多目標(biāo)區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件*

黃曉美，唐國(guó)吉

（廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，廣西南寧 530006）

0 引言

隨著不確定在實(shí)際工程優(yōu)化頻繁呈現(xiàn)，作為一類(lèi)含區(qū)間參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題引起了研究者的關(guān)注。最優(yōu)性條件對(duì)于求解區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題尤為重要。近年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題解的最優(yōu)性條件展開(kāi)研究。文獻(xiàn)[1-2]獲得含不等式約束的單目標(biāo)可微的區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題的KKT條件和對(duì)偶理論。文獻(xiàn)[3-4]分別通過(guò)函數(shù)偽不變凸，擬不變凸和預(yù)不變凸，不變凸的性質(zhì)獲得單目標(biāo)可微區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題的KKT充分性條件及對(duì)偶理論。文獻(xiàn)[5]利用Clarke次微分獲得單目標(biāo)非光滑區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題的Fritz-John和KKT最優(yōu)性條件。文獻(xiàn)[6]把實(shí)值的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解的概念推廣到多目標(biāo)區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題，并在目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是可微且凸的條件下得到KKT充分性條件。文獻(xiàn)[7]在凸性條件下研究向量值的區(qū)間優(yōu)化問(wèn)題與向量變分不等式之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]利用Clarke次微分得到含不等式約束的多目標(biāo)區(qū)間優(yōu)化問(wèn)題的Fritz-John和KKT最優(yōu)性條件。

廣義Jacobi矩陣是由Clarke針對(duì)向量值函數(shù)引入，[9]文獻(xiàn)[10]考慮優(yōu)化問(wèn)題的所有函數(shù)為區(qū)間值函數(shù)，通過(guò)廣義Jacobi矩陣，獲得另一種形式的Fritz-John和KKT最優(yōu)性條件，并解釋了對(duì)于相同的乘子，通過(guò)廣義Jacobi矩陣獲得的最優(yōu)性條件的解集包含于Clarke次微分型的最優(yōu)性條件的解集，反之不成立。這說(shuō)明了滿(mǎn)足廣義Jacobi矩陣型的最優(yōu)性條件的乘子集合范圍更小。受文獻(xiàn)[10]的啟發(fā)，本文主要工作是把文獻(xiàn)[10]的結(jié)果推廣到多目標(biāo)區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題，獲得局部LU-有效解的最優(yōu)性條件。

1 預(yù)備知識(shí)

我們用I^表示實(shí)數(shù)集R上所有閉區(qū)間的集族。設(shè)A是I^上的任意一個(gè)閉區(qū)間，記為A=[aL，aU]，其中aL和aU分別表示閉區(qū)間A的下界和上界，易知aL≤aU。若aL=aU=a，則A=[aL，aU]=a是一個(gè)實(shí)數(shù)。

定 義 1[1]稱(chēng) F：Rn→I^ 為 閉 區(qū) 間 值 函 數(shù) ，如 果 對(duì) 任 意 的 x∈Rn，F(xiàn)(x)均 為 R 上 的 閉 區(qū) 間 ，記 F(x)=[ FL(x)，F(xiàn)U(x)]，其中FL和FU稱(chēng)為F的左右端點(diǎn)函數(shù)，且FL和FU是定義在Rn上的實(shí)值函數(shù)，并且對(duì)任意的x∈Rn滿(mǎn)足FL(x)≤ FU(x)。

定義2[1]設(shè)A=[aL，aU]和B=[bL，bU]是I^上任意兩個(gè)閉區(qū)間，定義如下運(yùn)算：

用Λm×n表m行n的矩陣空間，|||·|||為Λm×n上的范數(shù)，則任意的矩陣A∈Λm×n有|||A|||=max|aij|，其中A=(aij)，1≤i≤m和1≤j≤n，記Aj為A的列向量。下面回顧向量值函數(shù)次微分的概念。

定義4[9]設(shè)T?Rn為非空開(kāi)子集，f=( f1，…，fm)：T→Rm是局部Lipschitz連續(xù)的向量值函數(shù)，則f在x0∈T處的廣義Jacobi矩陣為

其中集合Tf表示f在T中不可微點(diǎn)的全體，J( f，xi)為f在xi處的Jacobi矩陣，co表示凸包。

從文［9］可知，關(guān)于廣義Jacobi矩陣有如下性質(zhì)：

(i)?( f，x0)是非空緊凸集；

(ii)集值映射 x ??( f，x)是局部有界的，即存在關(guān)于 x0的鄰域 V 和常數(shù) K 使得對(duì)所有的 x∈V 有 max {|||A|||：A∈?( f，x)}≤K；

