利用TSVD參數(shù)估值變化特性確定算法截斷參數(shù)

林東方，姚宜斌，鄭敦勇，李朝奎

1. 湖南科技大學測繪遙感信息工程湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201； 2. 武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079； 3. 湖南科技大學地理空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，湖南 湘潭 411201； 4. 武漢大學地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室，湖北 武漢 430079

受觀測條件限制，在地球重力場反演、GNSS空間環(huán)境測量及InSAR地表形變測量等大地測量應用領域常會出現(xiàn)病態(tài)問題[1-7]。病態(tài)問題導致模型解算穩(wěn)定性較差，難以得到準確可靠的模型參數(shù)估值，如何處理與解算病態(tài)問題成為大地測量數(shù)據(jù)處理的重要研究內(nèi)容[8-9]。

病態(tài)問題具體表現(xiàn)于函數(shù)模型的奇異性及模型參數(shù)估計的擾動性上[10]。病態(tài)函數(shù)模型設計矩陣往往包含較小的甚至接近于零的奇異值，該奇異值導致參數(shù)估值方差較大，觀測數(shù)據(jù)中的微小誤差即引起參數(shù)估值的劇烈擾動，這種情況下，常規(guī)最小二乘估計難以得到模型參數(shù)的準確估值[11]。為了提高估值的穩(wěn)定性和可靠性，文獻[12—15]在最小二乘估計基礎上提出了正則化法、嶺估計法、截斷奇異值法(truncated singular value decomposition，TSVD)等有偏估計方法。在均方誤差意義下，3種方法均通過增加偏差、減少方差的形式降低模型參數(shù)估值均方誤差，然而如何確定偏差與方差平衡點，以最大程度降低均方誤差，仍是3種方法尚未解決的難題[16-17]。TSVD通過截掉小奇異值來降低方差，是一種較為簡捷高效的病態(tài)問題解算策略，在諸多領域得到了廣泛應用[18-19]。影響TSVD模型參數(shù)估值均方誤差的關(guān)鍵因素是截斷參數(shù)，目前，常用的截斷參數(shù)確定方法主要有L曲線法、均方誤差最小法等，L曲線法通過計算模型參數(shù)估值二范數(shù)與觀測值殘差二范數(shù)變化曲線的拐點來確定截斷參數(shù)。L曲線法確定的截斷參數(shù)沒有明確的理論依據(jù)，曲線拐點處的參數(shù)估值并不代表最優(yōu)的參數(shù)估值[20-21]。均方誤差最小法通過計算各截斷參數(shù)下的模型參數(shù)估值均方誤差最小值確定截斷參數(shù)[22]，該方法理論依據(jù)明確，但均方誤差的計算需要利用模型參數(shù)真值，而真值是未知的，以估值代替真值計算的均方誤差與真實均方誤差存在一定差異，限制了TSVD解算效果。

均方誤差反映了模型參數(shù)的估計質(zhì)量，對于有偏估計，均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD截掉小奇異值引起參數(shù)估值方差與偏差的變化(方差減小，偏差增大)，該變化將反映在模型參數(shù)估值的變化上。鑒于此，本文利用參數(shù)估值變化分析奇異值截掉后的偏差變化，結(jié)合奇異值截掉后的方差變化確定最優(yōu)截斷參數(shù)，克服參數(shù)真值未知偏差難以計算問題，并通過試驗驗證本文方法的可行性與有效性。

1 病態(tài)問題解算的TSVD方法

1.1 TSVD解算方法

TSVD方法是在最小二乘估計算法基礎上發(fā)展的病態(tài)問題解算方法，最小二乘估計準則表示為[23-25]

Φ=VTPV=min

(1)

式中，V=AX-L，表示觀測值殘差向量；A表示設計矩陣；L為觀測向量；X表示未知模型參數(shù)；P為權(quán)重矩陣；由最小二乘估計準則可得模型參數(shù)估值為

(2)

若函數(shù)模型病態(tài)，則設計矩陣A存在較小的奇異值，對A進行奇異值分解可得

A=USGT

(3)

(4)

式中，U表示左奇異向量矩陣；S表示奇異值矩陣；G表示右奇異向量矩陣；γ表示奇異值，γ1>γ2>…>γn>0。由此可得模型參數(shù)估值方差

(5)

