GNSS載波相位整數(shù)等變估計(jì)及其PPP性能提升算法

周 鋒，楊宇澤，王 磊，徐天河

1. 山東科技大學(xué)測(cè)繪與空間信息學(xué)院，山東 青島 266590； 2. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430077； 3. 武漢大學(xué)測(cè)繪遙感信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430079； 4. 山東大學(xué)空間科學(xué)研究院，山東 威海 264209

精密單點(diǎn)定位(precise point positioning，PPP)技術(shù)于20世紀(jì)90年代提出并實(shí)現(xiàn)，依賴于高精度衛(wèi)星軌道、鐘差等產(chǎn)品，在精細(xì)化考慮各類誤差改正的基礎(chǔ)上，利用單臺(tái)GNSS接收機(jī)可實(shí)現(xiàn)全球高精度絕對(duì)定位[1-2]。目前，PPP技術(shù)在廣域精密定位、低軌衛(wèi)星定軌、水汽反演與電離層監(jiān)測(cè)、地震與海嘯監(jiān)測(cè)和預(yù)警、時(shí)間傳遞等領(lǐng)域已獲得廣泛應(yīng)用[3-7]。

與差分定位技術(shù)(如實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位RTK)相比，PPP估計(jì)參數(shù)較多且參數(shù)之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，導(dǎo)致位置解收斂較慢(一般為20～30 min)，收斂階段位置精度提升緩慢。近年發(fā)展起來(lái)的PPP模糊度固定技術(shù)可以有效加快收斂速度、改善定位精度，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注[8-12]。然而，PPP性能嚴(yán)重依賴外部高精度產(chǎn)品，如衛(wèi)星軌道、鐘差等，導(dǎo)致浮點(diǎn)模糊度解精度相對(duì)較低，PPP模糊度固定解存在可靠性風(fēng)險(xiǎn)[13]。衛(wèi)星軌道、鐘差產(chǎn)品及誤差模型改正精度對(duì)模糊度浮點(diǎn)解偏差影響較大，進(jìn)一步增大了模糊度固定可靠性提升的難度[14]。當(dāng)前PPP模糊度固定的常見做法是，在獲取浮點(diǎn)模糊度之后，進(jìn)一步將其分解為寬巷和窄巷模糊度，分別引入寬巷與窄巷小數(shù)偏差改正后，對(duì)寬巷模糊度進(jìn)行取整固定，對(duì)窄巷模糊度用LAMBDA降相關(guān)搜索實(shí)現(xiàn)固定[8,15]。針對(duì)載波相位模糊度處理難題，研究人員嘗試引入更多方法以便可靠解決此問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]將整數(shù)等變估計(jì)(BIE)方法引入GNSS模糊度估計(jì)，并從理論上給出其嚴(yán)密計(jì)算公式。早期研究集中在利用BIE解決RTK模糊度固定問(wèn)題。事實(shí)上，大部分中短基線RTK模糊度固定的成功率都比較高，并且雙差后的殘余誤差基本可以忽略。在這種條件下，將模糊度固定為整數(shù)無(wú)疑是最優(yōu)選擇。但是PPP解算模型強(qiáng)度較弱，模糊度解算成功率相對(duì)較低。模糊度浮點(diǎn)解的質(zhì)量受到服務(wù)端產(chǎn)品精度、接收機(jī)噪聲、觀測(cè)環(huán)境等因素影響，模糊度浮點(diǎn)解中包含的殘余誤差很難徹底消除，因此，直接固定PPP模糊度在觀測(cè)條件相對(duì)不太理想的情況下仍存在巨大挑戰(zhàn)。長(zhǎng)期以來(lái)，模糊度解算的主要結(jié)果就是固定解和浮點(diǎn)解兩種。對(duì)于PPP模糊度固定解可靠性不高的場(chǎng)景，采用整數(shù)等變估計(jì)反而具有一定的性能優(yōu)勢(shì)。整數(shù)等變估計(jì)的思想是利用整數(shù)解加權(quán)融合方法提升浮點(diǎn)模糊度估計(jì)精度，該方法降低了模糊度錯(cuò)誤固定風(fēng)險(xiǎn)[16-17]，同時(shí)又利用了模糊度整數(shù)解信息來(lái)提升模糊度估值精度，因此可以獲得比模糊度浮點(diǎn)解更優(yōu)的定位結(jié)果。

