基于奇異攝動(dòng)法的固定翼無(wú)人機(jī)優(yōu)化PID 控制①

朱涵智 梅 平 劉云平 趙中原 張婷婷

（南京信息工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 南京210044）

（陸軍工程大學(xué)指揮控制工程學(xué)院 南京210017）

0 引言

固定翼無(wú)人機(jī)（unmanned aerial vehicle,UAV）因其巡航時(shí)間長(zhǎng)、飛行范圍廣、使用成本低、信息感知率強(qiáng)等優(yōu)勢(shì),被廣泛運(yùn)用于巡邏偵察、電子干擾、戰(zhàn)場(chǎng)支援、森林滅火以及地形繪制等軍民用領(lǐng)域。由于以上優(yōu)點(diǎn),固定翼無(wú)人機(jī)被普遍認(rèn)為是未來(lái)信息化發(fā)展的重要平臺(tái)。然而,不同于旋翼無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型,固定翼無(wú)人機(jī)是典型的具有非完整線性約束的運(yùn)動(dòng)體,其動(dòng)力學(xué)模型具有階次高、非線性強(qiáng)等特性,且存在最大、最小空速以及最大航向角速度等的限制[1],同時(shí)風(fēng)速的干擾是隨機(jī)和時(shí)變的,對(duì)于不同重量和不同重心的固定翼無(wú)人機(jī),飛行姿態(tài)與速度的控制效果也不盡相同,因此,固定翼無(wú)人機(jī)的控制相較于旋翼等其他無(wú)人機(jī)控制更為復(fù)雜,控制難度也更大。采用奇異攝動(dòng)法能夠降低系統(tǒng)階次、消除系統(tǒng)剛性問(wèn)題。同時(shí)由于奇異攝動(dòng)法的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的時(shí)間尺度特性,因此它能夠同時(shí)適用于線性及非線性系統(tǒng)[2]。

目前,固定翼無(wú)人機(jī)控制方法主要有比例積分微分（proportional integral derivative,PID）控制[3-4]、自適應(yīng)控制[5]、魯棒控制[6]以及多種控制方法融合等。對(duì)于固定翼飛行策略優(yōu)化控制問(wèn)題,眾多國(guó)內(nèi)外優(yōu)秀學(xué)者都有不同的見(jiàn)解、設(shè)計(jì)與實(shí)踐。王力等人[7]在設(shè)計(jì)固定翼控制方法時(shí),引入了非線性干擾觀測(cè)器對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行精確估計(jì),同時(shí)設(shè)計(jì)自適應(yīng)二階PID 滑?？刂破飨饲袚Q控制引起的抖震現(xiàn)象。宗群等人[5]針對(duì)固定翼無(wú)人機(jī)的姿態(tài)和速度控制中存在不確定和外部擾動(dòng)的問(wèn)題,設(shè)計(jì)自適應(yīng)超螺旋滑模干擾觀測(cè)器和控制器,從而實(shí)現(xiàn)固定翼無(wú)人機(jī)對(duì)速度和姿態(tài)命令的有限時(shí)間精確跟蹤。Raza[8]等人利用輸出反饋控制拓?fù)錇榉蔷€性固定翼模型設(shè)計(jì)魯棒控制器并且引入不確定性對(duì)控制器和觀測(cè)器的魯棒性進(jìn)行了評(píng)估。以上各飛行優(yōu)化方法使得固定翼無(wú)人機(jī)在有外部氣體擾動(dòng)的情況下的飛行姿態(tài)和速度控制響應(yīng)時(shí)間和魯棒性有了很大的提高。然而,由于固定翼控制器的設(shè)計(jì)復(fù)雜性,上述優(yōu)化控制方法很難應(yīng)用于實(shí)際飛行,當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的仍為傳統(tǒng)PID 控制器,因此,本文在傳統(tǒng)PID 控制上采用奇異攝動(dòng)方法進(jìn)行優(yōu)化,以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性。

