雙圓弧諧波剛輪刮齒加工原理及刀具設(shè)計(jì)

莫帥，王賽賽，羅炳睿，岑國(guó)建

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387；3.寧波中大力德智能傳動(dòng)股份有限公司，浙江寧波 315301；4.江蘇萬(wàn)基傳動(dòng)科技有限公司，江蘇泰州 225400）

在諧波傳動(dòng)中，齒輪的齒形設(shè)計(jì)及加工工藝對(duì)其傳動(dòng)特性有較大影響.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)諧波齒輪做了大量分析研究［1-4］，辛洪兵［1］和王家序等［4］指出雙圓弧齒形的諧波減速器具有良好的傳動(dòng)質(zhì)量.由于齒形復(fù)雜，諧波齒輪制造工藝受到極大限制，王仕璞等［3］提出以具有正前角的滾刀加工諧波柔輪，并建立刀具模型；Yoshino等［5］根據(jù)單元去除理論提出一種特殊齒形齒輪的插齒刀具設(shè)計(jì)方法.刮齒作為一種新型齒輪加工技術(shù)具有比插齒更高的精度和效率.目前，國(guó)內(nèi)關(guān)于刮齒刀具設(shè)計(jì)方法的研究成果較少［6-15］，其中賈康等［7］基于展成加工原理，給出一種由刮齒前刀面與離散曲面相交構(gòu)建切削刃的方法；Guo等［9］提出一種無(wú)理論誤差直齒刮齒刀具結(jié)構(gòu)，并建立數(shù)學(xué)模型，為刮齒刀具參數(shù)優(yōu)化提供參考.

刮齒加工技術(shù)尚未應(yīng)用到諧波齒輪的加工中.本文以偏離端面一定角度的平面作為前刀面，設(shè)計(jì)適應(yīng)雙圓弧齒形諧波剛輪加工的刮齒刀具模型，降低刀具加工和磨削難度，使工件具有較小的刃形誤差，提高雙圓弧諧波剛輪的加工精度和效率.

1 刮齒加工原理

刮齒加工方式與插齒類(lèi)似，都是基于展成加工原理，區(qū)別在于切削的作用方式不同.插齒加工時(shí)工件和刀具做無(wú)間隙嚙合運(yùn)動(dòng)，同時(shí)插齒刀沿工件軸向做往復(fù)切削運(yùn)動(dòng).刮齒加工示意圖如圖1所示，工件與刀具保持恒定的軸交角，同時(shí)做旋轉(zhuǎn)嚙合運(yùn)動(dòng)和軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，工件和刀具由于強(qiáng)制嚙合而產(chǎn)生一系列微小溝壑，構(gòu)成工件曲面.在機(jī)床作用下刀具沿徑向推進(jìn)，最終完成齒輪的加工［9］.

圖1 刮齒加工示意圖Fig.1 Machining diagram of gear skiving

2 諧波齒輪齒廓設(shè)計(jì)方法

2.1 雙圓弧諧波柔輪齒廓方程

雙圓弧諧波柔輪齒廓如圖2 所示，其基準(zhǔn)形式為圓弧-公切線-圓弧.建立柔輪齒廓坐標(biāo)系XOY，圓弧段圓心坐標(biāo)Oa（xa，ya）、Ob（xb，yb），其中xa=-ca，ya=ha+hf+da-la，xb=πm/2+cb，yb=hf+da+lb.以柔輪單側(cè)齒廓為例，各參數(shù)取值如表1 所示，表中ra和rb分別為凸圓弧和凹圓弧半徑，δ為公切線傾角，lf為公切線豎直距離，α為OaB與水平方向的夾角.以齒廓弧長(zhǎng)s為變量，建立公切線雙圓弧諧波柔輪的凸段齒廓、切線段齒廓和凹段齒廓的分段方程.