近年來(lái)，也有學(xué)者嘗試將BIE法用于PPP模糊度估計(jì)，來(lái)縮短PPP收斂時(shí)間，但并未系統(tǒng)分析BIE法對(duì)PPP定位性能的提升效果[17-19]。BIE法在具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，具有對(duì)模型進(jìn)行一些近似來(lái)取得模型精度和計(jì)算效率之間的平衡。從計(jì)算效率角度來(lái)說(shuō)，BIE計(jì)算效率取決于模型強(qiáng)度。本文為了最大程度保障BIE結(jié)果最優(yōu)性，采用了推薦的給定顯著性水平閾值的方式來(lái)確定BIE計(jì)算中參與的模糊度整數(shù)解向量組數(shù)。該方法的截?cái)嗾`差是可控的，但是效率并不一定最優(yōu)。關(guān)于解決耗時(shí)問(wèn)題，近期也有學(xué)者建議采用權(quán)比值方法減少參與計(jì)算的整數(shù)向量個(gè)數(shù)[19]，但該方法的有效性還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

基于BIE估計(jì)原理，本文首先推導(dǎo)PPP模糊度估計(jì)的BIE方法。然后，采用全球均勻分布的105個(gè)MGEX測(cè)站一周觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP解算，分析BIE法相比LAMBDA固定對(duì)PPP收斂性能的改善，并綜合評(píng)估BIE法與LAMBDA固定對(duì)PPP收斂后定位精度的貢獻(xiàn)。

1 PPP模糊度估計(jì)的BIE方法

本文首先給出BIE估計(jì)原理，然后介紹PPP模糊度估計(jì)的BIE方法，最后給出其基本計(jì)算流程。本文模糊度估計(jì)研究?jī)H限于單GPS無(wú)電離層組合星間單差PPP模糊度估計(jì)，該方法具有普適性，可擴(kuò)展至多系統(tǒng)、非差或非組合PPP模糊度估計(jì)。

1.1 BIE估計(jì)原理

GNSS精密定位模型可表示為混合整數(shù)模型[16,20]

E(y)=Aa+Bba∈Zn,b∈Rp

(1)

(2)

文獻(xiàn)[16]證明了BIE估計(jì)量具有無(wú)偏特性，且BIE在所有整數(shù)等變估計(jì)類中具有最小均方誤差。由于整數(shù)估計(jì)與線性估計(jì)均屬于整數(shù)等變估計(jì)的特例，因此BIE估計(jì)的均方誤差理論上應(yīng)小于整數(shù)最小二乘估計(jì)和浮點(diǎn)解的均方誤差最小二乘估計(jì)量，由此可得[16]

(3)

式中,D(·)為方差算子。當(dāng)成功率非常高時(shí)，BIE估計(jì)量與整數(shù)最小二乘解比較接近；而當(dāng)成功率不高時(shí)，BIE的結(jié)果則與模糊度浮點(diǎn)解比較接近[16]。

(4)

(5)

(6)

式中，閾值λ2可由給定的棄真概率α(即顯著性水平)確定。一般情況下，α和閾值λ2的關(guān)系可表示為

(7)

式中，a為模糊度真值。在BIE中，一般情況下α取一個(gè)比較小的數(shù)，推薦使用10-9來(lái)平衡計(jì)算復(fù)雜度和BIE的最優(yōu)特性[23]。

1.2 PPP模糊度估計(jì)的BIE方法

GNSS非差雙頻無(wú)電離層組合載波與偽距觀測(cè)方程可表達(dá)為[24]

(8)

式中

(9)

PPP模糊度解算可分為以下4個(gè)步驟進(jìn)行：

(10)

(11)