由式(5)可知，小奇異值導致參數(shù)估值方差較大，嚴重降低了模型參數(shù)估計精度[11，22]，TSVD算法通過截掉部分小奇異值來降低方差，提高模型參數(shù)估計穩(wěn)定性，具體表示為

(6)

式中，G與U均取前t列向量。

(7)

式中，t表示由截斷參數(shù)確定的需保留的t個較大奇異值。

1.2 常用TSVD截斷參數(shù)確定方法

影響TSVD解算效果的關(guān)鍵因素是截斷參數(shù)，最優(yōu)截斷參數(shù)可最大程度提高模型參數(shù)的估計精度。目前，最為常用的截斷參數(shù)確定方法有L曲線法、均方誤差最小法等。

1.2.1L曲線法

(8)

式中，ρ′、η′為一階導數(shù)，ρ″、η″為二階導數(shù)，以不同截斷參數(shù)計算L曲線曲率，曲率最大點km對應的截斷參數(shù)即為最優(yōu)截斷參數(shù)。L曲線法缺乏合理的理論依據(jù)，所確定的截斷參數(shù)穩(wěn)定性較好，但難以給出最優(yōu)的截斷參數(shù)。

1.2.2 均方誤差最小法[22]

均方誤差是模型參數(shù)估值與真值之間差值的數(shù)學期望，反映了參數(shù)估值相對于真值的離散程度。TSVD模型參數(shù)估值均方誤差可表示為

(9)

由式(9)可見，均方誤差的計算需要模型參數(shù)的真值，但實際應用中，參數(shù)真值是未知的。鑒于此，均方誤差最小法以模型參數(shù)估值代替真值計算均方誤差。第1步，利用TSVD方法截掉1個最小奇異值獲得模型參數(shù)初步估計值；第2步，以初步估值代替真值計算不同截斷參數(shù)下的均方誤差，由最小均方誤差確定最優(yōu)截斷參數(shù)，再次估計模型參數(shù)，得到該截斷參數(shù)下的模型參數(shù)估值；第3步，將模型參數(shù)第2步估值替代真值重新計算不同截斷參數(shù)下的均方誤差，確定最優(yōu)截斷參數(shù)，如此迭代計算，直至兩次模型參數(shù)估值二范數(shù)收斂到某一較小值[22]

(10)

然而，以估值代替真值計算的均方誤差并非實際的均方誤差，由此確定的截斷參數(shù)受初值影響較大，常導致迭代過程不收斂或收斂于初值，限制了截斷參數(shù)確定可靠性。

1.3 改進TSVD截斷參數(shù)確定方法

1.3.1 截斷參數(shù)確定方法

有偏估計均方誤差由方差與偏差兩部分組成，TSVD通過截掉小奇異值來降低方差，但截掉小奇異值導致模型偏離，引起模型參數(shù)估計偏差。TSVD模型參數(shù)估計均方誤差可擴展為[22]

(11)

式中，Tt為TSVD模型參數(shù)估值方差總和；bt為估值偏差。通過奇異值分解，方差與偏差可表示為

(12)

(13)

式中，gi表示右奇異向量矩陣的第i列向量。

由式(12)和式(13)可知，TSVD每截掉1個小奇異值后，方差的減少量和偏差的增加量不盡相同。在截掉小奇異值后，方差的減少大于偏差的增加，則均方誤差會降低，參數(shù)估值精度得到提高，估值更接近于真值。因此，判斷某小奇異值是否需要截掉的關(guān)鍵在于該奇異值截掉后，方差減少量和偏差增加量的大小關(guān)系，即

(14)

分析方差與偏差對模型參數(shù)估值影響可知，TSVD每截掉一個小奇異值，模型參數(shù)估計方差與偏差會產(chǎn)生不同變化，這種變化將直接體現(xiàn)在參數(shù)估值變化上。由此，可計算出相鄰奇異值截掉后的方差變化量與模型參數(shù)估值變化量，其中，模型參數(shù)估值變化量應包含截掉后一奇異值所引起的方差變化影響及偏差影響。在方差變化已知的情況下，參數(shù)估值變化量應可有效反映出偏差的變化。

(15)

由此，可建立奇異值截斷方法

(16)