圖2 諧波柔輪齒廓坐標(biāo)系Fig.2 Harmonic flexible tooth profile coordinate system

表1 柔輪基本設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.1 Design parameters of flexspline

諧波柔輪凸圓弧BC段齒廓方程為：

諧波柔輪公切線CD段齒廓方程為：

諧波柔輪凹圓弧DE段齒廓方程為：

式中：l1=rb{π∕2 -arccos[(lb+hf)∕2]-δ}-cb.

2.2 剛輪齒廓方程求解

諧波齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，柔輪因?yàn)椴òl(fā)生器的作用而發(fā)生變形，因此常用包絡(luò)法求解諧波剛輪齒廓［10］.圖3為諧波齒輪傳動(dòng)坐標(biāo)系，在圖3中，當(dāng)柔輪在諧波發(fā)生器的作用下沿原始曲線Cl運(yùn)動(dòng)時(shí)，齒廓曲線Rl的包絡(luò)即為所求剛輪齒廓Gl.

圖3 諧波齒輪傳動(dòng)坐標(biāo)系Fig.3 Harmonic gear drive coordinate system

諧波齒輪傳動(dòng)的基本設(shè)計(jì)參數(shù)如表2 所示.其中柔輪徑向最大變形量w0取0.5 mm，設(shè)柔輪和剛輪齒廓坐標(biāo)分別為（xr，yr）、（xg，yg）.

表2 諧波齒輪傳動(dòng)基本設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Basic design parameters of harmonic drive

方程（4）為諧波柔輪齒廓坐標(biāo)系向剛輪齒廓坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程，式中包含未知變量φ與s.諧波齒輪在傳動(dòng)嚙合過(guò)程中滿(mǎn)足嚙合方程（5），選取并離散s值，代入式（5）可求出對(duì)應(yīng)的φ值.將求解得到的φ與s代入式（4），可得到剛輪齒廓坐標(biāo).

圖4 通過(guò)坐標(biāo)變換模擬柔輪與剛輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，直觀反映出諧波齒輪傳動(dòng)的嚙合特征，剛輪齒廓在柔輪的包絡(luò)中得到正確驗(yàn)證.

圖4 諧波剛輪包絡(luò)齒廓Fig.4 Envelope tooth profile of harmonic rigid wheel

為便于圖4 的工藝實(shí)現(xiàn)，對(duì)剛輪齒廓公切線段以直線y=kx+b擬合，對(duì)圓弧段以圓形方程（6）擬合.

設(shè)剛輪齒廓點(diǎn)（xi，yi），令y=f（x，tj），j=1，2，…，m.取精度為0.000 1，p（tj）滿(mǎn)足式（7），各常數(shù)滿(mǎn)足式（8）.

將齒廓離散坐標(biāo)點(diǎn)代入擬合公式，可得剛輪凸、凹圓弧段圓心坐標(biāo)分別為Og1（0.139 1，0.332 5）和Og2（0.338 8，0.582 2）；半徑分別為r1=0.693 7、r2=0.759 9；公切線段分別為k=-7.840 1、b=28.507 7.設(shè)齒廓方程為F（x，y），在z方向離散可得剛輪齒面坐標(biāo)點(diǎn)云如圖5 所示.工件齒面上任意點(diǎn)法失N的分量分別為：

圖5 諧波剛輪齒面坐標(biāo)點(diǎn)云Fig.5 Harmonic rigid tooth surface coordinate point cloud

3 剛輪刮齒刀具幾何參數(shù)計(jì)算

刮齒刀具與其他齒輪加工刀具類(lèi)似，都具有切削刃和前后刀面等結(jié)構(gòu)要素［11］.刮齒刀具結(jié)構(gòu)如圖6所示.

圖6 刮齒刀具結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Picture of skiving cutter structure

3.1 前刀面數(shù)學(xué)模型

在刮齒加工中，刀具與工件之間存在軸交角，因此采用與端面一定角度的平面作為前刀面，使刮齒刀具兩側(cè)刃切削角度相近，減小刃形誤差［12］.

