基于波形優(yōu)化和天線位置選擇的MIMO雷達(dá)波束掃描算法研究

范 文 蔚保國(guó) 陳 鏡 張 航③ 李淳澤

①(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所 石家莊 050081)

②(衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 石家莊 050081)

③(西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710072)

1 引言

集中式多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)雷達(dá)通過(guò)不同發(fā)射天線發(fā)射不同探測(cè)波形形成特定的發(fā)射方向圖，良好的發(fā)射波束圖可有效降低雜波對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)的干擾和提高雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)波達(dá)方向不精確已知目標(biāo)探測(cè)的魯棒性[1—7]。在雷達(dá)應(yīng)用中，雷達(dá)天線通常會(huì)輻射多種不同的波束圖(如波束掃描)來(lái)滿足不同探測(cè)任務(wù)的需求[8—13]。通常集中式MIMO雷達(dá)通過(guò)發(fā)射不同的探測(cè)波形集實(shí)現(xiàn)發(fā)射波束的變化，但當(dāng)集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)使用稀疏天線陣時(shí)1雷達(dá)天線單元間間距不同，且有可能大于半波長(zhǎng)。，傳統(tǒng)的MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖合成方法，如文獻(xiàn)[1—4]，因僅考慮均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA)配置而無(wú)法滿足多波束變化要求，而現(xiàn)有MIMO雷達(dá)稀疏天線陣設(shè)計(jì)技術(shù)因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)中只合成一個(gè)波束，如文獻(xiàn)[14—16]，使得其在多波束的應(yīng)用場(chǎng)景中可能不是最佳的。本文就MIMO雷達(dá)天線位置選擇的多波束掃描算法展開(kāi)研究。

集中式MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖合成的研究工作可分為兩類(lèi)。第1類(lèi)采用兩步策略，即首先優(yōu)化波形協(xié)方差矩陣形成特定的發(fā)射波束圖[4，11，12，17]，然后根據(jù)得到的協(xié)方差矩陣設(shè)計(jì)一組雷達(dá)發(fā)射波形[18，19]。例如，文獻(xiàn)[4]提出了一種最小旁瓣波束圖設(shè)計(jì)準(zhǔn)則優(yōu)化波形協(xié)方差矩陣，然后利用循環(huán)算法優(yōu)化具有理想PAPR的MIMO雷達(dá)探測(cè)波形[16，18]。文獻(xiàn)[11]基于加權(quán)最小二乘波束圖匹配準(zhǔn)則優(yōu)化具有特定發(fā)射波束圖的波形協(xié)方差矩陣。其他兩步設(shè)計(jì)方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[12，17，19—21]。通常這種兩步策略存在很大擬合誤差。第2類(lèi)是直接設(shè)計(jì)波形合成預(yù)期的發(fā)射波束圖以避免兩步法的擬合誤差問(wèn)題[3，5，13，22]。例如，文獻(xiàn)[5]提出了一種連續(xù)閉式解的方法來(lái)優(yōu)化恒模探測(cè)波形。文獻(xiàn)[22]基于最小二乘波束圖匹配準(zhǔn)則直接優(yōu)化波形，并利用半定松弛(SemiDefinite Relaxation，SDR)方法求解4次優(yōu)化問(wèn)題，但該方法計(jì)算復(fù)雜度太高，難以滿足實(shí)際應(yīng)用需求。文獻(xiàn)[3，23，24]提出了基于交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)的恒模波形設(shè)計(jì)方法。其他直接設(shè)計(jì)方法可參考文獻(xiàn)[13，25—28]。

目前也有學(xué)者研究了集中式MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖合成的天線位置選擇方法，如文獻(xiàn)[14，15，29]，但這些研究只考慮了波形協(xié)方差矩陣的優(yōu)化，沒(méi)有設(shè)計(jì)波形。此外，上述研究在其設(shè)計(jì)中只考慮合成一個(gè)發(fā)射方向圖，使得該方法所選天線位置對(duì)于多波束圖任務(wù)可能不是最優(yōu)的[30]。雖然文獻(xiàn)[8，31，32]提出了稀疏天線陣的多波束合成技術(shù)，但這些方法只適用于相控陣，因?yàn)榧惺組IMO雷達(dá)波束圖與其每個(gè)發(fā)射天線所發(fā)射的波形密切相關(guān)，通常要考慮如恒模、峰值均公比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)等波形約束[33—38]，使得此類(lèi)技術(shù)不能直接用于集中式MIMO雷達(dá)?；诖耍疚奶岢鯩IMO雷達(dá)的多組探測(cè)波形和天線位置聯(lián)合優(yōu)化技術(shù)，滿足現(xiàn)實(shí)中雷達(dá)波束掃描任務(wù)和天線位置優(yōu)化。本文貢獻(xiàn)總結(jié)如下：