本文方法利用去除方差影響的TSVD模型參數(shù)估值變化近似描述奇異值截掉后的偏差變化，有效避免利用參數(shù)真值計算偏差，不受參數(shù)真值未知情形影響，與實際應用相符，具備較好的可行性與實用性。

1.3.2 標準差與參數(shù)估值變化確定方法

1.3.2.1 參數(shù)估值標準差變化量

標準差是方差的平方根，在無偏估計的情況下，標準差即是均方根誤差，反映了參數(shù)估值與真值之間的差異。由式(12)可知，標準差的計算需要單位權(quán)方差，單位權(quán)方差反映了觀測數(shù)據(jù)的觀測精度，在儀器觀測精度已知的情況下，可由儀器精度計算得到。在儀器觀測精度未知時，可利用多余觀測，通過無偏估計計算得到。

由最小二乘估計可得觀測值殘差向量

V=A(ATPA)-1ATPL-L

(17)

對設計矩陣A進行奇異值分解化簡可得

(18)

式中，Um表示對應于奇異值的m×n階左奇異向量矩陣，則單位權(quán)方差可通過式(19)估計為

(19)

由式(19)可知，單位權(quán)方差的估計與多余觀測數(shù)有關(guān)，與奇異值大小無關(guān)，因此，在包含多余觀測的情況下，可實現(xiàn)單位權(quán)方差的估計，利用單位權(quán)方差估值即可得到截掉奇異值后的標準差變化量

(20)

1.3.2.2 參數(shù)估值變化量

病態(tài)性對最小二乘估計的影響主要體現(xiàn)在小奇異值對參數(shù)估值方差的嚴重擴大。TSVD通過截掉小奇異值來消除其對方差的影響。截掉小奇異值降低了參數(shù)估值方差，但同時向參數(shù)估值中引入了偏差。因此，截掉某小奇異值后，方差和偏差的變化共同引起參數(shù)估值的變化。依次截掉相鄰兩個奇異值后的參數(shù)估值變化可計算為

(21)

從參數(shù)估值變化量中除去標準差變化影響即可估計出偏差變化影響

(22)

由式(20)和式(22)可知，截掉奇異值后的標準差變化量和偏差影響量均可通過式(22)計算得到。因而，該截斷參數(shù)確定方法的理論依據(jù)更為明確客觀，容易實現(xiàn)。但是，該方法依然存在缺陷，即在觀測精度未知情況下，單位權(quán)方差的估計需利用多余觀測來實現(xiàn)，多余觀測的質(zhì)量和數(shù)量決定了單位權(quán)方差估計的可靠性，進而影響到標準差計算的準確性。因此，該方法更適用于包含豐富多余觀測的情形。

2 試驗分析

2.1 空間測量試驗

采用空間測邊網(wǎng)算例進行試驗分析，算例中包含2個未知點，9個已知點，通過19個等精度觀測確定未知點坐標，觀測中誤差0.01 m。未知點坐標真值為A(0，0，0)與B(7，10，-5)，兩未知點之間的約束觀測值為13.185 9 m，已知點坐標及其他觀測值情況見表1。

表1 空間測邊網(wǎng)觀測信息Tab.1 Spatial ranging information m

為了驗證本文算法的有效性，針對上述測量問題，制定了兩種解算方案：方案1利用18個觀測值對兩個未知點進行聯(lián)合解算；方案2引入A、B約束觀測，利用19個觀測值聯(lián)合解算兩個未知點。

(1) 方案1。在A、B點聯(lián)合解算時，設計矩陣的奇異值情況見表2，奇異值中包含較小接近于0的奇異值，設計矩陣存在病態(tài)問題。由圖1可見，在截掉奇異值數(shù)為1時，參數(shù)估值相對于最小二乘估計變化量為2.55 m，標準差減少量為1.84 m?？梢妳?shù)估值變化近70%是由標準差變化引起的，剩余30%則可認為是由偏差引起。因此，截掉最后1個奇異值，有利于降低參數(shù)估值均方誤差。在截掉奇異值數(shù)為2時，參數(shù)估值變化量為0.22 m，標準差變化量為0.04 m，可見參數(shù)估值變化20%是由標準差變化引起，而剩余80%可認為由偏差引起，截掉該奇異值不利于降低均方誤差。由此，本文方法確定的截斷參數(shù)為1。L曲線法、均方誤差最小法確定的截斷參數(shù)見表3。

