)數(shù)根的多項(xiàng)式f(x),使f(ai)=bi.

例1.6的證明只需對(duì)Lagrange插值公式進(jìn)行修正即可.對(duì)每個(gè)1≤i≤n,記

Li(x)滿足Li(aj)=δij,這里δij是Kronecker符號(hào).令

則f(ai)=bi,且f(x)無實(shí)數(shù)根.

例1.7的證明|f(x)|在[1,n]上連續(xù),記M是|f(x)|在[1,n]上的最大值.由Lagrange插值公式可得存在次數(shù)≤n-1的多項(xiàng)式L(x)滿足L(k)=(-1)k2(M+1),其中k=1,2,…,n.

令g(x)=(x-1)(x-2)…(x-n)+L(x),顯然g(x)是n次實(shí)系數(shù)首1多項(xiàng)式.因?yàn)間(k)=L(k)=(-1)k2(M+1),所以g(x)分別在(1,2),(2,3),…,(n-1,n)內(nèi)存在實(shí)數(shù)根.根據(jù)Vieta定理可得g(x)的另一個(gè)根也是實(shí)數(shù).

令h(x)=2f(x)-g(x),顯然h(x)是n次實(shí)系數(shù)首1多項(xiàng)式.因?yàn)?/p>

h(1)=2f(1)-g(1)=2f(1)+2M+2>0,

h(2)=2f(2)-g(2)=2f(2)-2M-2<0,

h(3)=2f(3)-g(3)=2f(3)+2M+2>0,

?

2 等間距插值

運(yùn)用Lagrange插值公式, 當(dāng)插值點(diǎn)x0,x1,x2…,xn成等差數(shù)列時(shí), 我們得到的插值公式能夠具有較好的特征.

例2.1設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 證明對(duì)任意a以及d≠0, 均有

例2.1的證明令x0=a,x1=a+d,…,xn=a+nd, 根據(jù)Lagrange插值公式可得

又f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 比較xn的系數(shù)化簡(jiǎn)可得

又f(x)=xi, 比較xn的系數(shù)可得

例2.3 證明

例2.3的證明考慮f(x)=xn在x=0,1,2,…,n處的插值.令x0=0,x1=1,…,xn=n,根據(jù)Lagrange插值公式可得

又f(x)=xn,比較xn-1的系數(shù)可得

即

由例2.2即可得

例2.4設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)滿足f(k)=2k,0≤k≤n.求f(n+1).

低碳經(jīng)濟(jì)作為一種以低能耗、低污染、低排放為基礎(chǔ)的新經(jīng)濟(jì)模式日益受到世界各國(guó)的青睞[1]。發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)要求及時(shí)轉(zhuǎn)化現(xiàn)有的傳統(tǒng)能源系統(tǒng)[2]。中國(guó)農(nóng)村地區(qū)家庭能源的供應(yīng)基本上是依賴于煤炭和當(dāng)?shù)氐慕斩?、薪柴，這種傳統(tǒng)的用能模式對(duì)資源和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了重大而長(zhǎng)久的負(fù)面影響[3-4]。農(nóng)村戶用沼氣工程的建設(shè)是解決農(nóng)村能源短缺，提高能源轉(zhuǎn)化效率和利用效率的有效途徑。截至2008年，中國(guó)已發(fā)展農(nóng)村戶用沼氣池3 050萬戶，規(guī)劃到2015年全國(guó)戶用沼氣池達(dá)6 000萬戶，生產(chǎn)沼氣233億m3。

解考慮f(x)在x=0,1,2,…,n處的插值,根據(jù)Lagrange插值公式可得

令x=n+1,則

例2.5設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)滿足f(k)=ak,0≤k≤n.求f(n+1).

解考慮f(x)在x=0,1,2,…,n處的插值,根據(jù)Lagrange插值公式可得

令x=n+1,則

=an+1-(a-1)n+1.

例2.6設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)滿足f(k)=ak,m≤k≤m+n, 求f(m+n+1).

解令f(x)=amg(x-m),根據(jù)條件可知當(dāng)0≤i≤n時(shí),

f(m+i)=am+i=amg(i),

即有g(shù)(i)=ai.由此根據(jù)例2.5可得f(m+n+1)=amg(n+1)=am[an+1-(a-1)n+1].