(3) 窄巷模糊度估計(jì)。在寬巷模糊度固定后，可通過(guò)式(12)實(shí)現(xiàn)窄巷模糊度估計(jì)

(12)

(4) 重構(gòu)無(wú)電離層組合模糊度。待寬巷、窄巷模糊度同時(shí)固定/估計(jì)后，可得固定后的無(wú)電離層組合模糊度

(13)

在更新無(wú)電離層組合模糊度后，其他參數(shù)(如位置、接收機(jī)鐘差、對(duì)流層延遲參數(shù)等)可同步更新。

在PPP模糊度解算過(guò)程中，寬巷模糊度一般采用取整法直接確定，而窄巷模糊度則可以使用取整法、整數(shù)Bootstrapping方法或者LAMBDA降相關(guān)搜索實(shí)現(xiàn)[11,15]。本文主要引入BIE方法實(shí)現(xiàn)窄巷模糊度的精確估計(jì)，其工作流程與LAMBDA方法相似，但是估計(jì)方法存在一定差異。

BIE方法也需要利用PPP窄巷模糊度浮點(diǎn)解及其方差協(xié)方差矩陣，首先對(duì)其進(jìn)行降相關(guān)處理，然后利用整數(shù)最小二乘搜索確定整數(shù)備選集合。在整數(shù)集確定后，使用Z變換的逆變換將模糊度整數(shù)解變回到模糊度浮點(diǎn)解域[25]。接下來(lái)并不是選擇最優(yōu)整數(shù)備選值計(jì)算固定解坐標(biāo)，而是通過(guò)式(4)確定相應(yīng)備選整數(shù)解對(duì)應(yīng)的加權(quán)浮點(diǎn)模糊度解，再將BIE確定的模糊度浮點(diǎn)解代入觀測(cè)方程求解坐標(biāo)等實(shí)數(shù)參數(shù)。

可以看出，雖然本節(jié)的推導(dǎo)過(guò)程基于雙頻觀測(cè)值，但PPP模糊度估計(jì)的BIE方法并不僅限于雙頻觀測(cè)值，對(duì)于可采用LAMBDA固定方法的PPP數(shù)據(jù)解算(如單頻、三頻PPP模糊度固定)，同樣可采用BIE方法。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)介紹及處理策略

為驗(yàn)證BIE對(duì)PPP定位性能的提升效果，本文選取全球均勻分布的105個(gè)MGEX測(cè)站2021年2月第1周(DOY 32—DOY 38)采樣間隔為30 s的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，測(cè)站地理分布如圖1所示。

圖1 選取的105個(gè)MGEX測(cè)站分布Fig.1 Geographical distribution of the selected 105 MGEX tracking stations

PPP解算采用法國(guó)國(guó)家空間研究中心(CNES)提供的后處理衛(wèi)星軌道、整數(shù)相位鐘產(chǎn)品。使用過(guò)程中只需對(duì)寬巷模糊度改正其小數(shù)偏差，窄巷模糊度不做小數(shù)偏差改正。試驗(yàn)采用仿動(dòng)態(tài)PPP解算模式，坐標(biāo)和接收機(jī)鐘差參數(shù)為白噪聲估計(jì)，對(duì)流層濕延遲采用隨機(jī)游走過(guò)程估計(jì)，譜密度取10-8m2/s，載波相位浮點(diǎn)模糊度在連續(xù)弧段內(nèi)為常數(shù)，在發(fā)生周跳時(shí)重新初始化。本文PPP數(shù)據(jù)處理均在開源GAMP軟件[26]上完成，參考坐標(biāo)選用IGS SINEX周解。具體數(shù)據(jù)處理策略見表1。