在系統(tǒng)理論與控制工程中,建模是一個(gè)基本問(wèn)題。多數(shù)物理系統(tǒng)都含有快、慢動(dòng)態(tài)耦合的現(xiàn)象。早期對(duì)這類系統(tǒng)的處理方法是簡(jiǎn)單地忽略快變模態(tài)從而降低系統(tǒng)的階數(shù),然而,大量事實(shí)證明,基于這樣的簡(jiǎn)化模型設(shè)計(jì)的控制效果往往與設(shè)計(jì)要求相距甚遠(yuǎn)。奇異攝動(dòng)方法是有效處理這類問(wèn)題的工具。其思想是首先忽略快變量以降低系統(tǒng)階數(shù),然后通過(guò)引入邊界層校正來(lái)提高近似程度。這兩個(gè)降階的系統(tǒng)就可以用來(lái)近似原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[9]指出在飛機(jī)的姿態(tài)控制中,角速度的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于速度和角度,可以考慮將此類系統(tǒng)建為奇異攝動(dòng)模型。

針對(duì)傳統(tǒng)PID 控制無(wú)法使固定翼無(wú)人機(jī)達(dá)到較好的控制效果,使用奇異攝動(dòng)法進(jìn)行固定翼無(wú)人機(jī)PID 優(yōu)化控制率設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明,相較于傳統(tǒng)PID 控制方法,采用奇異攝動(dòng)法進(jìn)行快慢分解的雙閉環(huán)PID 控制器能夠保證線速度等慢變量響應(yīng)不變情況下,大大提高角速度等快變量的響應(yīng)時(shí)間,更快達(dá)到期望控制量。

1 固定翼無(wú)人機(jī)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)建模

1.1 坐標(biāo)系的建立與變換

運(yùn)動(dòng)中的固定翼飛機(jī),其運(yùn)動(dòng)方程可以用獨(dú)立的一階常微分方程組表示。由于方程組中包含相關(guān)的空氣動(dòng)力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等因素,縱向、橫向和航向的運(yùn)動(dòng)之間會(huì)發(fā)生耦合,為了有效地分離耦合變量且簡(jiǎn)化非線性方程組,建立合適的坐標(biāo)系是極其必要的。

為了描述固定翼無(wú)人機(jī)的速度和姿態(tài)變化,本文采用地面坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系來(lái)描述無(wú)人機(jī)的飛行狀態(tài),并給出相應(yīng)的變換矩陣。

在地面上選一點(diǎn)為地面坐標(biāo)系原點(diǎn)O,OR軸指向正北,OS軸指向正東并在地面上與OR軸垂直,OT軸指向地心且與面ORT垂直,符合右手坐標(biāo)系。機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)o位于固定翼無(wú)人機(jī)質(zhì)心處,ox軸指向固定翼機(jī)頭方向,oy軸垂直于ox軸指向飛機(jī)右側(cè),oz軸垂直于oxy軸指向固定翼機(jī)腹,為右手坐標(biāo)系。坐標(biāo)系示意圖如圖1 所示。

圖1 坐標(biāo)系示意圖

為建立固定翼無(wú)人機(jī)模型,現(xiàn)將各方向運(yùn)動(dòng)由參數(shù)表示,參數(shù)及其含義見(jiàn)表1。

表1 機(jī)體坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)參數(shù)及其含義

同時(shí),固定翼無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)和位置也能夠由地面坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)體坐標(biāo)系的角度變化和坐標(biāo)來(lái)確定。在地面坐標(biāo)系下固定翼無(wú)人機(jī)的各參數(shù)及其含義見(jiàn)表2。

表2 地面坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)參數(shù)

1.2 固定翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)建模

為減少不必要的干擾,簡(jiǎn)化無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程推導(dǎo),本文將做出如下假設(shè)。