表2 A、B點聯(lián)合解算設計矩陣奇異值Tab.2 Design matrix singular value of joint estimation

表3 不同方法模型參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Model parameter estimation results of different methods m

由表3可知，病態(tài)問題影響了最小二乘估計的參數(shù)估值精度。TSVD通過截掉小奇異值可有效改善最小二乘方法參數(shù)估計結(jié)果，降低參數(shù)估計誤差。但L曲線法截掉3個小奇異值的坐標參數(shù)估計誤差要大于均方誤差最小法與本文方法截掉一個最小奇異值，可見均方誤差最小法與本文方法確定的截斷參數(shù)優(yōu)于L曲線法，由此表明，兩種方法均可得到較優(yōu)的截斷參數(shù)。

(2) 方案2。引入聯(lián)測約束的設計矩陣奇異值見表4。由表4可知，引入聯(lián)測約束后，觀測方程設計矩陣病態(tài)性得到改善，對比表2，各奇異值均有所增大，病態(tài)性影響減弱。繼續(xù)采用最小二乘與TSVD方法解算參數(shù)進行對比分析。本文截斷參數(shù)確定方法參數(shù)估值及標準差變化情況如圖2所示，截掉任一奇異值后的參數(shù)估值變化量均要遠大于標準差變化量，即截掉奇異值后的偏差影響要大于方差影響，因此，不應截掉奇異值，本文方法確定截斷參數(shù)為0。L曲線與均方誤差最小法確定截斷參數(shù)見表5。

表4 引入聯(lián)測約束的設計矩陣奇異值Tab.4 Singular values of design matrix with constraint

圖2 截掉奇異值后的參數(shù)估值及標準差變化Fig.2 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

表5 不同方法模型參數(shù)估計結(jié)果Tab.5 Model parameter estimation results of different methods m

由表5可知，引入聯(lián)測約束后，病態(tài)問題對最小二乘估計的影響減弱，最小二乘方法可得到參數(shù)的可靠估值。采用TSVD方法進行解算，通過L曲線法、均方誤差最小法確定的截斷參數(shù)，TSVD分別需要截掉3個和1個奇異值，但截掉奇異值引入偏差對參數(shù)估值的影響要大于降低方差，從而降低了參數(shù)估值精度。采用本文方法確定的截斷參數(shù)為0，無須截掉奇異值，則TSVD與最小二乘估計結(jié)果相同，參數(shù)估值精度最優(yōu)。

TSVD是在最小二乘估計基礎上建立的病態(tài)問題解算方法，其解算效果取決于截斷參數(shù)的選擇。綜合分析兩種方案的解算結(jié)果可知，L曲線法確定截斷參數(shù)依賴于奇異值大小差異，差異較大時，則容易出現(xiàn)拐點，但該拐點不能保證模型參數(shù)估計質(zhì)量；均方誤差最小法易受最小奇異值截掉后模型參數(shù)估計質(zhì)量的影響，初步估計結(jié)果往往決定了截斷參數(shù)的選擇；本文方法綜合考慮了奇異值截掉后的方差變化及參數(shù)估值變化(即方差與偏差影響)，截斷參數(shù)確定依據(jù)充分，兩種方案下均給出了合理的截斷參數(shù)，有效提高了TSVD模型參數(shù)估計精度。

2.2 PolInSAR植被高反演試驗

PolInSAR是大地測量中具備穿透測量能力的新興熱門測量技術(shù)，已在大范圍植被高度與林下地形測量中得到了廣泛應用。PolInSAR通過多極化穿透觀測，能夠有效地獲取植被覆蓋區(qū)地表及植被體散射信息，為植被高度及林下地形測繪提供了可能。然而，PolInSAR多極化觀測模型參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性，導致利用多極化數(shù)據(jù)進行植被高反演時常出現(xiàn)病態(tài)問題[27-29]，限制了植被高度的反演精度。為了驗證本文方法的可行性與有效性，選取了德國宇航局BioSAR2008項目的E-SAR P波段多極化數(shù)據(jù)進行植被高反演試驗，觀測數(shù)據(jù)信息見表6。此外，試驗區(qū)擁有高精度LiDAR植被高測量數(shù)據(jù)，可用于對比分析PolInSAR植被高反演結(jié)果。