(iii)?( f，·)是上半連續(xù)的集值映射，因此對(duì)于x→x0，An→A0且An∈?( f，xn)，則A0∈?( f，x0)；

(iv)?T( f，x0)?(?f1(x0)，…，?fm(x0))，即任意矩陣A∈?T( f，x0)，有Ai∈?fi(x0)，i=1，…，m。

引理1[10]設(shè)T?Rn是非空開(kāi)子集，f=( f1，…，fm)：T→Rm是局部Lipschitz連續(xù)的向量值函數(shù)，φ：Rm→R是連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)，則

定義5[8]設(shè)x=(x1，…，xn)T和y=(y1，…，yn)T是Rn上的任意向量，定義如下：

(i)x=y當(dāng)且僅當(dāng)xi=yi，對(duì)所有的i=1，…，n；

(ii)x ≧ y當(dāng)且僅當(dāng)xi≥yi，對(duì)所有的i=1，…，n；

(iii)x≥y當(dāng)且僅當(dāng)x ≧y且x≠y；

(iv)x＞y當(dāng)且僅當(dāng)xi＞yi，對(duì)所有的i=1，…，n；

引理2[12]設(shè)φ:Rn→R是局部Lipschitz連續(xù)。如果φ在點(diǎn)x處達(dá)到極值，則0∈?φ(x)。

引理 3[12](i)若 φ：Rn→R 是連續(xù)可微函數(shù)，則對(duì)任意的 x∈Rn，φ 在點(diǎn) x 處是局部 Lipschitz 連續(xù)，且 ?φ(x)={?φ(x)}；

(ii)若φ:Rn→R是凸函數(shù)，則對(duì)任意的x∈Rn，φ在點(diǎn)x處是局部Lipschitz連續(xù);

(iv)設(shè) φi：Rn→R(i=1，…，m)是均為局部 Lipschitz 連續(xù)函數(shù)，定義函數(shù) φ：Rn→R 為 φ(x)=max {φi(x)|i=1，…，m }，則 φ 是局部 Lipschitz 連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意的 x∈Rn均有 ?φ(x)=co{?φi(x)|i∈T(x)}，其中 T(x)：={i∈{1，…，m }|φi(x)=φ(x)}；

(v)若φ：Rn→R是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，則φ2也是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)。

2 Fritz-John和KKT最優(yōu)性條件

本文主要考慮如下區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題：

其中FL?，F(xiàn)U?：Rn→R(?=1，…，m)，g：Rn→Rp和h：Rn→Rq是局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)。令Ω：={ x∈Rn|gi(x)≤0，i=1，…，p；hj(x)=0，j=1，…，q}為可行集，I(x0)：={i|gi(x0)=0，i=1，…，p}為有效約束函數(shù)的指標(biāo)集。為了方便，記M={1，…，m }，P={1，…，p}，Q={1，…，q}。

定義6 稱(chēng)可行點(diǎn)x0是問(wèn)題（MIVOP）的局部弱LU-有效解，如果存在實(shí)數(shù)δ＞0使得不存在x∈Ω∩-B(x0，δ)，對(duì)任意的?∈M滿(mǎn)足F?(x)?LUF?(x0)。

注1:(i)若區(qū)間值函數(shù)F?(x)(?∈M )的左右端點(diǎn)函數(shù)相等，則問(wèn)題(MIVOP)退化為實(shí)值多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。故局部弱LU-有效解退化為局部弱Pareto-有效解。

(ii)當(dāng)-B(x0，δ)=Rn，定義6的局部弱LU-有效解是弱LU-有效解，即文獻(xiàn)［6］定義的多目標(biāo)區(qū)間值優(yōu)化問(wèn)題的第一型弱Pareto最優(yōu)解。

下面例子說(shuō)明局部弱LU-有效解非空。

例1 設(shè)x∈R，考慮如下問(wèn)題：

類(lèi)似文獻(xiàn)[8]命題2.14的證明，容易得到如下引理。

引理4 設(shè)x0∈Ω是問(wèn)題(MIVOP)的局部弱LU-有效解當(dāng)且僅當(dāng)x0是如下多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的局部弱Pareto-有效解：

其中Ω1：={ x∈Rngi(x)≤0，i∈P；hj(x)=0，j∈Q，F(xiàn)U?(x)≤FU?(x0)，?∈M }。

下面我們先給出(MIVOP)在廣義Jacobi矩陣下的局部弱LU-有效解的Fritz-John必要條件。

定理1(Fritz-John必要條件) 設(shè)x0∈Ω 是問(wèn)題(MIVOP)的局部弱LU-有效解，則存在乘子，λL∈Rm，λU∈Rm，μ∈Rp和τ∈Rq使得