（1） 飛機(jī)為剛體,不會(huì)出現(xiàn)彈性形變,機(jī)身任意兩點(diǎn)距離相對(duì)不變,飛行時(shí)不受到外界干擾。

（2） 慣量積為0。

（3） 忽略地球自轉(zhuǎn)對(duì)飛機(jī)的影響,且重力加速度g不隨著飛機(jī)運(yùn)動(dòng)而改變。

可將非線性固定翼運(yùn)動(dòng)方程描述為

采用小擾動(dòng)理論[10]可將方程組線性化處理,其理論簡(jiǎn)化步驟如下。

（1） 將式（1）中所有變量表示為基準(zhǔn)值與擾動(dòng)值之和,對(duì)于構(gòu)造對(duì)稱的飛機(jī)在水平飛行無(wú)干擾情況下,設(shè)定橫、航向基準(zhǔn)值為0。

（2） 選定無(wú)角速度的對(duì)稱基準(zhǔn)飛行狀態(tài)（水平飛行）,使得v0=w0=p0=q0=r0=Φ0=0,并定義u0為基準(zhǔn)的飛行速度,θ0為航跡角。

（3） 假設(shè)所有干擾量都很小,其時(shí)間導(dǎo)數(shù)也很小。角度余弦值可視為1,正弦值為0。

可獲得以擾動(dòng)增量為變量的線性方程組:

氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩的表達(dá)式如下,其中包含了系統(tǒng)產(chǎn)生的推力與力矩:

其中ρ為空氣密度,θ0為俯仰角基準(zhǔn)值,vT為基準(zhǔn)速度（在小擾動(dòng)線性化后即為u0）,Sa為機(jī)翼面積,b為機(jī)翼長(zhǎng)度,C（D,Y,L,l,n,m）為空氣動(dòng)力系數(shù),通常由實(shí)驗(yàn)測(cè)得,其計(jì)算方式可參考文獻(xiàn)[11]。

1.3 奇異攝動(dòng)模型建立

為滿足奇異攝動(dòng)法進(jìn)行快慢分解的要求,可將各變量表示為矩陣與行列式形式,其表示方法如式（4）所示。

由式（2）可將固定翼動(dòng)力學(xué)模型表示為

奇異攝動(dòng)系統(tǒng)是帶有小參數(shù)ε的系統(tǒng),時(shí)標(biāo)分解法在奇異攝動(dòng)分解領(lǐng)域具有重要的作用。其原理為假設(shè)一個(gè)整體能夠分解為快變化（非主導(dǎo)因素）和慢變化（主導(dǎo)因素）的系統(tǒng)?？熳酉到y(tǒng)較于慢子系統(tǒng)的變化速率更快,達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所采用的時(shí)間也更少。引入小參數(shù)ε（0<ε <1）,令z=εz1,可將式（5）表示為[12]

式（6）即為固定翼無(wú)人機(jī)的奇異攝動(dòng)模型,其中F（x）=εF1（x）,G=εB。

1.4 快慢子系統(tǒng)分解

奇異攝動(dòng)方法能夠根據(jù)不同的時(shí)間尺度,將系統(tǒng)分解為快子系統(tǒng)與慢子系統(tǒng),對(duì)兩個(gè)降階子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)控制器以達(dá)到預(yù)期的控制目標(biāo)。

顯然可見(jiàn)常矩陣G為可逆矩陣,假設(shè)慢子系統(tǒng)的時(shí)間尺度為t,輸入為u2s（t）,則令ε=0,則由式（6）可求得降階慢子系統(tǒng):

式（8）即為慢子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

由于z1=z1s +z1f,u2=u2s +u2f,在新的時(shí)間尺度下,能夠近似認(rèn)為慢變量保持不變,即,將式（7）代入下式:

可求得快子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

綜上,式（8）、（10）構(gòu)成了固定翼無(wú)人機(jī)的快慢子系統(tǒng)分解模型,其中x為線速度與姿態(tài)角向量,z為角速度向量。

2 優(yōu)化PID 控制

2.1 傳統(tǒng)PID 控制方法

傳統(tǒng)的PID 控制方法所控制的對(duì)象通常為期望輸出u0（t） 與實(shí)際輸出y（t）的差值e（t）,即:

