面向時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的有限時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究①

高 暢 孔 穎

（浙江科技學(xué)院信息與電子工程學(xué)院 杭州310023）

0 引言

矩陣方程求解廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和實際工程領(lǐng)域中。其中,西爾維斯特方程的求解是工程領(lǐng)域和數(shù)字應(yīng)用中的一個主要問題,例如圖像處理[1]、機器人應(yīng)用[2]和特征值分配[3]。線性矩陣方程A（t）X（t）-X（t）B（t） +C（t）=0 被稱為西爾維斯特方程[4-5],它與動力學(xué)系統(tǒng)理論緊密相關(guān)。該方程的系數(shù)一般情況下為時變矩陣A（t）、B（t）和C（t）,X（t）為所要求解的未知矩陣。目前,求解西爾維斯特方程主要有兩種方法。第一種方法源于串行處理,例如傳統(tǒng)的數(shù)值算法[6]。該方法通常用于求解靜態(tài)情況下的西爾維斯特方程,而不適用于時變情況。另外,由于串行計算會導(dǎo)致采樣率過高并且使得每個計算周期更為復(fù)雜,因此無法實時求解規(guī)模較大的時變問題以及更為復(fù)雜的時變復(fù)數(shù)問題。第二種方法源于并行處理,例如一些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[7-8],它們可以被用來求解時變情況下的西爾維斯特方程（簡稱時變西爾維斯特方程）。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法擁有并行計算的能力而且容易在電子硬件中實現(xiàn),因此具有較高的性能,可以實時計算大量數(shù)據(jù)?；趥鹘y(tǒng)梯度法的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（gradient neural network,GNN）是一種典型的神經(jīng)動力學(xué)方法,可以被用來求解西爾維斯特方程。但是,該方法對于實時問題的求解基本上都是考慮定常（即靜態(tài)）情況的,或?qū)r變問題借助于短時不變性假設(shè)而近似為定常問題去處理。換句話說,在求解過程中,由時變因素引起的影響經(jīng)常被忽略。因此在求解時變問題時,它的估計誤差可能不會收斂到0,故該方法在求解時變西爾維斯特方程時,計算精度不高。

針對時變問題的求解,文獻[9,10]提出了一類新型的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（zeroing neural network,ZNN）。ZNN 是解決時變問題的一種系統(tǒng)方法,在它的設(shè)計過程中,與GNN 相比,ZNN 采用了不同的設(shè)計公式、誤差函數(shù)和動力學(xué)方程。在它的實現(xiàn)過程中,ZNN 充分利用了時變系數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息,能夠準(zhǔn)確有效地求解時變問題。另外,作為一種新型的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它成功地解決了傳統(tǒng)的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求解時變西爾維斯特方程時普遍存在的估計誤差問題。根據(jù)文獻[11],與傳統(tǒng)的梯度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,ZNN 的優(yōu)勢是隨著時間的推移,其估計誤差會逐漸減小到0。

ZNN 一般用于解決實數(shù)域中的時變問題,對復(fù)數(shù)域中的時變問題研究較少。許多時變問題需要考慮到復(fù)數(shù),如信號處理領(lǐng)域中頻域的在線識別問題[12]和包含幅值相位信息的輸入信號[13]。為解決上述問題,提出了用于求解復(fù)數(shù)問題的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) （complex-valued zeroing neural network,CVZNN）[14-16]。這種實時求解復(fù)數(shù)域時變問題的神經(jīng)動力學(xué)方法可以認(rèn)為是實值ZNN 的擴展,它們不僅可以作用于實數(shù)域,也可以作用于復(fù)數(shù)域。但現(xiàn)有的用于求解復(fù)數(shù)問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度較慢、計算精度較低。根據(jù)文獻[14],神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂情況與初始狀態(tài)、激勵函數(shù)的選取和設(shè)計參數(shù)有關(guān)。本文考慮尋找合適的激勵函數(shù)來提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度和計算精度。