圖7 為刮齒刀具前刀面坐標(biāo)系.在圖7 中，坐標(biāo)系XYZ為前刀面坐標(biāo)系，XaYaZa為輔助面坐標(biāo)系，X2Y2Z2為刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系.前刀面法向量在坐標(biāo)系XYZ中可表示為n（0，0，1），根據(jù)式（10）可得，在刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的前刀面法向量為n1（sinαcosβ，sinβ，cosβcosα）.

圖7 刮齒刀具前刀面坐標(biāo)系Fig.7 Skiving cutter rake face coordinate system

式中：B1為前刀面向輔助面變換的矩陣；B2為輔助面向刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系變換的矩陣.

在X2Y2Z2坐標(biāo)系中前刀面方程為：

3.2 共軛面數(shù)學(xué)模型

3.2.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度

刮齒加工坐標(biāo)系如圖8 所示.S1-O1X1Y1Z1為工件坐標(biāo)系，S2-O2X2Y2Z2為刀具坐標(biāo)系，S0-O0X0Y0Z0和SP-OPXPYPZP為參考坐標(biāo)系，i、j、k和ip、jp、kp分別為坐標(biāo)系S0和SP對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的單位向量.加工運(yùn)動(dòng)時(shí)刀具以w2轉(zhuǎn)動(dòng)并沿z1軸負(fù)方向移動(dòng)，工件以w1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，共軛面與刀具齒面在M點(diǎn)共軛.

圖8 刮齒加工坐標(biāo)系Fig.8 Machining coordinate system of gear skiving

S0和SP的位置關(guān)系為：

共軛點(diǎn)M在坐標(biāo)系SP中滿(mǎn)足式（15）：

解得v12在SP中的分量為：

式中：β1和β2分別為工件和刀具螺旋角；n1和n2分別為工件和刀具齒數(shù)；m為模數(shù).

式中：Mp1為S1向SP的變換矩陣.

3.2.2 共軛關(guān)系

共軛點(diǎn)在嚙合運(yùn)動(dòng)時(shí)滿(mǎn)足嚙合原理［13］.

將式（9）、式（16）代入式（21），可解得S1繞Zp轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ1.齒面在M點(diǎn)嚙合時(shí)滿(mǎn)足：

整理得共軛面坐標(biāo)點(diǎn)為：

三次B 樣條曲面（Non-Uniform Rational BSplines，NURBS）具有良好的局部性質(zhì)［14-15］.為便于切削刃的求解，將共軛面擬合，在其上選取K×L個(gè)型值點(diǎn)，設(shè)參數(shù)u方向?yàn)镕i，j.

根據(jù)自由端點(diǎn)條件（27）可求得u向控制點(diǎn)Vi，j，將其作為w方向的型值點(diǎn)，以同樣的方法求出B 樣條曲面控制點(diǎn)pi，j.當(dāng)參數(shù)u和w掃過(guò)它的整個(gè)定義域時(shí)，等參數(shù)線描述成如圖9所示擬合曲面.

圖9 共軛面擬合點(diǎn)云Fig.9 The point cloud of conjugate surface fitting

B樣條曲面擬合方程如式（28）所示.

3.3 主刃和主后刀面模型

共軛面經(jīng)三次B樣條曲面擬合，其中x2=P1（u，w）、y2=P2（u，w）、z2=P3（u，w）.

前刀面方程為：

f（x2，y2，z2）=0

x2、y2和z2關(guān)系如式（13）所示.共軛面與前刀面交線方程為：

f（P1（u，w），P2（u，w），P3（u，w））=P（u，w）=0

本文采用牛頓迭代法逼近共軛面，擬合點(diǎn)云與等值線P（u，w）=0的距離，獲得主切削刃.