解考慮f(x)在x=0,1,2,…,n處的插值,根據(jù)Lagrange插值公式可得

令x=n+1,則

比較xn的系數(shù)

3 單位根上的插值

xn-1=(x-ε0)(x-ε1)…(x-εn-1),

兩邊求導(dǎo)可得

以x=εk代入上式, 得

容易驗(yàn)證

解根據(jù)Lagrange插值公式可得

例3.2設(shè)多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)小于n,f(x)在n個(gè)n次單位根處分別取值y1,y2,…,yn,求f(0).

解設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個(gè)n次單位根,并且f(εi)=yi.根據(jù)Lagrange插值公式可得

例3.3設(shè)x0,x1,…,xn是平面上n+1個(gè)點(diǎn).證明:對(duì)任意次數(shù)小于n的多項(xiàng)式f(x),恒有

的充要條件是x1,x2,…,xn分布在以x0為圓心的一個(gè)圓周上,且等分該圓周.

反過來,若下列等式成立

則根據(jù)Newton公式,x1,x2,…,xn上的1階,2階,…,n-1階初等對(duì)稱多項(xiàng)式分別為

因此,x1,x2,…,xn是(x-x0)n=a的n個(gè)根.即證.

例3.4設(shè)f(x),g(x)是兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,n≥3.若(f(1),g(1)),(f(2),g(2)),…,(f(n),g(n))是某個(gè)正則n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)(逆時(shí)針).證明:max(?(f),?(g))≥n-1.

將x=1代入上式可得

例3.5設(shè)f(x)是n次首1多項(xiàng)式,證明存在模為1的復(fù)數(shù)z,使|f(z)|≥1.

4 有理分式表示為最簡(jiǎn)分式之和

例4.1設(shè)多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)小于n,a1,a2,…,an是n個(gè)兩兩互異的數(shù). 證明

例4.1的證明根據(jù)Lagrange插值公式可得

則

根據(jù)例4.1即可得

解考慮f(x)=n!在x=0,1,2,…,n處的插值.根據(jù)Lagrange插值公式可得

故

特別地, 當(dāng)x=-1時(shí), 可得下面的恒等式:

解考慮f(x)=n!在x=-1,-2,…,-n處的插值.根據(jù)Lagrange插值公式可得

故

特別地, 當(dāng)x=1時(shí), 可得下面的恒等式:

故

解考慮

f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-(x-b1)(x-b2)…(x-bn),

在x=b1,b2,…,bn處的插值, 注意到f(bk)=(bk-a1)(bk-a2)…(bk-an),其中1≤k≤n.根據(jù)Lagrange插值公式可得

故

因此,

解首先考慮f(x)=(x+1)(x+2)-(x-1)(x-2)=6x在x=1,2處的插值.根據(jù)Lagrange插值公式可得

=12(x-1)-6(x-2),

故

即

因此,

=12ln|x-2|-6ln|x-1|+x+C.

5 Chebyshev 多項(xiàng)式

(第一類) Chebyshev 多項(xiàng)式Tn(x)通過如下方式定義:

具體而言,可以得到:T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2-1,T3(x)=4x3-3x,….

=ax2+bx+c,

6 整值多項(xiàng)式

設(shè)f(x)是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式, 若對(duì)每個(gè)整數(shù)k,f(k)均為整數(shù), 則稱f(x)是整值多項(xiàng)式.

例6.1設(shè)a1,a2,…,an是兩兩互異的整數(shù),b1,b2,…,bn是n個(gè)整數(shù), 證明存在整系數(shù)多項(xiàng)式f(x), 使f(ai)=bi(1≤i≤n)當(dāng)且僅當(dāng)Lagrange插值多項(xiàng)式

是整系數(shù)多項(xiàng)式.

例6.1的證明顯然只需證明當(dāng)存在f(x)∈[x],滿足f(ai)=bi(1≤i≤n)時(shí),L(x)∈[x]即可.記注意到ω(x)是首1的整系數(shù)多項(xiàng)式,則存在q(x),r(x)∈[x],使得

f(x)=q(x)ω(x)+r(x),

式中?(r(x))

例6.2若n次多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+…+anxn是整值多項(xiàng)式,證明n!·ak都是整數(shù),其中0≤k≤n.