表1 PPP數(shù)據(jù)處理策略Tab.1 Strategy of PPP data processing

2.2 PPP收斂速度分析

當(dāng)PPP解算坐標(biāo)的東(E)、北(N)、垂向(U)3個(gè)方向定位偏差絕對(duì)值均小于1 dm時(shí)，認(rèn)為濾波收斂。為更清晰地呈現(xiàn)不同PPP解的收斂情況，選取前3 h的定位結(jié)果成圖。圖2為模糊度浮點(diǎn)解、LAMBDA固定解和BIE解68%分位數(shù)的定位誤差，其計(jì)算過(guò)程為：以第1個(gè)歷元為例，將該歷元所有測(cè)站所有天PPP解取絕對(duì)值排序，然后取68%分位數(shù)所得，其他歷元以此類推。由圖2可以看出，模糊度浮點(diǎn)解收斂最慢，BIE解收斂最快。與模糊度浮點(diǎn)解相比，LAMBDA固定解與BIE解在東、北、垂向3個(gè)方向收斂性能均提升顯著。相比LAMBDA固定解，BIE解在東、垂向收斂有進(jìn)一步明顯提升，表明BIE法相比LAMBDA固定在PPP收斂階段更有優(yōu)勢(shì)?？梢钥闯觯瑸V波收斂階段BIE解收斂曲線相比LAMBDA固定解更陡峭。收斂后，當(dāng)濾波時(shí)間在約40 min時(shí)，BIE解與LAMBDA固定解基本吻合。

圖2 3種動(dòng)態(tài)PPP解定位誤差(68%分位數(shù))Fig.2 Positioning errors derived from three kinematic PPP solutions (68% percentile)

表2給出了3種動(dòng)態(tài)PPP解收斂時(shí)間統(tǒng)計(jì)，括號(hào)中的百分?jǐn)?shù)指標(biāo)是相對(duì)上一PPP解收斂性能提升百分比，如無(wú)特殊說(shuō)明，圖3與表3均如此表示。對(duì)三維位置來(lái)說(shuō)，GPS浮點(diǎn)解收斂時(shí)間基本在35 min左右，模糊度固定技術(shù)可顯著改善PPP收斂時(shí)間至20 min以內(nèi)，東、北、垂向收斂時(shí)間分別減小了51%、26%和48%。相比LAMBDA固定解，BIE解的3個(gè)方向收斂性能可進(jìn)一步改善37%、28%與31%。

表2 3種動(dòng)態(tài)PPP解收斂時(shí)間統(tǒng)計(jì)(68%分位數(shù))Tab.2 Convergence time of three kinematic PPP solutions (68% percentile) min

2.3 PPP定位精度分析

模糊度固定可靠性一直是GNSS高精度定位面臨的難題[27]。在PPP模糊度固定過(guò)程中，受到觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量、服務(wù)端產(chǎn)品質(zhì)量等因素影響，模糊度固定錯(cuò)誤會(huì)導(dǎo)致定位結(jié)果出現(xiàn)跳點(diǎn)或者不連續(xù)，這也是影響PPP固定解可靠性的關(guān)鍵因素。而BIE通過(guò)多個(gè)備選整數(shù)解加權(quán)融合，能夠有效抑制由于模糊度固定錯(cuò)誤產(chǎn)生的跳點(diǎn)和階躍，提升PPP定位的連續(xù)性和可靠性。為評(píng)估BIE解相比LAMBDA固定解在收斂后對(duì)定位精度的提升，利用30 s觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算給出收斂后PPP浮點(diǎn)解、LAMBDA固定解、BIE解定位情況。圖3為測(cè)站GMSD在DOY 32的3種GPS動(dòng)態(tài)定位誤差曲線(圖3(a)、(b)、(c))及收斂后的定位精度統(tǒng)計(jì)(圖3(d))。在PPP濾波收斂階段，由于載波相位模糊度精度較低，LAMBDA固定解存在跳躍，而BIE解相對(duì)較為穩(wěn)定；待濾波收斂后，在UTC 17:00—24:00之間，浮點(diǎn)模糊度解坐標(biāo)序列波動(dòng)較大，LAMBDA固定解存在固定錯(cuò)誤的情況(如圖3中藍(lán)色橢圓圈內(nèi)所示)，導(dǎo)致位置解有跳躍，而BIE解相對(duì)穩(wěn)定一些。從收斂后精度統(tǒng)計(jì)柱狀圖可以看出，BIE解相比LAMBDA解，定位精度進(jìn)一步有5%～11%的提升。