將u、w均分為n份，擬合后的共軛面上每一個(gè)網(wǎng)格間距為Δu=Δw=1/n，矩形單元Δij的4 個(gè)頂點(diǎn)與前刀面交線方程對(duì)應(yīng)函數(shù)值分別為P（ui，wj）、P（ui，wj+1）、P（ui+1，wj）、P（ui+1，wj+1）.主切削刃的求取就是計(jì)算共軛面網(wǎng)格單元邊與P（u，w）=0的交點(diǎn)，具體步驟如下：

1）將擬合后的共軛面點(diǎn)云代入交線方程并判斷每個(gè)網(wǎng)格頂點(diǎn)的符號(hào)（大于0 記為“+”，否則記為“-”）.

2）若共軛面網(wǎng)格單元的頂點(diǎn)符號(hào)相同，則與等值線P（u，v）=0無(wú)交點(diǎn)，否則轉(zhuǎn)到3）.

3）對(duì)于兩端異號(hào)的單元邊，采用牛頓迭代計(jì)算交點(diǎn)，對(duì)于單元邊wj-wj+1，設(shè)P（ui+1，wj+1）為“-”，P（ui+1，wj）為“+”，交點(diǎn)（ut，wt）中ut=ui+1，wt利用牛頓迭代公式（11）求取.

令w1=wj、w2=wj+1，設(shè)置迭代精度ξ=0.001，迭代至wk+1-wk＜ξ時(shí)wt=wk+1.求出對(duì)應(yīng)的u、w值代入x2、y2和z2，可獲得交點(diǎn)如圖10所示.

圖10 曲面求交示意圖Fig.10 Schematic diagram of intersection

當(dāng)?shù)毒呷心ズ?，前刀面在刀具運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中沿Z2軸方向移動(dòng)Δb，同時(shí)為保證工件全齒高，刀具工件中心距增大Δa，構(gòu)成一個(gè)新的主刃，將所有主刃特征點(diǎn)擬合就構(gòu)成主后刀面.

4 刮齒刀具數(shù)字化設(shè)計(jì)

以雙圓弧諧波剛輪為例，設(shè)計(jì)刮齒刀具三維模型.工件參數(shù)為：模數(shù)m=0.5 mm，齒數(shù)z1=102，螺旋角β=0，轉(zhuǎn)速n1=1 000 r∕min.刀具參數(shù)為：轉(zhuǎn)速n2=1 522.4 r∕min，齒數(shù)z2=67，速度v=0.1 mm∕r.

刮齒刀具設(shè)計(jì)流程如圖11 所示.參照3.1 節(jié)內(nèi)容求得前刀面方程；根據(jù)工件參數(shù)按照3.2節(jié)內(nèi)容建立齒面方程.設(shè)γ=5°，計(jì)算得到共軛面坐標(biāo)點(diǎn)云，并用三次B 樣條曲面擬合；根據(jù)3.3 節(jié)內(nèi)容，設(shè)初始中心距a=8.75 mm，改變交點(diǎn)參數(shù)Δa=0.1 mm，Δb=2 mm，部分交點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表3所示.利用式（30）擬合交點(diǎn)即得到切削刃.

表3 交點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)Tab.3 Intersecting point coordinates data mm

圖11 刮齒刀具設(shè)計(jì)流程圖Fig.11 Design process of skiving cutter

將B樣條曲線擬合后的切削刃點(diǎn)云導(dǎo)入CAD 軟件中構(gòu)建刮齒刀齒面，通過(guò)曲面縫合構(gòu)建單齒模型，將單齒實(shí)體陣列獲得刮齒刀具實(shí)體模型，如圖12所示.