例6.2的證明注意到f(0),f(1),…,f(n)都是整數(shù),根據(jù)Lagrange插值公式可得

是整系數(shù)多項(xiàng)式,于是n!·ak都是整數(shù),其中0≤k≤n.

例6.3設(shè)f(x)=a0+a1x+…+anxn,證明對(duì)任意整數(shù)r,均有

=n!·an.

例6.3的證明考慮f(x)在r,r+1,…,r+n處的插值,根據(jù)Lagrange插值公式可得

=a0+a1x+…+anxn,

比較xn兩邊的系數(shù)可得

兩邊同乘以n!,即可得

=n!·an.

例6.4設(shè)f(x)是n次整系數(shù)多項(xiàng)式.證明:當(dāng)整數(shù)m>n時(shí),(f(0),f(1),…,f(n))|f(m).

例6.4的證明考慮f(x)在0,1,…,n上的插值,根據(jù)Lagrange插值公式可得

令x=m,則

故(f(0),f(1),…,f(n))|f(m).

例6.5設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)在連續(xù)n+1個(gè)整數(shù)上取整數(shù)值.證明f(x)是整值多項(xiàng)式.

例6.5的證明假設(shè)對(duì)整數(shù)r,f(r+n),f(r+n-1),…,f(r)均是整數(shù),則

是整數(shù),又

也是整數(shù),故

同理f(r+2+n),f(r+3+n),…∈.

同理f(r-2),f(r-3),…∈.因此,f(x)是整值多項(xiàng)式.

例6.6設(shè)f(x)是n次首1多項(xiàng)式,證明對(duì)任意r∈,均有

例6.6的證明由例6.3即可得.

例6.7設(shè)f(x)是4次首1多項(xiàng)式,f(1)=0,f(2)=6,f(3)=56,f(5)=552,求f(4).

解由例6.6可得

f(5)-4f(4)+6f(3)-4f(2)+f(1)=4!,

則f(4)=210.

例6.8i)若n次多項(xiàng)式f(x)在0,1,22,…,n2處取整數(shù)值,則f(x2)是整值多項(xiàng)式.

ii) 舉例說明f(x)不是整值多項(xiàng)式,但f(x2)是整值多項(xiàng)式.

例6.8的證明i)記g(x)=f(x2),其中?(g(x))=2n.g(x)在-n,-(n-1),…,-1,0,1,…,n-1,n處取整數(shù)值,故g(x)是整值多項(xiàng)式,即f(x2)是整值多項(xiàng)式.

整值多項(xiàng)式是一類極其基本的多項(xiàng)式,在多方面具有重要的應(yīng)用,下面的結(jié)論精準(zhǔn)描述了這類多項(xiàng)式的構(gòu)造方式.

令x=0, 則k0=f(0);

令x=1,則k0+k1=f(1),即k1=f(1)-f(0);

令x=2,則k0+2k1+k2=f(2),即k2=f(2)-2f(1)+f(0);

?

依此方法計(jì)算下去, 即可得ki∈,0≤i≤n.

根據(jù)例6.9的證明, 可知n次多項(xiàng)式f(x)是整值多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)f(0),f(1),…,f(n)都是整數(shù). 由此, 我們可以給出例6.5的另一個(gè)證明.

其實(shí), 假設(shè)f(x)在m,m+1,…,m+n處的值都是整數(shù),記g(x)=f(x+m),則g(0),g(1),…,g(n) 都是整數(shù), 由例6.9得g(x)是整值多項(xiàng)式,進(jìn)而f(x)=g(x-m)是整值多項(xiàng)式.

7 在高等代數(shù)里的幾點(diǎn)應(yīng)用

設(shè)D=|aij|n×n是n階行列式, 已知n階行列式

其中Aij為D中aij的代數(shù)余子式. 這就是說,D(x)是x的次數(shù)≤1的多項(xiàng)式. 根據(jù)這一事實(shí), 再結(jié)合插值思想, 我們就能夠自然地解出某些行列式.

例7.1計(jì)算n階行列式

解記

顯然

D(-a)=(x1-a)(x2-a)…(xn-a),D(-b)=(x1-b)(x2-b)…(xn-b).

又

解方程組可得

例7.2計(jì)算n+1階行列式

解注意到

運(yùn)用插值法計(jì)算行列式的更多例子見文獻(xiàn)[5].

下面的結(jié)論在矩陣論里起著基本的作用, 通常是運(yùn)用Vaudermonde行列式或者歸納法來證明的.