傳統(tǒng)PID 控制方法將e（t） 作為控制目標(biāo),通過(guò)比例（P）、積分（I）、微分（D） 3 個(gè)控制過(guò)程進(jìn)行累加,從而得到控制量u（t）,即:

然而,在固定翼模型使用傳統(tǒng)PID 控制時(shí),其對(duì)角速度等快變量的變化控制較為遲緩,調(diào)整時(shí)間過(guò)長(zhǎng),從而影響飛機(jī)舵機(jī)的調(diào)節(jié)能力,導(dǎo)致飛機(jī)穩(wěn)定性變差。

2.2 基于奇異攝動(dòng)的PID 優(yōu)化控制

本設(shè)計(jì)采用奇異攝動(dòng)時(shí)標(biāo)分解方法,將固定翼無(wú)人機(jī)的系統(tǒng)飛行控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同的回路,分別設(shè)計(jì)控制器,此方法能夠大大提高快系統(tǒng)回路的相應(yīng)速度,同時(shí)提高各回路的控制精確性,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。

圖2 基于奇異攝動(dòng)的優(yōu)化方法結(jié)構(gòu)框圖

首先,將原方程按照變化速率分解為快慢子系統(tǒng),從而針對(duì)快子系統(tǒng)z（t）與慢子系統(tǒng)x（t）采用奇異攝動(dòng)方法求得近似解xs（t） 與zf（t）。接著,根據(jù)求得的快慢系統(tǒng)近似解分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的PID 控制器,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的優(yōu)化控制。

針對(duì)式（8）所表示的慢子系統(tǒng)模型,設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的PID 控制量u1（t）:

其中,Ksp、Ksi、Ksd分別為慢子系統(tǒng)的P（比例）I（積分）D（微分）系數(shù),es（t） 為輸出誤差,us（t） 為系統(tǒng)控制量,u0s（t） 為慢系統(tǒng)輸入期望值,xs（t） 為慢子系統(tǒng)輸出。

同理,針對(duì)式（11）能夠設(shè)計(jì)快子系統(tǒng)控制量:

對(duì)式（6）設(shè)計(jì)原系統(tǒng)PID 控制方法,其中:

即可求得固定翼無(wú)人機(jī)的奇異攝動(dòng)控制優(yōu)化PID 控制模型。

3 仿真與分析

由文獻(xiàn)[11]可獲得固定翼無(wú)人機(jī)的質(zhì)量、翼展、面積等數(shù)據(jù),再由其風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)可獲得對(duì)應(yīng)固定翼無(wú)人機(jī)的氣動(dòng)力參數(shù)等數(shù)據(jù)。

本文所做的仿真實(shí)驗(yàn)在Simulink 中運(yùn)行,仿真目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)體坐標(biāo)系下x軸的線速度和角速度進(jìn)行控制,同時(shí)觀測(cè)其在三維坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡變化曲線。其中所涉及的參數(shù)及其數(shù)值如表3 所示。

表3 仿真相關(guān)參數(shù)

設(shè)置期望線速度為30 m/s,角速度為3 r/s,將參數(shù)代入式（7）可獲得具體的快慢子系統(tǒng),對(duì)快慢子系統(tǒng)分別做PID 控制器設(shè)計(jì),在保證快慢子系統(tǒng)分別得到良好的控制情況下,獲得的相應(yīng)PID 參數(shù)為

整合快慢子系統(tǒng)控制方法,分別得到快慢系統(tǒng)以及原系統(tǒng)控制率為

將式（6）在Simulink 中進(jìn)行仿真得到基于奇異攝動(dòng)法的PID 優(yōu)化模型（singularly perturbed PID control method,SP）并與傳統(tǒng)PID 控制方法（traditional PID control method,TP）進(jìn)行比較,得出的控制效果如圖3 所示。