圖12 刮齒刀具實(shí)體模型Fig.12 Solid model of skiving cutter

5 刮齒刀具齒廓誤差分析

在《圓柱齒輪精度制第1部分：輪齒同側(cè)齒面偏差的定義和允許值》（GB∕T 10095.1—2008）中，將漸開(kāi)線齒廓誤差定義為實(shí)際齒廓偏離設(shè)計(jì)齒廓的量，該量在端平面內(nèi)且垂直于漸開(kāi)線齒廓的方向.區(qū)別于漸開(kāi)線，雙圓弧齒廓刀具齒廓偏差Δf可看作齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)在其半徑方向與偏移齒廓的距離.圖13 為齒廓誤差示意圖.圖13（b）中刮齒刀具剖面Ⅰ-Ⅰ端面齒廓對(duì)應(yīng)圖13（a）中標(biāo)準(zhǔn)齒廓a，Ⅱ-Ⅱ端面齒廓對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)齒廓b.齒廓b為齒廓a的變位齒廓，標(biāo)準(zhǔn)齒廓凸圓弧段點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），對(duì)應(yīng)齒廓b 上坐標(biāo)（x2，y2），圓心Oa2對(duì)應(yīng)坐標(biāo)（xoa2，yoa2）.以凸圓弧段為例，將齒廓b繞圓心Oa2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Δθ得到齒廓3.在雙圓弧齒廓中忽略長(zhǎng)度較小的公切線段，根據(jù)位置轉(zhuǎn)換關(guān)系可知，對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)s的點(diǎn)齒廓偏差Δf如式（32）所示，其中Δθ可根據(jù)B1、B2和圓心Oa1的坐標(biāo)求得.

圖13 齒廓誤差示意圖Fig.13 Schematic diagram of tooth profile error

在實(shí)際齒廓中，由于前后角的存在，刮齒刀具切削刃上任意點(diǎn)對(duì)應(yīng)端面齒廓變位量Δa不同，其關(guān)系如式（33）所示，其中Δl為弧長(zhǎng)s對(duì)應(yīng)點(diǎn)與齒廓頂點(diǎn)的垂直距離.將刀具刃磨參數(shù)代入齒廓誤差計(jì)算公式，可得切削刃上任意點(diǎn)齒廓偏差如圖14 所示.刮齒刀具側(cè)刃齒廓偏差隨弧長(zhǎng)s的增大而增大，最大齒廓偏差約為3 μm.

圖14 刮齒刀具齒廓偏差Fig.14 Skiving cutter tooth profile error

改變頂刃后角和前角，取側(cè)刃最大誤差值對(duì)應(yīng)點(diǎn)計(jì)算前后角對(duì)齒廓最大誤差的影響，如圖15 所示.由圖15 可知，最大誤差隨前后角增大而增大，在對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)，最大齒廓誤差小于15 μm.在實(shí)際切削過(guò)程中，雖然較小的前角和后角能有效降低齒廓誤差，但也會(huì)影響切削效率和刀具壽命.

圖15 刮齒刀具不同前后角對(duì)應(yīng)齒廓誤差Fig.15 Skiving cutter tooth profile error corresponding to different front and back angles

6 結(jié)論

1）提出一種諧波齒輪新型加工方法，根據(jù)曲面展成原理，通過(guò)改變傳統(tǒng)加工刀具切削刃與切削的作用位置，設(shè)計(jì)加工精度和效率更高的刮齒刀具加工諧波剛輪，優(yōu)化了其加工工藝.

2）根據(jù)諧波傳動(dòng)特性求解并擬合剛輪齒廓；由嚙合原理和刮齒刀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)建坐標(biāo)系，求解并擬合共軛面和前刀面模型；將前刀面與共軛面求交并擬合獲取切削刃數(shù)據(jù)，導(dǎo)入CAD 軟件建立刮齒刀具數(shù)學(xué)模型.

3）該雙圓弧齒廓刮齒刀具設(shè)計(jì)及對(duì)應(yīng)齒廓誤差計(jì)算方法，具有一定的通用性，進(jìn)一步完善了刮齒刀具設(shè)計(jì)理論，可為其他雙圓弧齒廓齒輪加工刀具設(shè)計(jì)、誤差分析及修形等提供參考.