表6 觀測數(shù)據(jù)參數(shù)信息Tab.6 Information of multi-polarization observation

散射模型是刻畫雷達波在植被覆蓋區(qū)穿透傳播過程的物理模型，是利用PolInSAR多極化觀測信息反演植被高度的基礎，隨機地體二層散射(RVoG)模型是目前應用最為廣泛的散射模型，該模型有效建立了極化觀測量與植被參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。具體表達為

(23)

式中，ω表示極化散射狀態(tài)；γ(ω)為對應于極化狀態(tài)ω的復相干系數(shù)，為已知觀測值；φ0表示地表相位，為未知參數(shù)；μ(ω)表示地體幅度比，為未知參數(shù)；γv表示純體相干性，與植被高參數(shù)相關(guān)聯(lián)。γv具體表達為

(24)

式中，σ表示消光系數(shù)，為未知參數(shù)；θ表示雷達入射角，為已知值；hv表示植被高參數(shù)，為未知參數(shù)；kz表示垂直向有效波數(shù)，為已知值。極化觀測γ(ω)及純體相干性γv為復數(shù)值。由散射模型可構(gòu)建函數(shù)模型

γ(ω)=f(φ0,σ,hv,μ(ω))

(25)

由式(25)結(jié)合復數(shù)最小二乘估計準則，可構(gòu)建高斯-馬爾可夫(Gauss-Markov，G-M)模型[28-29]

Vγ=AγXγ-Lγ

(26)

式中，Vγ表示殘差向量；Aγ為系數(shù)矩陣；Xγ為模型參數(shù)改正數(shù)向量；Lγ表示實部與虛部殘余常數(shù)向量。利用式(26)實現(xiàn)植被高參數(shù)平差估計。

本次試驗利用HH、HV、VV、HHpVV、HHmVV、opt1、opt2、opt3、PDHigh、PDLow這10種極化方式觀測數(shù)據(jù)，進行植被高參數(shù)估計。誤差方程共包含植被高、地體幅度比等13個未知模型參數(shù)，設計矩陣奇異值情況見表7。

由表7中的奇異值情況可知，設計矩陣存在嚴重的病態(tài)性。圖3為奇異值截掉后的TSVD參數(shù)估值及標準差變化情況。由于最小奇異值過小，截掉后標準差變化過大，參數(shù)估值及標準差變化趨勢拆分為圖3(a)、圖3(b)兩部分展示。由圖3可知，前2次截掉小奇異值，方差減少影響均要大于偏差增加影響，有利于降低模型參數(shù)估值均方誤差。在第3次截掉奇異值后(截掉奇異值數(shù)為3)，方差減少對參數(shù)估值的影響要小于偏差增加對其影響，第3次截掉奇異值不利于均方誤差的降低。因此，本文方法確定截斷參數(shù)為2。為了對比分析，分別采用L曲線法、均方誤差最小法確定截斷參數(shù)，解算觀測方程，獲得植被高、地體幅度比等模型參數(shù)的TSVD估值。表8為不同方法模型參數(shù)估計的結(jié)果。

表7 觀測方程設計矩陣奇異值Tab.7 Design matrix singular values of observation equation

圖3 截掉奇異值后的參數(shù)估值及標準差變化Fig.3 Parameter estimates and standard deviation changes after truncating singular values

表8 不同方法模型參數(shù)估計結(jié)果Tab.8 Model parameter estimation results of different methods