(1) 提出多組探測(cè)波形和天線位置聯(lián)合優(yōu)化的波束圖匹配設(shè)計(jì)方法，以實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)波束掃描任務(wù)。本文設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可以實(shí)現(xiàn)具有等紋波特性的發(fā)射波束圖，即保證得到的波束圖的旁瓣處于同一電平，主瓣電平波紋相同。文獻(xiàn)[13，39—41]指出，波束圖的這種等紋波特性可提高雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)方向不精確已知目標(biāo)探測(cè)的魯棒性，還可降低雷達(dá)雜波對(duì)雷達(dá)系統(tǒng)的影響；與文獻(xiàn)[8，14，15，31，32]不同，本文直接設(shè)計(jì)多組探測(cè)波形，在合成多波束的同時(shí)優(yōu)化集中式MIMO雷達(dá)的天線位置。

(2) 由于天線位置參數(shù)以指數(shù)形式存在于陣列導(dǎo)向矢量中，直接優(yōu)化天線位置參數(shù)十分困難。為有效克服這一難題，本文假設(shè)一定數(shù)量的天線位置可用于天線放置，然后引入布爾類(lèi)型選擇向量，將天線位置優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為天線位置選擇問(wèn)題，有效降低了問(wèn)題建模的復(fù)雜度。

(3) 基于本文的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則所形成的優(yōu)化問(wèn)題是非凸、非光滑、大規(guī)模的NP-難問(wèn)題。為有效求解此問(wèn)題，首先，本文采用Lawson算法[42—44]將minmax問(wèn)題轉(zhuǎn)化為迭代加權(quán)最小二乘(Iterative weighted Least Squares，ILS)問(wèn)題；然后，本文結(jié)合ADMM[45—47]和MM (Majorization-Minimization)[48—51]提出了一種組合優(yōu)化技術(shù)，即Majorization-ADMM (M-ADMM)來(lái)簡(jiǎn)化和求解轉(zhuǎn)化后的約束ILS優(yōu)化問(wèn)題。

符號(hào)定義：(·)*，(·)T以及(·)H分別表示復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。IN表示維度為N×N的單位矩陣。Xn，l，Xn，:，X:，l分 別表示矩陣X對(duì)應(yīng)的第(n，l)個(gè)元素、第n行以及第l列。diag(a) 表示由向量a=[a1，a2，...，an]T構(gòu)成的對(duì)角方陣。R e[·]表示給復(fù)數(shù)取實(shí)部操作符。|·|表 示取模操作符?！ぁ?和‖·‖F(xiàn)分別表示歐氏范數(shù)(Euclidean norm)和F范數(shù)(Frobenius norm)。其他符號(hào)在首次出現(xiàn)后定義。

2 問(wèn)題建模與求解

2.1 系統(tǒng)模型

2.2 天線選擇

2.3 優(yōu)化模型

在雷達(dá)應(yīng)用中，雷達(dá)天線通常需要輻射多種不同的波束圖(如波束掃描)以滿足不同的探測(cè)任務(wù)[8—13]。集中式MIMO雷達(dá)可通過(guò)發(fā)射不同的探測(cè)波形實(shí)現(xiàn)發(fā)射波束的變化，但當(dāng)集中式MIMO雷達(dá)系統(tǒng)使用稀疏天線陣時(shí)，傳統(tǒng)的MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖合成方法，如文獻(xiàn)[1—5，8—13]，因僅考慮ULA配置而無(wú)法滿足設(shè)計(jì)要求，而現(xiàn)有基于天線選擇的MIMO雷達(dá)波束圖設(shè)計(jì)技術(shù)因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)中只考慮合成一個(gè)波束，如文獻(xiàn)[14，16，19，29]，在生成多個(gè)波束的應(yīng)用場(chǎng)景中可能不是最優(yōu)的。為此，本文在優(yōu)化集中式MIMO雷達(dá)天線位置的同時(shí)優(yōu)化多組探測(cè)波形集以保證集中式MIMO雷達(dá)的多波束變換能力。

2.4 算法推導(dǎo)

可以看到，通過(guò)輔助變量的引入，優(yōu)化問(wèn)題(13)的目標(biāo)函數(shù)中變量受限于線性約束Zi=diag()Xi，而PAPR約束和布爾類(lèi)型約束分別與變量Xi和相關(guān)。