基于以上分析,本文為求解復(fù)數(shù)域中時變西爾維斯特方程,選取了一種非線性激勵函數(shù)。根據(jù)非線性激勵函數(shù)在復(fù)數(shù)域中2 種等價的處理方法,構(gòu)建出了2 種有限時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（finite-time neural network,FTNN）模型。將有限值激勵函數(shù)應(yīng)用到2種FTNN 模型中,進一步提高了2 種FTNN 模型的收斂速度和計算精度。在求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,采用有限值激勵函數(shù)的2 種FTNN 模型收斂速度更快、計算精度更高。并通過穩(wěn)定性與收斂性的證明驗證了2 種FTNN 模型的有效性。最后,通過2 個仿真實例來驗證理論推導(dǎo)。

本文的創(chuàng)新點如下。

（1）在ZNN 網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上,通過復(fù)數(shù)域中2 種處理非線性激勵函數(shù)的方法,構(gòu)建出2 種FTNN模型,并用它們來求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程。

（2）與已有的周期神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相比,FTNN 模型具有有限時間收斂的特性。用它們求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時效率更高。

（3）探索了一種有限值激勵函數(shù)并應(yīng)用到2 種FTNN 模型上,提高了FTNN 模型的收斂性和穩(wěn)定性。采用有限值激勵函數(shù)更易于在實際應(yīng)用中實現(xiàn)。

1 問題描述和FTNN 模型

本節(jié)首先闡述了一個時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的求解問題,然后基于ZNN 模型在實數(shù)域中的設(shè)計方法[14,17-18],再根據(jù)非線性激勵函數(shù)在復(fù)數(shù)域中2種等價的處理方法,構(gòu)建出了2 種FTNN 模型。最后引入了有限值激勵函數(shù)來提高2 種FTNN 模型的收斂速度和計算精度。

1.1 問題描述

首先,給出光滑的時變復(fù)數(shù)矩陣A（t）∈Cn×n、B（t）∈Cn×n和C（t）∈Cn×n,求解出滿足下列方程的未知復(fù)數(shù)矩陣X（t）∈Cn×n,方程如下:

其中t表示時間。與普通矩陣不同,矩陣A（t）、B（t）、C（t）和X（t）中的每個元素都是復(fù)數(shù),并且會隨時間的變化而變化,因此每個元素的實部與虛部都會隨時間變化。為實時求解出未知的復(fù)數(shù)矩陣X（t）,需要任意時刻t都滿足式（1）。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入是時變復(fù)數(shù)矩陣A（t）、B（t）、C（t）,經(jīng)過一段時間的演化后,網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的狀態(tài)最終會收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特的理論解X?（t）。

基于文獻[15]中給出的求解復(fù)數(shù)域中時變問題的過程,可以將2 種FTNN 模型的設(shè)計分為以下3個步驟。為方便闡述,本文將所構(gòu)建的2 種FTNN模型分別命名為FTNN-I 模型和FTNN-II 模型。

1.2 FTNN-I 模型

矩陣A（t）、B（t）、C（t）和X（t）都是由復(fù)數(shù)構(gòu)成,每個復(fù)數(shù)都有各自的實部與虛部。根據(jù)第一種處理復(fù)數(shù)域中非線性激勵函數(shù)的方法,同時激勵復(fù)數(shù)輸入的實部與虛部,按以下步驟構(gòu)建出FTNN-I模型。

步驟1為實時監(jiān)測實際解X（t）與理論解X?（t）之間的計算誤差,引入動態(tài)誤差矩陣E（t）。隨著時間的變化,當(dāng)E（t）趨向于0 時,此時方程中的X（t）就是方程的解,E（t）如下:

步驟2為保證動態(tài)誤差矩陣E（t）最終能收斂到0,定義E（t）的動態(tài)變化公式為

其中η>0,F（·） :Rn×n→Rn×n表示實數(shù)域中定義的非線性激勵函數(shù),表示虛數(shù)單位,Ere（t）∈Rn×n和Eim（t）∈Rn×n分別表示誤差矩陣E（t）∈Cn×n的實部與虛部。

