結(jié)合高斯投影和抵償高程面建立GPS 控制網(wǎng)

黃俊偉，陳海春，白世晗*，馮 超，李 霞

（1. 云南省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，云南 昆明 650021）

隨著我國(guó)基建工程的飛速發(fā)展，近年來(lái)，公路、鐵路、電路、城市交通、水利等多行業(yè)長(zhǎng)距離建設(shè)項(xiàng)目日益增多，而長(zhǎng)線路GPS控制網(wǎng)是工程大比例尺地形圖測(cè)量、征地、施工放樣的基礎(chǔ)[1-2]。如何建立一套科學(xué)的建網(wǎng)方案，既滿足該控制網(wǎng)與國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)的聯(lián)系，又將邊長(zhǎng)的投影變形控制在允許范圍內(nèi)，是長(zhǎng)線路建設(shè)工程首先要解決的問題[3-5]。為滿足控制網(wǎng)實(shí)測(cè)坐標(biāo)反算后，得到的邊長(zhǎng)和實(shí)地量測(cè)的邊長(zhǎng)在長(zhǎng)度上盡可能相等，使布設(shè)的建筑物位置和施工實(shí)施階段放樣位置誤差最小，需考慮歸算實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)到橢球面的變形ΔS1與歸算至高斯投影面上的橢球面邊長(zhǎng)變形ΔS2之和ΔS達(dá)到最優(yōu)，以滿足施工放樣精度[6-9]。

針對(duì)上述問題，大量研究人員對(duì)長(zhǎng)線路GPS控制網(wǎng)的布設(shè)做了相關(guān)的研究，歸納后大概有如下一些方式：①使用邊長(zhǎng)尺度約束法對(duì)GPS控制網(wǎng)邊長(zhǎng)進(jìn)行平差約束。②選擇一個(gè)適合本工程的中央子午線進(jìn)行高斯投影。③選擇合適的更加符合工程的高程投影面，進(jìn)行抵償高程投影改正。本文中某長(zhǎng)距離引水工程位于高原山區(qū)，跨度數(shù)百公里，且地形起伏較大，為建立滿足長(zhǎng)度變形限差的GPS 控制網(wǎng)，綜合使用高斯投影和抵償高程面的方式，讓工程整體精度得到保證。

1 減弱邊長(zhǎng)變形的方法

1.1 邊長(zhǎng)尺度約束法

對(duì)GPS控制網(wǎng)內(nèi)點(diǎn)間長(zhǎng)度用改化過的邊長(zhǎng)進(jìn)行約束平差，間接實(shí)現(xiàn)了高斯平面邊長(zhǎng)歸化。一般選擇測(cè)區(qū)中間位置的3 個(gè)互相通視的GPS 點(diǎn)，以一個(gè)為基點(diǎn)，相連的一條基線為方位角，利用高精度全站儀實(shí)際測(cè)量該邊長(zhǎng)控制點(diǎn)間的距離，并用該邊長(zhǎng)進(jìn)行約束平差[10-11]。此方法獲得的工程坐標(biāo)系統(tǒng)與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系在局部范圍相差不大，但參考橢球的參數(shù)卻不確定，需要進(jìn)行校正。該方法一般適用于測(cè)區(qū)范圍較小、不用和其他線路工程進(jìn)行聯(lián)系的獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)[12]。

1.2 高斯投影

該方法還是選擇參考橢球面作為實(shí)測(cè)地面數(shù)據(jù)的歸化面，但高斯投影的中央子午線不再是標(biāo)準(zhǔn)劃分的3°帶，而是重新選擇合適的中央子午線（面積小的工程一般可采用測(cè)區(qū)中間位置）做投影，使長(zhǎng)度投影至該投影帶上變形比國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)3°帶投影小。該方法處理原理簡(jiǎn)單，處理效果相對(duì)比較好，不需要重新計(jì)算橢球參數(shù)，但經(jīng)過換帶投影計(jì)算之后，同一地面位置的高斯平面坐標(biāo)值會(huì)產(chǎn)生較大的變化，和國(guó)家坐標(biāo)系數(shù)值匹配度不高[13]，如圖1所示。