對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)中的m ax操作和非凸問(wèn)題，Lawson算法(參考文獻(xiàn)[42，43，48])指出min-max優(yōu)化問(wèn)題的解可以通過(guò)求解一系列加權(quán)最小二乘問(wèn)題獲得。

例如，針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題

Lawson算法通過(guò)迭代的方式求解，步驟如下：

步驟1 將min-max優(yōu)化問(wèn)題寫(xiě)為如下加權(quán)最小二乘問(wèn)題，并求解該問(wèn)題獲得x(t)：

步驟2 按如下規(guī)則更新權(quán)值

重復(fù)上述步驟，直至算法達(dá)到收斂條件。

下面根據(jù)Lawson算法處理優(yōu)化問(wèn)題(13)目標(biāo)函數(shù)的非光滑性。首先，將優(yōu)化問(wèn)題(13)寫(xiě)為

那么優(yōu)化問(wèn)題(17)的目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)Zi=Zi(t)，?i處的上界函數(shù)為

其中，ω為常數(shù)。

證明：

優(yōu)化問(wèn)題(17)的目標(biāo)函數(shù)可寫(xiě)為

本文用ADMM求解優(yōu)化問(wèn)題(17)對(duì)應(yīng)的上界優(yōu)化問(wèn)題(27)，而非直接利用ADMM求解(17)，因此，將上述求解方法稱為M-ADMM(感興趣的讀者請(qǐng)見(jiàn)文獻(xiàn)[52])。下面給出優(yōu)化問(wèn)題(29)和(30)的求解方案。

2.4.1 優(yōu)化問(wèn)題(29)的求解

3 復(fù)雜度分析

表1 基于波形優(yōu)化和天線位置選擇的MIMO雷達(dá)波束掃描算法Tab.1 Algorithm for joint waveform optimization and antenna position selection for MIMO radar beam scanning

4 仿真實(shí)驗(yàn)

圖1(a)—圖1(c)分別給出了波束圖合成結(jié)果、優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值(Objective Function Value，OFV)隨算法迭代次數(shù)的變化曲線以及最優(yōu)天線位置結(jié)果；從圖1(a)可以看到16個(gè)波束圖具有幾乎相同的波束圖旁瓣水平，且每個(gè)波束圖的旁瓣水平幾乎相等，表明了本文min-max設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的有效性；從圖1(b)可以看到，經(jīng)過(guò)大約200次迭代后，目標(biāo)函數(shù)值幾乎保持不變，算法收斂；從圖1(c)可以看到，優(yōu)化后天線單元的位置已經(jīng)不再是等間距的，具有稀疏結(jié)構(gòu)。

圖1 仿真樣例1Fig.1 Simulation example 1

圖2(a)和圖2(b)分別繪制了樣例1中目標(biāo)函數(shù)值隨算法運(yùn)行時(shí)間的變化曲線以及M-ADMM迭代總次數(shù)和算法外迭代次數(shù)的變化關(guān)系，由圖2(a)可以看到大約40秒后目標(biāo)函數(shù)值基本保持不變，算法達(dá)到收斂。圖2(b)可以看到隨著外迭代次數(shù)的增加，M-ADMM迭代的次數(shù)也趨于減小(從最大73次，逐漸減少到1次)，并且最后保持到僅需1次迭代。結(jié)合圖1(b)和圖2(b)結(jié)果可以看到隨著迭代進(jìn)行算法逐漸收斂，且算法內(nèi)迭代次數(shù)也趨于減少，大約200次外迭代后算法收斂。圖2結(jié)果表明，雖然本文算法單次迭代復(fù)雜度較高，但M-ADMM的快速收斂性使得本文算法在實(shí)際中依然有很好的實(shí)用性。

圖2 收斂性分析Fig.2 Convergence performance analysis

圖3(a)—圖3(c)分別繪制了波束圖合成結(jié)果、優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值(OFV)隨算法迭代次數(shù)的變化曲線以及最優(yōu)天線位置結(jié)果；從圖3(a)可以看到16個(gè)波束圖具有幾乎相同的波束圖旁瓣水平和相同的波束圖旁瓣零陷(—30 dB)，達(dá)到了設(shè)計(jì)要求的比峰值旁瓣低—20 dB的零陷，且每個(gè)波束圖的旁瓣水平也幾乎相等，再次表明了本文min-max設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的有效性；從圖3(b)可以看到，經(jīng)過(guò)大約60次迭代后，目標(biāo)函數(shù)值幾乎保持不變，算法收斂；從圖3(c)可以看到，與實(shí)驗(yàn)樣例1相同，優(yōu)化后天線單元的位置具有稀疏結(jié)構(gòu)。