步驟3聯(lián)立式（2）和E（t）的動態(tài)變化式（3）,得到FTNN-I 模型:

1.3 FTNN-II 模型

矩陣A（t）、B（t）、C（t）和X（t）都是由復(fù)數(shù)構(gòu)成,每個復(fù)數(shù)都有各自的模量與輻角。根據(jù)復(fù)數(shù)域中第二種處理非線性激勵函數(shù)的方法,激勵復(fù)數(shù)輸入的模量,按以下步驟構(gòu)建出FTNN-II 模型。

步驟1與FTNN-I 模型式（4）的設(shè)計過程類似,引入動態(tài)誤差矩陣E（t）:

步驟2為保證動態(tài)誤差矩陣E（t）最終能收斂到0,定義E（t）的動態(tài)變化公式為

其中η、i和F（·） 與上述定義相同,° 表示矩陣之間的Hadamard 乘積,Θ（t） ∈Rn×n和Δ（t） ∈（-π,π]n×n分別表示誤差矩陣E（t） 的模量與輻角。

步驟3聯(lián)立式（5）和E（t）的動態(tài)變化式（6）,得到FTNN-II 模型:

從FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II 模型式（7）的設(shè)計過程中可知,FTNN 是一種與ZNN 相似的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。式（3）和式（6）分別描述了FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II 模型式（7）中誤差矩陣的動態(tài)變化過程。從上述2 個公式中可以看出,每個時間點估計的誤差會實時反饋給神經(jīng)元,從而最終使動態(tài)誤差矩陣E（t）收斂到0。由于這種實時反饋的特性,通過2 種FTNN 模型求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程問題時,效率很高。

注1復(fù)數(shù)的模量與輻角,如一個復(fù)數(shù)為a+bi,那么它的模量為,輻角為輻角有無數(shù)個,但一般選用輻角主值（在區(qū)間[-π,π]內(nèi)的輻角）。

1.4 有限值激勵函數(shù)

根據(jù)文獻[14],求解復(fù)數(shù)域中的時變問題時,使用非線性激勵函數(shù)的CVZNN 模型可保證誤差能以指數(shù)級的速度收斂。此外,根據(jù)文獻[18],使用符號雙冪激勵函數(shù)可以提高CVZNN 模型的收斂速度,并且能使其在有限時間內(nèi)收斂。這表明特殊的非線性激勵函數(shù)可以減少CVZNN 模型的收斂時間。為進一步提高2 種FTNN 模型的收斂速度與計算精度,嘗試了一種非線性激勵函數(shù)（簡稱有限值激勵函數(shù)）F（·）:

其中q和p都為奇數(shù)。有限值激勵函數(shù)在線性激勵函數(shù)的基礎(chǔ)上,加了一個指數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)定義,有限值激勵函數(shù)仍然是單調(diào)遞增的奇函數(shù),所以將它應(yīng)用到2 種FTNN 模型時仍然可以保持全局收斂[18]。

2 算法的收斂性證明

根據(jù)文獻[15],如果使用單調(diào)遞增的奇函數(shù)作為激勵函數(shù),使用CVZNN 模型來求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,能收斂到理論解。因此,首先要證明應(yīng)用有限值激勵函數(shù)的2 種FTNN 模型在求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,能收斂到理論解。然后,證明其能在有限時間收斂。最后,計算出收斂時間上界。

2.1 穩(wěn)定性分析

對于FTNN-I 模型式（4）,有以下定理。

定理1給定光滑的時變復(fù)數(shù)矩陣A（t）、B（t）和C（t）,如果將有限值激勵函數(shù)式（8）應(yīng)用到FTNN-I 模型式（4）中,通過FTNN-I 模型式（4）求解的未知矩陣X（t）從任意初始狀態(tài)X（0）開始,最終能收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解X?（t）。