圖1 線路每1 000 m長(zhǎng)度變形與Ym 之間的關(guān)系圖

橢球面上任意邊長(zhǎng)投影至高斯平面會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)度變形，變形量如式（1）所示：

式中，R為該測(cè)區(qū)中點(diǎn)的平均曲率半徑；S0為邊長(zhǎng)歸算到橢球面上的長(zhǎng)度；YM根據(jù)測(cè)區(qū)情況不同會(huì)有2種取值方式。

當(dāng)測(cè)區(qū)位于中央子午線的一側(cè)時(shí):

當(dāng)測(cè)區(qū)位于中央子午線兩端時(shí):

1.3 抵償高程面法

抵償高程面法即不以標(biāo)準(zhǔn)參考橢球面實(shí)現(xiàn)高斯投影，而是選定更加合適的符合工程的高程面。如圖2所示。

圖2 線路每1 000 m長(zhǎng)度變形與Hm 之間的關(guān)系圖

該方法產(chǎn)生的變形如式（4）所示：

式中，ΔS2為實(shí)地測(cè)量邊長(zhǎng)換算到橢球面上的投影變形；HM為所在高程面相對(duì)于橢球面的平均高程；R為該長(zhǎng)度所在方向的橢球曲率半徑；SA為實(shí)地測(cè)量的水平距離。

2 綜合投影

2.1 使用1°分帶進(jìn)行高斯投影

為減小邊緣地區(qū)高斯投影變形，對(duì)于長(zhǎng)線路工程，采取1°分帶來(lái)代替常規(guī)3°分帶，經(jīng)計(jì)算可知在1°帶區(qū)域內(nèi)，區(qū)域邊緣位置距離中央子午線的距離約為50 km，區(qū)域邊緣高斯改化值約為3.2 cm/km。1°分帶減小了測(cè)區(qū)邊緣的高斯改化的最大變形，但受高原山地海拔較高影響，某些區(qū)域測(cè)距邊投影到參考橢球面的高程改化變形值還是很大。故在地形起伏較大的地區(qū)除了進(jìn)行1°分帶，還需設(shè)置抵償投影面來(lái)控制高程歸化變形。

2.2 建立合適的抵償高程面

要實(shí)現(xiàn)控制變形，依據(jù)上文分析，則需考慮控制YM處變形最小，雖然實(shí)際地形并非平均高程面，難免存在高低起伏，但一定高差內(nèi)變形可被控制。可以取H0為抵償高程面，當(dāng)確定測(cè)區(qū)YM值之后，即可計(jì)算平均高程面Hm與抵償高程面H0之間的高差ΔH，如圖3所示。

圖3 平均高程面與抵償高程面示意圖

如上圖所示:

式中，YM的計(jì)算由上文分析所得，當(dāng)測(cè)區(qū)位于中央子午線的一側(cè)時(shí)，當(dāng)測(cè)區(qū)位于中央子午線兩端時(shí)，

2.3 高斯投影

綜合高斯投影和高程抵償面投影，邊長(zhǎng)變形ΔS=ΔS1+ΔS2，長(zhǎng)度綜合變形公式為：

由上式可以看出，當(dāng)采取綜合考慮選擇合適的中央子午線和抵償高程面時(shí)，可使得測(cè)區(qū)長(zhǎng)度綜合變形最小。故可采用二者結(jié)合的方式，應(yīng)用于長(zhǎng)線路引水工程，進(jìn)行工程GPS控制網(wǎng)的建立。

3 案例分析

以云南某大型引水項(xiàng)目為例，工程以輸水線路為主，線路總長(zhǎng)約700 km。項(xiàng)目東西跨度超過230 km，經(jīng)度范圍約在100°31′～102°55′E 之間，測(cè)區(qū)高程起伏變化從1 200～1 980 m，平均海拔1 600 m。