證明：由引理4知，x0是(VOP)的局部弱Pareto-有效解。因此存在實(shí)數(shù)δ＞0使得x0是如下優(yōu)化問(wèn)題唯一的弱Pareto-有效解

考慮如下優(yōu)化問(wèn)題：

因此。存在c＞0使得對(duì)充分大k∈K有

所以

故對(duì)充分大的k∈K，有

這使得

由xk的定義和引理2得，0∈?Φk(xk)。由引理3(iii)可得，

定義φ3：Rn→R為

因此，式子(2)變?yōu)?/p>

由廣義Jacobi矩陣的局部有界性和上半連續(xù)性知，對(duì)充分大的k∈N有，

因此，對(duì)充分大的k∈N有，式子(3)可變?yōu)?/p>

注2：在問(wèn)題(MIVOP)中，當(dāng)m=1和FL1=FU1，問(wèn)題(MIVOP)退化為一般的單值優(yōu)化問(wèn)題，因此定理1是文獻(xiàn)[10]定理3.1的推廣。

下面例子說(shuō)明定理1。

例2 設(shè)x∈R2，考慮如下問(wèn)題：

則有

和

人們致力尋找模型(MIVOP)的局部弱LU-有效解的必要性條件。最近Antczak[8]在廣義Salter約束規(guī)范條件下研究(MIVOP)的弱LU-有效解的必要條件。注意到，當(dāng)廣義Salter約束規(guī)范不成立時(shí)，文[8]的定理2.16將無(wú)能為力。以下例3說(shuō)明這一點(diǎn)。易知，例3模型中的函數(shù)g是非凸的，故不滿(mǎn)足廣義Salter約束規(guī)范，從而文[8]的定理2.16無(wú)法使用。

為了建立(MIVOP)的局部弱LU-有效解的KKT必要條件，引入如下廣義Mangasarian-Fromovitz約束規(guī)范(簡(jiǎn)記GMFCQ)。

定義7[13]稱(chēng)GMFCQ在點(diǎn)x0∈Ω成立，如果下列成立：

(i)對(duì)所有的矩陣(…，Bi，…，C1，…，Cq)∈?T(G，x0)，存在向量d∈Rn使得 Bi，d ＜0，(i∈I(x0))和 Aj，d =0( j∈Q)，其中G=(…，gi，…，h1，…，hq)(i∈I(x0))；

(ii)?(H，x0)行滿(mǎn)秩，即任意的矩陣C∈?(H，x0)都是行滿(mǎn)秩，其中H=(h1，…，hq)。

注3：下面例子3將給出滿(mǎn)足GMFCQ的例子，我們之處并非所有的等式和不等式約束都能滿(mǎn)足GMFCQ，如上述的例2的約束函數(shù)不滿(mǎn)足GMFCQ。事實(shí)上，由

定理2(KKT必要條件) 設(shè)x0∈Ω是問(wèn)題(MIVOP)的局部弱LU-有效解，并且約束函數(shù)在x0處滿(mǎn)足GMFCQ，則存在λL∈Rm，λU∈Rm，μ∈Rp和τ∈Rq使得

證明：由假設(shè)知，x0是問(wèn)題(MIVOP)的局部LU-有效解，根據(jù)定理1，存在λ^L∈RmRm，λ^U∈Rm，μ^ ∈Rm和τ^(guān)∈Rm使得(FJ-1)-(FJ-3)成立。故存在矩陣

使得

注4：(i)在問(wèn)題(MIVOP)中，當(dāng)m=1和FL1=FU1，問(wèn)題(MIVOP)退化為一般的單值優(yōu)化問(wèn)題，因此定理1是文獻(xiàn)[10]定理4.2的推廣。

(ii)為了比較定理1和定理2，我們把滿(mǎn)足(FJ-1)-(FJ-3)和滿(mǎn)足(K-1)-(K-2)的點(diǎn)x0分別稱(chēng)為FJ點(diǎn)和KKT點(diǎn)。容易證明，KKT點(diǎn)集包含于FJ點(diǎn)集，因此模型(MIVOP)滿(mǎn)足GMFCQ的條件下，KKT條件必優(yōu)于Fritz-John必要條件。

例3 設(shè)x∈R3，考慮如下問(wèn)題：

顯然，x0=(0，0)T的弱LU-有效解。令

則

和

對(duì)任意矩陣B∈?T(G，x0)，存在α1，α2∈[0，1]且α1+α2=1使得，

對(duì)任意矩陣C∈?(H，x0)，存在α1，α2∈[0，1]且α1+α2=1使得，

顯然C是行滿(mǎn)秩。由C的任意性，?(H，x0)是行滿(mǎn)秩。根據(jù)以上討論，約束函數(shù)滿(mǎn)足GMFCQ。取