基于解析幾何理論的FAST 形狀特殊位置理想拋物面預(yù)測

張 迪，裴智明，靳謙誠

（太原理工大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，山西 太原 030024）

FAST 主要由主動反射面、饋源艙及控制、測量和支承系統(tǒng)組成。主動反射面由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器及支承結(jié)構(gòu)等構(gòu)成可調(diào)節(jié)球面。主索網(wǎng)以三角網(wǎng)格用主索節(jié)點構(gòu)成，三角板上安裝反射面板，主索節(jié)點連接單根下拉索，下拉索與促動器連接，通過促動器拖動下拉索下的節(jié)點，用以控制反射面的形狀。饋源艙以機電一體化平臺支撐和Stewart 系統(tǒng)裝置調(diào)節(jié)[1-2]。本文經(jīng)過數(shù)學(xué)分析和科學(xué)建模，基于FAST 最佳接收比，主動反射面的形狀調(diào)節(jié)問題，通過建立空間理想拋物面的幾何模型、促動器調(diào)節(jié)下的關(guān)聯(lián)理論以及采用非線性規(guī)劃策略和尋優(yōu)算法，對2226 個主索節(jié)點進行簡化與規(guī)劃，對FAST 實現(xiàn)自主反射面變形的網(wǎng)面調(diào)整策略模型，分析了基于費馬原理三維空間光線反射的饋源艙接收比，實現(xiàn)了FAST 自動控面的相關(guān)工作要求。

本文總體思路是在促動器調(diào)節(jié)的約束下，帶動下拉索和主索節(jié)點的運動，找到理想拋物面后，調(diào)整促動器的伸縮量，將反射面變形為主反射面，且盡量貼近理想拋物面，以使天體電磁波經(jīng)反射后饋源艙的接收效果最好。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

為了使主反射面板能夠完美反射，本文選取天體位置在最特殊情況下，即：α=0°，β=90°時（天體的方位以α，β 量化描述），需給出在滿足主反射面板調(diào)節(jié)約束條件下的理想拋物面位置，即相應(yīng)形狀[3-4]，指導(dǎo)以促進器為主的主索節(jié)點調(diào)節(jié)方式。滿足調(diào)節(jié)因素的影響有以下5 個方面。

1） 主索節(jié)點調(diào)節(jié)后，任意相鄰節(jié)點的距離必然會發(fā)生變化，為了滿足各方面要求，考慮到應(yīng)力、變形以及材料的力學(xué)性能等各方面因素，需要限制任意相鄰兩節(jié)點的變化不超過0.07%。

2） 根據(jù)題目要求和相關(guān)資料顯示，下拉索用于主索節(jié)點和促動器的連接，故其長度不會發(fā)生變化，且規(guī)定了促動器的伸縮范圍為-0.6 m～+0.6 m。

根據(jù)給出的所有主索節(jié)點的坐標(biāo)，均以基準(zhǔn)面球心C（0，0，0） 作為坐標(biāo)原點，再有A0（0，0，-300.4） 為最低的主索節(jié)點的位置坐標(biāo)。

3） 基準(zhǔn)球面和拋物線面的口徑相同均為300 m。

4） 每塊反射三角形面板均為基準(zhǔn)球面的一部分，根據(jù)相關(guān)資料顯示，反射面板上開有小圓孔（直徑d＜5 mm） 用以漏雨水。由于孔徑小，幾乎不影響電磁波反射，因此在模型分析建立與求解時設(shè)定其面板無孔。

5） 在基準(zhǔn)態(tài)基準(zhǔn)面上，所有的主索節(jié)點將在基準(zhǔn)球面上，考慮到主索節(jié)點的點徑遠小于三角反射面板的尺寸，因此可以設(shè)定反射面的頂點即為主索節(jié)點，經(jīng)相關(guān)分析演算，差值偏移率遠遠小于0.000001 26%。

2 建立FAST 基于解析幾何理論的特殊位置時理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型

由于饋源艙中心P 只能在與基準(zhǔn)球面同心的焦面上運動，因此，P 位于被測天體與基準(zhǔn)球面中心連線SC 和焦面的交點位置，而理想拋物面可以看作拋物線繞其公轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而形成。根據(jù)相關(guān)拋物線知識可知：P 點即為其焦點。而SC 和基準(zhǔn)球面的交點O 是形成該旋轉(zhuǎn)拋物面的拋物線頂點。

球面和拋物面都具有各向同性的特點，因此在建立相關(guān)分析模型時，可將特殊位置的幾何形狀模型簡化到二維空間進行描述：可用圓弧代替球面，用拋物線代替拋物面[5-6]。

其中要求球面與拋物面口徑相同均為R=300 m。

3 基于解析幾何理論的特殊位置理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型的求解結(jié)果策略最優(yōu)選擇