定理7.1屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.

定理7.1的證明設(shè)λ1,λ2,…,λs是A的互異特征值,α1,α2,…,αs是A的分別屬于λ1,λ2,…,λs的特征向量. 假設(shè)k1α1+k2α2+…+ksαs=0, 只需證k1=k2=…=ks=0.

=kiLi(λi)αi=kiαi,

因而ki=0, 這表明α1,α2,…,αs線性無關(guān).

定理7.2設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱半正定矩陣, 證明對(duì)任意正整數(shù)m, 存在唯一的實(shí)對(duì)稱半正定矩陣X,使得Χm=A, 并且Χ可以表示為A的多項(xiàng)式.

定理7.2的證明設(shè)λ1,λ2,…,λs是A的全部互異特征值, 從條件知存在正交矩陣Q, 使

假設(shè)實(shí)對(duì)稱半正定矩陣Y也滿足Ym=A,由此YA=AY, 進(jìn)而XY=YX, 存在正交矩陣R, 使

此時(shí)

8 雜題

在這一節(jié)里,p是素?cái)?shù),Zp表示p元域.

例8.1a) 證明: 在Zp上,xp-x=x(x-1)(x-2)…(x-(p-1));

b) 證明: Wilson定理:(p-1)!≡-1 (modp);

例8.1的證明a) 根據(jù)Fermat小定理可得, 對(duì)于任意的a,ap≡a(modp).則在Zp上,xp-x的根為0,1,…,p-1, 因此,xp-x=x(x-1)(x-2)…(x-(p-1)).

b) 由(a)可得xp-1-1=(x-1)(x-2)…(x-(p-1)).令x=0, 則(p-1)!≡-1 (modp). c) 考慮f(x)在x=1,2,…,p-1處的插值, 根據(jù)Lagrange插值公式可得

兩邊同時(shí)乘以xp-x可得

ai(i-1)…(i-(i-1))(i-(i+1))…(i-(p-1))=1.

即ai·(p-1)!≡1 (modp), 故ai=-1.因此,

例8.3求Z7上的次數(shù)最低的多項(xiàng)式f(x), 使得f(0)=1,f(1)=0.當(dāng)k=2,3,4,5,6時(shí),f(k)=k.

解考慮f(x)在x=0,1,…,6處的插值, 根據(jù)Lagrange插值公式可得

又

(k-1)…1·(-1)…(-(6-k))=(k-1)…1·6…(k+1)=6!≡-1 (mod7),

則

另解, 根據(jù)Lagrange插值公式知f(x)的次數(shù)?(f(x))≤6, 從條件知2,3,4,5,6是f(x)-x的根, 故可設(shè)f(x)-x=(ax+b)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6), 分別以x=0,1代入上式可得

根據(jù)Wilson定理可知6!≡-1 (mod7), 解得a=5,b=1.因此,

f(x)=(5x+1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+x.

例8.4設(shè)f(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式,f(0)=0,f(1)=1.若對(duì)每個(gè)整數(shù)k,f(k)≡0或1 (modp). 證明f(x)的次數(shù)?(f(x))≥p-1.

例8.5設(shè)f(x),g(x)是兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式, 若存在實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式q(x,y), 使得對(duì)任意實(shí)數(shù)u和v, 均有

f(u)-f(v)=q(u,v)(g(u)-g(v)),

則存在實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式h(x), 使f(x)=h(g(x)).

例8.5的證明若g(x)是常數(shù), 則f(x)亦然. 當(dāng)g(x)不是常數(shù)時(shí), 取n>?(f(x))及實(shí)數(shù)x0,x1,…,xn使得當(dāng)i≠j時(shí),g(xi)≠g(xj).由Lagrange插值公式可得, 存在次數(shù)≤n的多項(xiàng)式h(x)∈R[x], 使得h(g(xi))=f(xi).注意到f(x)-f(xi)=q(x,xi)(g(x)-g(xi)).即g(x)-g(xi)|f(x)-f(xi).注意到g(x)-g(xi)|h(g(x))-h(g(xi)), 即g(x)-g(xi)|h(g(x))-f(xi), 可得

g(x)-g(xi)|f(x)-h(g(x)).

因此,f(x)-h(g(x))=0.即f(x)=h(g(x)).