圖3 為在固定翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)中加入TP 與SP 算法所得到的系統(tǒng)x軸線速度輸出曲線?？梢钥吹?采用SP 控制算法能夠達(dá)到與TP 控制方法近乎相同的控制效果,都能夠很快地達(dá)到穩(wěn)態(tài),并且其穩(wěn)定時(shí)間與超調(diào)量都能夠得到較為優(yōu)異的控制。此驗(yàn)證說(shuō)明對(duì)于慢子系統(tǒng)的優(yōu)化控制,基于奇異攝動(dòng)的優(yōu)化方法能夠達(dá)到與目前常用的PID 算法一樣優(yōu)異,對(duì)于角速度等快子系統(tǒng)的優(yōu)化,其控制效果更優(yōu),如圖4 所示。

圖3 兩種算法線速度效果比較

圖4（a）所示為T(mén)P 方法輸出的x軸角速度曲線,圖4（b）為SP 控制方法輸出的角速度曲線,圖4（c）為兩種方法輸出對(duì)比曲線。由圖可得,對(duì)于快變系統(tǒng)的控制,傳統(tǒng)PID 方法的跳變量較小,所需的調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),無(wú)法快速地達(dá)到期望值;這是由于奇異攝動(dòng)法未忽略快子系統(tǒng)變化,而是單獨(dú)考慮快子系統(tǒng)的控制方法而造成的。因此,經(jīng)奇異攝動(dòng)方法優(yōu)化后的PID 控制能夠在極短的時(shí)間內(nèi)完成接近期望值的階躍變化,同時(shí)能夠極大地縮小調(diào)節(jié)時(shí)間,其對(duì)于角速度等快變量的控制效果要遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)PID。為驗(yàn)證SP 優(yōu)化后的固定翼位置變化穩(wěn)定性,本實(shí)驗(yàn)設(shè)置期望以x軸線速度30 m/s,z軸線速度10 m/s爬升5 s 后保持平飛。圖5（a）為設(shè)定的仿真15 s 的固定翼速度變化軌跡,圖5（b）為固定翼三軸位置變化軌跡。

圖4 兩種算法角速度效果比較

由圖5 可以看出,固定翼無(wú)人機(jī)在爬升階段與平飛階段能夠保持較為平滑的線段,其飛行誤差在運(yùn)動(dòng)中近似接近于0。此仿真表明本優(yōu)化方法能夠較好地控制固定翼無(wú)人機(jī)的飛行速度及姿態(tài),對(duì)于位置控制也較為精確,相較于傳統(tǒng)的固定翼控制方法,其理論有效性和先進(jìn)性得到了證實(shí)。

圖5 固定翼速度及位置變化軌跡

4 結(jié)論

本文針對(duì)固定翼無(wú)人機(jī)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模,后采用奇異攝動(dòng)法和PID 控制方法設(shè)計(jì)了固定翼無(wú)人機(jī)的奇異攝動(dòng)優(yōu)化PID 方法,并與傳統(tǒng)PID 控制方法進(jìn)行對(duì)比,實(shí)現(xiàn)了對(duì)固定翼無(wú)人機(jī)線速度與角速度輸出的控制優(yōu)化。仿真結(jié)果表明,對(duì)于線速度和角度等慢變量,奇異攝動(dòng)優(yōu)化PID 方法能夠做到與傳統(tǒng)PID 相同較為優(yōu)異的控制效果;對(duì)于角速度等快變量,奇異攝動(dòng)優(yōu)化PID 方法能夠達(dá)到更快的響應(yīng)速度與更少的調(diào)節(jié)時(shí)間,其對(duì)于快變量的控制效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)PID 控制方法。對(duì)于位置于姿態(tài)變化,本文方法能夠進(jìn)行有效的跟蹤控制,同時(shí)減少控制時(shí)間,增加控制精度。