證明根據(jù)FTNN-I 模型式（4）,得到其等價形式:

其中E（t）=A（t）X（t）-X（t）B（t） +C（t）,（t）是E（t）的一階導(dǎo)數(shù),Ere（t）∈Rn×n和Eim（t）∈Rn×n分別表示復(fù)數(shù)誤差矩陣E（t）的實部與虛部。將（t）的實部和虛部分開:

取實部與虛部中的各個元素,得到另一種形式:

其中,uij（t）和vij（t）分別表示Ere（t）和Eim（t）的第i行第j列元素,分別表示uij（t）和vij（t）的一階導(dǎo)數(shù),f（·）是處理矩陣各個元素的有限值激勵函數(shù)。定義李亞普諾夫函數(shù),對其求導(dǎo)可得。因為f（·）是單調(diào)遞增的奇函數(shù),所以有:

因此,恒小于等于0。根據(jù)文獻[18]中的李亞普諾夫定理,可以得出,對于任意的i、j,uij（t）都能全局收斂到0。對于誤差矩陣E（t）的虛部,與上面的證明類似,也可以證明出Eim（t）中的任意元素vij（t）最終也都能收斂到0。也就是說,誤差矩陣E（t）隨著時間的增加最后都能全局收斂到0。根據(jù)誤差矩陣E（t）的定義,當(dāng)E（t）全局收斂到0 時,通過FTNN-I 模型式（4）求出的未知矩陣X（t）與初始狀態(tài)X（0）無關(guān),并最終能收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解X?（t）。

證明成立。

定理2給定光滑的時變復(fù)數(shù)矩陣A（t）、B（t）和C（t）,如果將有限值激勵函數(shù)式（8）應(yīng)用到FTNN-II 模型式（7）中,通過FTNN-II 模型式（7）求解的未知矩陣X（t）從任意初始狀態(tài)X（0）開始,最終能收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解X?（t）。

證明根據(jù)FTNN-II 模型式（7）,得到其等價形式:

證明成立。

注2從定理1 和定理2 的證明過程來看,下面的這些激勵函數(shù)同樣滿足F（·）的要求（單調(diào)遞增的奇函數(shù)）,并可以應(yīng)用到FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II 模型式（7）上。

線性激勵函數(shù):

冪函數(shù):

雙S 型函數(shù):

冪-S 型函數(shù):

符號雙冪函數(shù):

在下文的仿真部分,將這些激勵函數(shù)與有限值激勵函數(shù)式（8）應(yīng)用到2 種FTNN 模型中,再分別進行比較。

2.2 收斂性分析

根據(jù)文獻[18],在實數(shù)域內(nèi),如果使用符號雙冪激勵函數(shù),那么就能在有限時間內(nèi)求解出時變西爾維斯特方程,并且可以計算出理論解的收斂時間上界。本節(jié)將有限值激勵函數(shù)從實數(shù)域擴展到了復(fù)數(shù)域,以便能在有限時間內(nèi)求解出時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程,并計算出理論解的收斂時間上界。

定理3給定光滑的時變矩陣A（t）、B（t）和C（t）,如果將有限值激勵函數(shù)式（8）應(yīng)用到2 種FTNN 模型上,則通過2 種FTNN 模型求解出的未知矩陣X（t）無論從任意初始狀態(tài)X（0）開始,最終能在一段時間后收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解X?（t）。FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II 模型式（7）的收斂時間上界分別如下所示。

對于FTNN-I 模型式（4）,它的收斂時間上界t1為

其中,m（0）=max{|uij（0）|,|vij（0）|},uij（0）和vij（0）分別表示誤差矩陣的初始狀態(tài)E（0）中第i行第j列元素的實部與虛部。

對于FTNN-II 模型式（7）,它的收斂時間上界t2為

其中,n（0）=max{|eij（0）|},eij（0）表示誤差矩陣的初始狀態(tài)E（0）的第i行第j列元素。

證明考慮到2 種FTNN 模型,證明過程分以下2 種情況。

情況1對于FTNN-I 模型式（4）,根據(jù)式（9）,可得:

再根據(jù)式（12）和式（13）,可得:

在初始時間中選取uij（t）和vij（t）中較大的一個作為m（t）的初值,m（0）=max{|uij（0）|,|vij（0）|}。在任意時刻t中,取uij（t）和vij（t）中絕對值相對較大的一個作為m（t）。通過比較定理,可以得到:-|m（t）|≤uij（t）≤|m（t）|、-|m（t）|≤vij（t）≤|m（t）|。換句話說,當(dāng)m（t）等于0 時,Ere（t）和Eim（t）中所有的元素都會等于0。因為f（·）是一個單調(diào)遞增的奇函數(shù),（t）中所有的元素uij（t）都滿足式（26）,（t）中所有的元素vij（t）都滿足式（27）,所以可以得到m（t）的動態(tài)表達式為

定義李亞普諾夫函數(shù)L（t）=|m（t）|2,對它求導(dǎo),得到:

解上述微分方程式（29）,得到:

將微分方程式（30）從0 積分到t,可得:

因為L（t）=|m（t）|2,所以L（t）≥0,故:

因此可以解出:

情況2定義李亞普諾夫函數(shù)L（t）=|n（t）|2,其中n（0）取E（t）所有元素中模數(shù)的最大值,且初始狀態(tài)n（0）=max{|eij（0）|}。可以得出結(jié)論,當(dāng)n（t）趨于0 時,E（t）中所有的元素都會等于0。因此,如果計算出了n（t）的收斂時間,就能相應(yīng)地估算出FTNN-II 模型式（7）的收斂時間上界。根據(jù)式（6）,取矩陣中的各個元素,可以得到n（t）的動態(tài)表達式為

類似式（17）的推導(dǎo),可以得出:

與情況1 的證明類似,FTNN-II 模型式（7）的收斂時間上界計算結(jié)果為

證明成立。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)給出了2 個具體實例,首先將有限值激勵函數(shù)式（8）應(yīng)用到FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II 模型式（7）中;然后將其他單調(diào)遞增的奇函數(shù)與有限值激勵函數(shù)式（8）進行比較;最后為證明有限值激勵函數(shù)式（8）能減少FTNN-I 模型式（4）和FTNN-II模型式（7）的收斂時間,本文單獨將有限值激勵函數(shù)式（8）與符號雙冪激勵函數(shù)式（22）進行比較。

仿真1求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程:A（t）X（t）-X（t）B（t） +C（t）=0,其中A（t）、B（t）和C（t）的系數(shù)如下,求未知矩陣X（t）。

此時,X（t）的邏輯解為

圖1 描述了當(dāng)FTNN-I 模型式（4）使用有限值激勵函數(shù)式（8）,并用來求解時變西爾維斯特方程時,未知矩陣X（t）的階段性變化（FTNN-I 模型式（4）中設(shè)定η=50,）。其中實線表示實際解的狀態(tài)變化,虛線表示理論解X?（t）的狀態(tài)變化。圖中實線與虛線會在一段時間后重合,這說明X（t）從初始狀態(tài)X（0）開始（仿真中初步設(shè)定初值X（0）=[1 +i,1 +i;0,0],最終能在一段時間后收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解。