圖4(a)—圖4(c)給出了天線位置數(shù)L=17，天線數(shù)=12時(shí)本文方法的波束圖結(jié)果、優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值(OFV)隨算法迭代次數(shù)的變化曲線以及最優(yōu)天線位置結(jié)果；相比于圖3(a)，圖4(a)波束圖的峰值旁瓣增大了1 dB左右，主要因?yàn)榭捎锰炀€位置減少了(稀疏孔徑相同)，使得波束圖合成的靈活度也相應(yīng)地降低了，導(dǎo)致了波束圖旁瓣的增大。

圖5(a)—圖5(c)給出了天線位置數(shù)L=20，天線數(shù)=15時(shí)本文方法的波束圖結(jié)果、優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值(OFV)隨算法迭代次數(shù)的變化曲線以及最優(yōu)天線位置結(jié)果；相比于圖3(a)，圖5(a)波束圖的峰值旁瓣降低了3 dB左右，主要因?yàn)榭捎锰炀€數(shù)量增加了(稀疏孔徑增大了)，波束圖合成的靈活度也相應(yīng)的增加了，使得波束圖旁瓣降低。

圖3 仿真樣例2(L =20，=12)Fig.3 Simulation example 2 (L =20，=12)

圖4 仿真樣例2(L =17， =12)Fig.4 Simulation example 2 (L =17，=12)

圖5 仿真樣例2(L =20，=15)Fig.5 Simulation example 2 (L =20，=15)

圖6(a)—圖6(c)分別給出了仿真樣例3的波束圖合成結(jié)果、優(yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)值(OFV)隨算法迭代次數(shù)的變化曲線以及最優(yōu)天線位置結(jié)果；從圖6(a)可以看到2個(gè)波束圖具有幾乎相同的波束圖峰值旁瓣水平，且具有寬波束的波束圖主瓣波紋較小，也表明了本文min-max設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的有效性；從圖6(b)可以看到，經(jīng)過(guò)大約100次迭代后，目標(biāo)函數(shù)值幾乎保持不變，算法收斂；從圖6(c)可以看到，和樣例1和樣例2一樣，優(yōu)化后天線單元的位置已經(jīng)不再是等間距的，具有稀疏結(jié)構(gòu)。

圖6 仿真樣例3Fig.6 Simulation example 3

樣例4：本仿真對(duì)比了現(xiàn)有基于?p的波束圖匹配方法 (?2-NTBF和?p-NTBF)[13]，基于半正定二次規(guī)劃(Semi-definite Quadratic Programming，SQP)的方法[4]求解波形協(xié)方差矩陣以及根據(jù)此協(xié)方差矩陣?yán)醚h(huán)算法獲得波形(CA-SQP)的方法[18]。本文參數(shù)設(shè)置為L(zhǎng)==16，間距為半波長(zhǎng)其余設(shè)置為旁瓣Θs。其他參數(shù)保持不變。圖7繪制了波束圖對(duì)比結(jié)果，從圖中可以看出本文方法所合成的波束圖旁瓣最低，證明了本文方法的優(yōu)越性。

圖7 不同方法獲得的波束圖結(jié)果Fig.7 Beampattern results obtained by using different method

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)現(xiàn)有集中式MIMO雷達(dá)的發(fā)射波束圖合成設(shè)計(jì)僅考慮均勻線性陣列結(jié)構(gòu)無(wú)法用于非均勻布陣，以及現(xiàn)有稀疏結(jié)構(gòu)的MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖設(shè)計(jì)方法僅考慮在設(shè)計(jì)中合成一個(gè)發(fā)射波束圖不能滿足雷達(dá)多波束需求的問(wèn)題，本文提出了基于minmax準(zhǔn)則的集中式MIMO雷達(dá)多波束圖合成和雷達(dá)天線陣元位置優(yōu)化聯(lián)合設(shè)計(jì)方法。為求解非光滑、非凸、大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，本文結(jié)合Lawson算法、MM和ADMM推導(dǎo)了有效的求解算法。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法對(duì)MIMO雷達(dá)多波束設(shè)計(jì)和天線位置選擇的有效性。該方法的提出彌補(bǔ)了現(xiàn)有集中式MIMO雷達(dá)天線位置選擇方法僅合成一個(gè)波束圖的不足，通過(guò)對(duì)集中式MIMO雷達(dá)的天線位置和多個(gè)波束圖(多組探測(cè)波形集)同時(shí)優(yōu)化，達(dá)到最優(yōu)天線位置和多波束的能力，為集中式MIMO雷達(dá)向工程應(yīng)用提供了有價(jià)值的參考。