由于函數(shù)模型中包含一些過程參數(shù)無參數(shù)真值進行對比分析，因此表8僅給出了植被高及影響植被高反演的地體幅度比參數(shù)的估計結(jié)果。由式(23)可知，地體幅度比參數(shù)影響了純體相干性的相位高度，相位高度越接近于植被冠層，則植被高反演越準確。由表8中兩類參數(shù)的反演結(jié)果可知，3種TSVD解算方法有效改善了最小二乘方法參數(shù)估計結(jié)果。相較于LiDAR植被高測量結(jié)果(20.02 m)，L曲線法確定截斷參數(shù)時，TSVD植被高估值偏低，這與地體幅度比的估值結(jié)果相符，因為地體幅度比估值相較于其他兩種方法也偏低，則純體相干性相位高度位于植被冠層以下，從而造成植被高參數(shù)低估。由均方誤差最小法確定截斷參數(shù)時，植被高與地體幅度比估值均偏高，這與L曲線法相反，過高的地體幅度比導致純體相干性相位高度位于植被冠層以上，造成植被高參數(shù)高估。采用本文方法確定截斷參數(shù)時，盡管植被高與地體幅度比估值仍偏高，但相較于其他兩種方法有明顯改善，植被高估計結(jié)果最接近于LiDAR結(jié)果，精度最高。便于直觀對比分析，整幅數(shù)據(jù)的植被高估計結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，受模型病態(tài)性影響，最小二乘估計已無法獲得植被高參數(shù)的可靠估值。采用TSVD方法進行解算，不同截斷參數(shù)下的植被高反演結(jié)果存在較大差異。由L曲線法確定截斷參數(shù)，TSVD方法反演的植被高結(jié)果相較于三階段初值未有明顯改善，這主要由于L曲線法截掉的奇異值過多，出現(xiàn)過度平滑，解算結(jié)果未能得到改善。均方誤差最小法確定截斷參數(shù)，植被高反演結(jié)果相較于初值有明顯改善，但與LiDAR結(jié)果相比，存在一定高估。這是由于均方誤差最小法僅截掉一個最小奇異值，雖然病態(tài)性得到了較大改善，但剩余小奇異值病態(tài)性仍較為嚴重，植被高反演均方誤差仍較大，導致存在高估。由本文方法確定截斷參數(shù)，TSVD表現(xiàn)最優(yōu)，植被高反演結(jié)果最接近于LiDAR植被高結(jié)果，表明新截斷參數(shù)確定方法可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數(shù)估計精度。為了量化分析，由圖中均勻選取1377塊樣地，統(tǒng)計分析植被高反演誤差情況，統(tǒng)計結(jié)果如圖5所示。

圖4 各方法植被高反演結(jié)果Fig.4 Vegetation height inversion results of each method

由圖5可知，最小二乘估計均方根誤差較大且離散程度較高，估計精度較差，無法獲得植被高可靠估值。由L曲線法確定截斷參數(shù)的TSVD方法，植被高估計結(jié)果離散度有較大改善，均方根誤差相較于最小二乘估計有顯著降低；但相較于其他方法仍較大。均方誤差最小法確定截斷參數(shù)，TSVD植被高估值均方根誤差優(yōu)于L曲線法，但差于本文方法。由本文方法確定截斷參數(shù)，TSVD植被高估值均方根誤差均低于其他方法，與LiDAR樣地植被高符合程度最高，表明本文方法確定截斷參數(shù)的TSVD植被高估計結(jié)果最佳，驗證了本文方法在改善TSVD解算效果上的可行性與有效性。

圖5 各方法樣地植被高反演誤差Fig.5 Standards vegetation height inversion errors of each method

3 結(jié) 論

TSVD方法是處理病態(tài)問題的常用有效方法，在大地測量各領域得到了廣泛應用。截斷參數(shù)的選擇決定了TSVD方法的解算效果，常用的截斷參數(shù)確定方法從不同角度給出了有效的截斷參數(shù)，但仍難以確定最優(yōu)截斷參數(shù)。均方誤差最小法考慮了TSVD模型參數(shù)估值均方誤差的變化，可在均方誤差理論下保證模型參數(shù)估值精度，是一種理論依據(jù)較為完備的截斷參數(shù)確定方法，但均方誤差的計算需要模型參數(shù)真值，在實際應用中無法滿足，導致該方法難以確定出理論上的最優(yōu)截斷參數(shù)。鑒于此，本文提出了考慮均方誤差視角下參數(shù)估值變化差異的TSVD截斷參數(shù)確定方法，利用奇異值截掉后的方差與參數(shù)估值變化關(guān)系分析確定偏差影響，綜合方差與偏差影響，最終實現(xiàn)基于均方誤差最小準則的截斷參數(shù)確定。模擬與實際應用的試驗結(jié)果表明，本文方法確定的截斷參數(shù)可有效改善TSVD解算效果，提高模型參數(shù)估值的精度與可靠性。