圖1 X（t）的理論解（虛線）和實際解（實線）

一般情況下,實際解X（t）與理論解X?（t）之間存在計算誤差,用‖A（t）X（t）-X（t）B（t） +C（t）‖F(xiàn)來近似估計實際解與理論解之間的計算誤差。然后,將線性激勵函數(shù)、冪激勵函數(shù)（k=3）、雙S 型激勵函數(shù)（m=3）、冪-S 型激勵函數(shù)（k=3,m=3）、符號雙冪激勵函數(shù)（r=3）與有限值激勵函數(shù)進行比較。為進行對比驗證,將FTNN-I 模型式（4）中的設(shè)計參數(shù)η統(tǒng)一設(shè)置為50。如圖2 所示,當(dāng)這些激勵函數(shù)應(yīng)用在FTNN-I 模型式（4）時都能使計算誤差逐漸減小。這驗證了前面的理論推導(dǎo):即如果激勵函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù),那么就能保證全局收斂。此外,從圖中可以看出,采用有限值激勵函數(shù)式（8）的FTNN-I 式（4）模型的誤差收斂速度比其他激勵函數(shù)要快,這說明在求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,有限值激勵函數(shù)的效果要更好。

圖2 激勵函數(shù)的收斂性比較

因為符號雙冪激勵函數(shù)式（22）與有限值激勵函數(shù)式（8）是指數(shù)級的函數(shù),誤差的收斂速度較快,并且容易計算出收斂時間上界,所以在FTNN-I模型式（4）中,單獨將符號雙冪激勵函數(shù)式（22）與有限值激勵函數(shù)式（8）進行比較。為計算出收斂時間上界,使用的是特定的初始狀態(tài)而不是隨機產(chǎn)生的初始狀態(tài)。設(shè)定X（0）=[1 +i,1 +i;0,0],誤差矩陣的初始狀態(tài)E（0）=A（0）X（0）-X（0）B（0） +C（0）,計算為E（0）=[i,1 +i;-1-i,-2-i],則式（23）中定義的最大項m（0）=3。將有限值激勵函數(shù)式（8）（設(shè)定η=50,）應(yīng)用到FTNN-I 模型式（4）中,根據(jù)式（23）,計算出使用有限值激勵函數(shù)的FTNN-I 模型式（4）的收斂時間上界t1=。再將符號雙冪激勵函數(shù)式（22）（設(shè)定η=50,）應(yīng)用到到FTNN-I模型式（4）中,根據(jù)文獻[14]中的定理3,計算出其收斂時間上界（r取0.3時,符號雙冪激勵函數(shù)的收斂情況較好）。

如圖3 所示,在FTNN-I 式（4）模型中,使用符號雙冪激勵函數(shù)式（22）的理論收斂時間上界為0.0928 s,而仿真實際運行時間為0.0586 s。使用有限值激勵函數(shù)式（8） 的理論收斂時間上界為0.0476 s,而仿真實際運行時間為0.0467 s,符合理論分析。當(dāng)FTNN-I 模型式（4）使用有限值激勵函數(shù)式（8）時,誤差收斂速度要比使用符號雙冪激勵函數(shù)式（22）時更快。這也證明了在FTNN-I 模型式（4）中,用有限值激勵函數(shù)式（8）來求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,效果更好。

圖3 符號雙冪激勵函數(shù)與有限值激勵函數(shù)的收斂性比較

接下來討論設(shè)計參數(shù)η對模型的影響,先固定,再判斷不同的η對收斂性能的影響。

圖4 描述了用FTNN-I 模型式（4）來求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,設(shè)計參數(shù)η對誤差收斂速度的影響。當(dāng)增加η的值時,可以提高模型誤差的收斂速度。

圖4 設(shè)計參數(shù)η 的收斂性比較

仿真2為進一步驗證理論的有效性,舉第2個仿真實例。求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程:A（t）X（t）-X（t）B（t） +C（t）=0,其中A（t）、B（t）和C（t）的系數(shù)如下,求未知矩陣X（t）。

此時,X（t）的理論解為

類似于仿真1,圖5 描述了當(dāng)FTNN-II 模型式（7）使用有限值激勵函數(shù)式（8）,并用來求解時變西爾維斯特方程時,未知矩陣X（t）的階段性變化（FTNN-II 模型式（7）中設(shè)定η=50,）。圖中實線（實際解）與虛線（理論解）會在一段時間后重合。這說明X（t）從初始狀態(tài)X（0）開始（仿真中初步設(shè)定初值X（0）=[0.5i,0;0,0],最終能收斂到時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的理論解。