3.1 投影面的確立

1）將線路區(qū)域按覆蓋的經(jīng)度，按1°帶分帶，將整數(shù)1°的子午線作為中央子午線，即101°、102°、103°為中央子午線。

2）為了控制工程的變形量，還需將觀測(cè)邊長(zhǎng)投影至合適的高程面上。高程面的按2.2、2.3 節(jié)方法計(jì)算后選取1 780 m、1 650 m、1 510 m、1 300 m 共4 個(gè)投影高程面，整體設(shè)計(jì)保證每個(gè)投影面上至少有3 個(gè)一等點(diǎn)，利用一等平面控制點(diǎn)的施工測(cè)量坐標(biāo)系成果為起算數(shù)據(jù)，計(jì)算二等平面網(wǎng)的施工測(cè)量坐標(biāo)系成果。為方便項(xiàng)目設(shè)計(jì)施工銜接，兩兩投影面相交區(qū)域需提供兩套成果便于轉(zhuǎn)換。

3）測(cè)區(qū)投影面劃分：①101°中央子午線下1 780 m投影面；②101°中央子午線下1 650 m投影面；③102°中央子午線下1 650 m 投影面；④102°中央子午線下1 510 m 投影面；⑤102°中央子午線下1 300 m 投影面；⑥103°中央子午線下1 300 m投影面。

3.2 控制網(wǎng)布設(shè)

1）為滿足測(cè)繪規(guī)范要求，針對(duì)該項(xiàng)目實(shí)際情況，對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行兩級(jí)控制網(wǎng)布設(shè)。一等平面控制網(wǎng)（本工程平面一等網(wǎng)精度要求參照GPS B級(jí)網(wǎng)執(zhí)行）作為整體項(xiàng)目的框架基礎(chǔ)，平均間距約40 km 一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行布設(shè)，將整個(gè)工程連成一個(gè)整體，工程共計(jì)布設(shè)一等點(diǎn)26 個(gè)。為保證工程和國(guó)家坐標(biāo)系銜接，工程布設(shè)平面一等網(wǎng)就近聯(lián)測(cè)國(guó)家控制點(diǎn)，共聯(lián)測(cè)了8 個(gè)國(guó)家平面已知點(diǎn)（其中包含國(guó)家一等點(diǎn)4個(gè)、二等點(diǎn)1個(gè)、B 級(jí)點(diǎn)3 個(gè)）?？刂凭W(wǎng)觀測(cè)實(shí)施按GB/T 18314-2009《全球定位系統(tǒng)（GPS）測(cè)量規(guī)范》中的B 級(jí)網(wǎng)要求執(zhí)行。

2）二等網(wǎng)點(diǎn)是工程建筑的首級(jí)施工控制網(wǎng)（本工程平面二等網(wǎng)精度要求參照GPS C級(jí)網(wǎng)執(zhí)行），主要考慮布設(shè)在工程建筑物附近便于施工放樣，一般每個(gè)建筑物附近至少有4 個(gè)兩兩互相通視的控制點(diǎn)，工程共計(jì)布設(shè)二等點(diǎn)284 個(gè)。與一等控制網(wǎng)聯(lián)合觀測(cè)解算，施測(cè)時(shí)候所有一等網(wǎng)都放進(jìn)二等網(wǎng)里進(jìn)行觀測(cè)?？刂凭W(wǎng)觀測(cè)實(shí)施按GB/T 18314-2009《全球定位系統(tǒng)（GPS）測(cè)量規(guī)范》中的C級(jí)網(wǎng)要求執(zhí)行。

3）控制網(wǎng)解算方法及投影：①一等網(wǎng)整體平差得到一等網(wǎng)國(guó)家2000坐標(biāo)系；②一等網(wǎng)根據(jù)劃分的投影區(qū)域進(jìn)行橢球膨脹把控制網(wǎng)投影到相應(yīng)高程面上，中央子午線采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法把3°帶成果轉(zhuǎn)換為1°帶成果。得到相應(yīng)的工程坐標(biāo)系；③各投影區(qū)域分別進(jìn)行平差計(jì)算，以區(qū)域內(nèi)一等點(diǎn)為已知點(diǎn)，進(jìn)行二等網(wǎng)平差計(jì)算，得出二等網(wǎng)的工程坐標(biāo)系，相鄰區(qū)域的地方二等網(wǎng)需解算2 個(gè)區(qū)域的成果，以便后期不同施工區(qū)域的銜接。