根據(jù)資料顯示可以建立三種策略模型，分別為標(biāo)準(zhǔn)式、下偏式以及查閱式，在此進行模型建立和比較。

1） 標(biāo)準(zhǔn)式：當(dāng)最低點的偏移距離h=0 m 時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉(zhuǎn)拋物面相關(guān)理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標(biāo)準(zhǔn)式方程分析，可做出空間內(nèi)三維理想拋物面，其口徑為300 m，最低點與基準(zhǔn)球面相重合一點。為了更加清晰直觀的觀測理想拋物面與基準(zhǔn)面的相互位置關(guān)系，利用MATLAB 工具可做出三維空間的FAST 理想拋物面與基準(zhǔn)球面位置圖，見圖1。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)式下的理想拋物面與基準(zhǔn)球面嵌套的形狀和位置

2） 下偏式：當(dāng)最低點的偏移距離h=-0.2 m時，按照題目要求F=0.466R 時，利用拋物線和旋轉(zhuǎn)拋物面相關(guān)理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標(biāo)準(zhǔn)式方程分析，可做出空間內(nèi)三維理想拋物面見圖2，其口徑為300 m，最低點與基準(zhǔn)球面相差h=-0.2 m。

圖2 下偏式下的理想拋物面的形狀和位置

3） 查閱式：當(dāng)最低點的偏移距離h=0 m 時，按照查閱相關(guān)資料顯示，要求F=0.4665R 時，利用拋物線和旋轉(zhuǎn)拋物面相關(guān)理論，利用MATLAB 工具得出理想拋物面的幾何解析表達式為

以標(biāo)準(zhǔn)式方程分析，可做出空間內(nèi)三維理想拋物面見圖3，其口徑為300 m，最低點與基準(zhǔn)球面相差h=0 m。

圖3 查閱式下的理想拋物面的形狀和位置

4 變形幾何模型的模型結(jié)果檢驗及模型相關(guān)結(jié)論

根據(jù)模型分析可知，模型的最終結(jié)果要滿足調(diào)節(jié)因素的約束條件，經(jīng)檢驗下偏式和查閱式的促動器近似調(diào)節(jié)量見表1。

表1 下偏式和查閱式的促動器調(diào)節(jié)量的范圍值（m）

根據(jù)基于解析幾何理論的特殊位置建立的理想拋物面的優(yōu)化變形幾何模型及其模型分析，反射面變形從直觀上可以得知，其邊緣處與基準(zhǔn)圓面的光滑性越好，則調(diào)節(jié)難度越小，精度越大。反之，在銜接處會出現(xiàn)較大的拉壓載荷，造成較大的應(yīng)力，使得工作過程極其容易出現(xiàn)疲勞現(xiàn)象。對連接的光滑性和工作強度以及疲勞性等影響因子進行綜合考慮，在實際調(diào)節(jié)過程中就必須滿足一定的約束條件才能使FAST 真正高效地運行。

因此，根據(jù)該模型可以得出以下基本結(jié)論。

一是下偏式類型的理想拋物面促動器的工作行程是最小的，為區(qū)間[0.0143，0.5377]且符合調(diào)節(jié)的范圍。二是下偏式類型的理想拋物面節(jié)點總位移較小，使得基準(zhǔn)球面和調(diào)節(jié)面板鋼索的應(yīng)力較小，有較好的抗疲勞性。三是下偏式類型的理想拋物面與基準(zhǔn)球面的過渡相對平滑。

5 結(jié)束語

FAST 作為目前落成的最高效和功能最齊全的設(shè)備，在模型建立時更大程度地考慮到實際情況和目前研究的最新成果，對相關(guān)理論的建立給出了較為詳細的理論推導(dǎo)和詳細證明，使得結(jié)果更加完整可靠。在利用非線性規(guī)劃確定實際促動器工作策略時，考慮到多變量最簡便有效的規(guī)劃算法，在相互關(guān)聯(lián)多變量約束的條件下，且有非線性函數(shù)時，非線性規(guī)劃優(yōu)點已經(jīng)很好的顯現(xiàn)。然而考慮到模型的數(shù)據(jù)空間較大，在未輸入相關(guān)限制時，隨著搜索和運行的不斷深入，計算量將會增大，因此，采用分階段的方法進行逐步尋優(yōu)，最終計算結(jié)果將十分逼近最優(yōu)值，但仍有一定偏差。后續(xù)研究，需要深入FAST 的實際工作進程，以科學(xué)客觀的角度將理論模型與實際工作狀態(tài)相結(jié)合，充分考慮實際工作狀態(tài)下的情況，以建立更為實用和可行的科學(xué)模型。