圖5 X（t）的理論解（虛線）和實際解（實線）

圖6 描述了在FTNN-II 模型式（10）中,使用一些激勵函數(shù)與有限值激勵函數(shù)式（8）進行收斂性比較,其中這些激勵函數(shù)的設(shè)計參數(shù)與仿真一完全相同。從圖中可以看出,使用有限值激勵函數(shù)式（8）的FTNN-II 模型式（7）的誤差收斂速度比使用其他激勵函數(shù)時要更快。

圖6 激勵函數(shù)的收斂性比較

在FTNN-II 模型式（7）中,單獨將符號雙冪激勵函數(shù)式（22）與有限值激勵函數(shù)式（8）進行誤差的收斂性比較。設(shè)定初始狀態(tài)X（0）=[0.5i,0;0,0],誤差矩陣的初始狀態(tài)E（0）=A（0）X（0）-X（0）B（0） +C（0）,計算為:E（0）=[1.5i-0.5,-0.5i-1.5;-1.5i-1.5,0.5i+1],則式（24）中定義的最大項,將有限值激勵函數(shù)式（8）（設(shè)定η=50,）應(yīng)用到FTNN-II 模型式（7）中,根據(jù)式（24）,計算出使用FTNN-II 模型式（7）的收斂時間上界。再將符號雙冪激勵函數(shù)式（22）（設(shè)定η=50,r=0.3）應(yīng)用到FTNN-II 模型式（7）中,通過文獻[14]中的定理3,計算出收斂時間上界0.0967 s。

如圖7 所示,在FTNN-II 式（7）模型中,使用符號雙冪激勵函數(shù)式（22）的理論收斂時間上界為0.0967 s,而仿真實際運行時間為0.0577s。使用有限值激勵函數(shù)式（8） 的理論收斂時間上界為0.0495 s,而仿真實際運行時間為0.0484 s,符合理論分析。當(dāng)FTNN-II 模型式（7）使用有限值激勵函數(shù)式（8）時,誤差收斂速度要比使用符號雙冪激勵函數(shù)式（22）更快。這也證明了在FTNN-II 模型式（7）中,使用有限值激勵函數(shù)式（8）時,效果更好。

圖7 符號雙冪激勵函數(shù)與有限值激勵函數(shù)的收斂性比較

圖8 描述了用FTNN-II 模型式（7）來求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時,設(shè)計參數(shù)η對誤差收斂速度的影響。如圖所示,η越大,誤差的收斂速度越快。

圖8 設(shè)計參數(shù)η 的收斂性比較

4 結(jié)論

本文針對時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程的求解,首先基于復(fù)數(shù)的運算規(guī)則,設(shè)計了2 種改進的有限時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。理論分析表明,當(dāng)使用任意單調(diào)遞增的奇函數(shù)作為激勵函數(shù)時,這2 種FTNN 模型都可以實現(xiàn)全局收斂性。然后使用有限值激勵函數(shù)來提高2 種FTNN 模型的收斂速度與計算精度。最后將符號雙冪激勵函數(shù)與有限值激勵函數(shù)應(yīng)用到2種FTNN 模型中,與符號雙冪激勵函數(shù)相比,應(yīng)用有限值激勵函數(shù)的FTNN 模型收斂時間上界更小。數(shù)值算例與仿真結(jié)果驗證了所提出的2 種基于有限值激勵函數(shù)的FTNN 模型在求解時變復(fù)數(shù)西爾維斯特方程時的優(yōu)越性。然而,由于2 種FTNN 模型中需要用到非線性激勵函數(shù)并進行數(shù)值運算,因此FTNN 模型比應(yīng)用線性激勵函數(shù)的CVZNN 模型具有更高的復(fù)雜度,未來的工作可能會優(yōu)化FTNN 模型的結(jié)構(gòu),并進一步推廣到實際應(yīng)用中。