3.3 幾種投影方式精度分析

為比較不同投影方式下該項(xiàng)目邊長(zhǎng)變形，現(xiàn)以項(xiàng)目最東一個(gè)測(cè)區(qū)（101°中央子午線下1 780 m 投影面）進(jìn)行討論。以下是該區(qū)域內(nèi)部分二等網(wǎng)邊長(zhǎng)在不同投影方式下和全站儀實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)的對(duì)比：

1）按照標(biāo)準(zhǔn)3°分帶，測(cè)區(qū)平均高程面進(jìn)行投影變換。測(cè)區(qū)若采用國(guó)家3°帶坐標(biāo)系，則中央子午線為102°，使用該段平均高程面1 810 m 作為投影面，全站儀實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)和投影坐標(biāo)反算距離比較分析如表3。

表3 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)比較表

2）按照1°分帶，測(cè)區(qū)平均高程面進(jìn)行投影變換。1°分帶下測(cè)區(qū)中央子午線為101°，使用平均高程面1 810 m 作為投影面，全站儀實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)和投影坐標(biāo)反算距離比較分析如表4。

表4 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)比較表

3）按照1°分帶，測(cè)區(qū)抵償高程面進(jìn)行投影變換。1°分帶下測(cè)區(qū)中央子午線為101°，選擇抵償高程面為投影面。依據(jù)前文推導(dǎo)，計(jì)算得YM= 44 km，H0=1 780 m，17 80 m 即作為高程投影面。用全站儀實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)和投影坐標(biāo)反算距離比較分析如表5、圖4所示。

圖4 不同投影方式引起的變形差異

表5 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)比較表

分析不同投影方法下變形差值可得出：針對(duì)長(zhǎng)線路大高差工程項(xiàng)目，常規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)3°分帶邊緣區(qū)域距離中央經(jīng)線距離較遠(yuǎn)，約140 km，引起變形較大，超過10 cm/km，不能滿足行業(yè)規(guī)范和設(shè)計(jì)施工需求；對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行1°分帶建立獨(dú)立的施工測(cè)量坐標(biāo)系，大幅度減少了測(cè)區(qū)距離中央經(jīng)線的距離，有效降低了長(zhǎng)度變形。但若不考慮合適的投影高程面，僅簡(jiǎn)單使用測(cè)區(qū)平均高程，部分區(qū)域長(zhǎng)度變形仍存在超過2.5 cm/km情況，未滿足規(guī)范要求；對(duì)該項(xiàng)目采用1°分帶，并計(jì)算抵償高程面，科學(xué)合理的選擇投影高程面，可有效降低長(zhǎng)度變形，使得測(cè)區(qū)整體變形得到控制，滿足規(guī)范精度要求。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)高原山區(qū)長(zhǎng)線路GPS控制網(wǎng)長(zhǎng)度變形超限的困擾，分析了減弱邊長(zhǎng)變形的不同方法，研究了投影變換方式的確立，提出了科學(xué)合理、滿足規(guī)范要求的建網(wǎng)思路。通過理論推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)地形起伏較大的山區(qū)高斯投影和高程歸化改正變形值存在正負(fù)抵消減弱的情況，并依據(jù)實(shí)際案例，運(yùn)用1°分帶高斯投影和抵償高程面的方式，進(jìn)行長(zhǎng)線路GPS 控制網(wǎng)的建立。通過理論分析和案例計(jì)算，驗(yàn)證了該方法能有效降低投影變形，誤差滿足規(guī)范精度要求，滿足高原山地施工控制網(wǎng)建網(wǎng)要求。