圖3 3種動(dòng)態(tài)PPP定位誤差(2021年DOY 32，測(cè)站GMSD)Fig.3 Positioning errors derived from three kinematic PPP solutions on DOY 32, 2021 at station GMSD

為充分對(duì)比不同PPP動(dòng)態(tài)解收斂后定位精度，選取濾波開始2 h后的定位誤差用于統(tǒng)計(jì)收斂后定位精度[28]，利用箱線圖來(lái)描述定位精度的分布情況，其中上、下邊緣線分別表示95%和5%分位數(shù)，矩形盒的上、下兩端線分別表示75%和25%分位數(shù)，矩形盒內(nèi)部線表示中位數(shù)，即50%分位數(shù)[29]。圖4給出了所選105個(gè)測(cè)站一周不同動(dòng)態(tài)PPP解定位精度分布箱線圖，表3列出了相應(yīng)的中位數(shù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。模糊度固定對(duì)東方向精度改善最為明顯，LAMBDA固定解相比浮點(diǎn)解提高了35%，進(jìn)一步地，BIE解精度相比LAMBDA固定解提高了9%。整體來(lái)看，BIE解相比LAMBDA固定解有不同程度的精度提高，范圍為3%～9%。

圖4 3種動(dòng)態(tài)PPP定位精度分布Fig.4 Distribution of positioning accuracy derived from three kinematic PPP results

表3 3種動(dòng)態(tài)PPP收斂后定位精度統(tǒng)計(jì)Tab.3 Weekly median positioning accuracy of three kinematic PPP solutions after convergence cm

3 結(jié) 論

縮短GNSS PPP收斂時(shí)間和提升PPP定位精度是目前GNSS高精度定位的關(guān)鍵問(wèn)題。區(qū)別于傳統(tǒng)的模糊度浮點(diǎn)解和固定解方案，本文研究發(fā)現(xiàn)采用BIE方法可以進(jìn)一步提升PPP定位性能。BIE方法是采用對(duì)多個(gè)模糊度整數(shù)備選集加權(quán)融合來(lái)估計(jì)模糊度浮點(diǎn)解，該方法能夠利用模糊度整數(shù)解來(lái)提升浮點(diǎn)解估計(jì)精度，又避免了模糊度固定錯(cuò)誤風(fēng)險(xiǎn)。PPP模糊度估計(jì)模型強(qiáng)度相對(duì)較弱，并且浮點(diǎn)解殘余誤差難以準(zhǔn)確建模，而BIE解比傳統(tǒng)整數(shù)解更適合這種弱模型模糊度估計(jì)場(chǎng)景。為了驗(yàn)證BIE法在PPP模糊度估計(jì)中的效果，本文選取105個(gè)全球分布MGEX測(cè)站一周30 s采樣間隔觀測(cè)數(shù)據(jù)，從收斂時(shí)間和收斂后定位精度分別驗(yàn)證了BIE法相比LAMBDA固定法對(duì)PPP定位性能的提升效果。主要結(jié)論為：

(1) PPP收斂階段，浮點(diǎn)模糊度精度較差，LAMBDA固定解存在錯(cuò)誤固定、解不夠穩(wěn)定的問(wèn)題，而BIE解更為穩(wěn)定。對(duì)于收斂性能來(lái)說(shuō)，LAMBDA固定可將單GPS動(dòng)態(tài)PPP收斂時(shí)間從模糊度浮點(diǎn)解的40 min減小至20 min以內(nèi)，而BIE解可將收斂時(shí)間進(jìn)一步減小至10 min左右。

(2) 相比浮點(diǎn)解定位精度，LAMBDA固定解和BIE解均提升明顯，BIE解相比LAMBDA固定解可進(jìn)一步提升3%～9%。

(3) 整體而言，相比模糊度固定解，BIE解對(duì)收斂時(shí)間有明顯改善，對(duì)收斂后的定位精度也有一定改善。