地震加速度時程在時域和頻域積分中的對比分析

徐龍輝

（廣州南粵地震工程勘察有限公司，廣州 510641）

地震加速度時程是對地震進行分析的初始數(shù)據(jù)之一，其對地震反應譜分析、地震危險性分析等都有著較為明顯的影響。因此對初始測得的地震加速度時程信號能否進行準確的分析將會有十分重大的意義。

在實際測試中，進行地震加速度信號采集的時候，往往會因為采集儀器本身以及采集環(huán)境的影響而導致采集得到的地震加速度信號，總是會含有不同程度的干擾噪聲和直流分量，這些成分雖然不至于太過影響地震加速度的時程分析，但是在積分求速度和位移時程時，因為誤差的累積，可能使得速度和位移時程的誤差較大甚至完全失真。

通常會采用時域積分或者頻域積分這2種方法來對地震加速度時程信號進行分析。

時域積分法是指對地震加速度時程信號直接進行時間上的積分。梯形積分法和辛普森積分法在現(xiàn)實中比較常用，本文采用梯形積分法進行對比分析[1]。

頻域積分則是先將地震加速度時程信號通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換為頻域信號，將信號在頻域內(nèi)進行積分后再通過逆傅里葉變換轉(zhuǎn)換為時域信號，從而得到最終的積分結(jié)果[2]。

1 研究方法

1.1 時域積分分析

測得的地震加速度時程信號其實包含了3大部分的信號：實際地震加速度信號a1（t）、干擾噪聲a2（t）和常數(shù)誤差C[3]，那么測得的地震加速度時程信號a（t）=a1（t）+a2（t）+C，那么進行一次積分后求得的速度和位移分別如下

由公式（1）和（2）可以很清楚地看出，通過加速度信號積分得到的速度信號和位移信號存在常數(shù)項和一次項的誤差，而位移信號還存在二次項的誤差，因此在不進行誤差處理的情況下，誤差會隨著積分次數(shù)的增多而不斷累加。

1.2 頻域積分分析

頻域內(nèi)積分是將加速度信號由時域轉(zhuǎn)換到頻域內(nèi)進行處理。主要是通過對加速度信號進行傅里葉變換，之后再進行積分運算，最后通過逆變換將頻域信號轉(zhuǎn)換回時域信號。

根據(jù)傅里葉變換的積分特性及其逆變換的公式，加速度信號在任一頻率的傅里葉分量可以表達為

式中：a（t）為加速度信號在頻率ω處的傅里葉分量，其中ω不為0；A為系數(shù)

則速度和位移在頻率ω處的傅里葉分量可表達為

最后根據(jù)傅里葉逆變換就能得到相應的速度和位移在時域內(nèi)的對應數(shù)值。

2 實例驗證

2.1 EL-Centro波的時域和頻域積分

對EL-Centro波（NS向，前52.72 s）分別進行時域和頻域的積分，得到速度時程和位移時程的信號圖，如圖1所示。

圖1 EL-Centro波加速度信號（NS向）

由圖2可知加速度信號在一次積分后得到的速度信號，在頻域和時域內(nèi)都保持有較好的一致性，時域有較為明顯的基線漂移現(xiàn)象，且隨著時間的推移，漂移現(xiàn)象越來越嚴重；頻域積分的初始值不為零。但是整體趨勢是與初始加速度信號相一致的。

圖2 時域和頻域內(nèi)速度積分信號

由圖3可知，時域有著非常明顯的基線漂移現(xiàn)象，使得位移積分信號完全變形；頻域積分的初始值依舊不為零。而二者與初始加速度信號的整體趨勢已經(jīng)不再保持一致。

圖3 時域和頻域內(nèi)位移積分信號

可見，由加速度通過積分得到的速度信號2種方法基本上可以“保真”，而由加速度通過二次積分得到的位移信號則較為“失真”。

因此，需要對初始加速度數(shù)據(jù)進行去趨勢項濾波處理。

在時間域積分，常用的去趨勢項處理方法主要有去均值法、去線性趨勢及去多項式趨勢[4-5]。因從加速度積分到位移，只需進行二次積分，積分后的數(shù)據(jù)至少會存在二次項的誤差，因此本文利用最小二乘法的原理，對初始加速度數(shù)據(jù)去除二次項趨勢之后再進行時域上的積分[6-7]。

在頻率域積分，對初始加速度數(shù)據(jù)進行濾波。濾波時，盡可能地濾除誤差項，對于截止頻率的選取就成了重中之重。如果截止頻率選取得不合適，那么有可能造成不必要的能量損耗，也有可能濾除的波形不夠而達不到濾波的效果。在實踐中發(fā)現(xiàn)低頻截止頻率起著關鍵性的作用，而高頻截止頻率對濾波起到的作用相當微小。同時在實踐中也發(fā)現(xiàn)低頻截止頻率設置在加速度數(shù)據(jù)開始有較為明顯的增大時的頻率更為合適，能夠有效地去除雜波，同時能量損耗也能控制得比較低[7-8]。該低頻截止頻率可以通過經(jīng)傅里葉變換后的頻譜圖分析得到。

用上述方法對時域去二次項趨勢項，對頻域高通濾波后得到圖4和圖5。

由圖4和圖5可以看出，時域的基線漂移現(xiàn)象明顯改善，但是位移積分依舊存在較大的誤差，其信號走向與初始加速度信號存在較大的形變；而頻域在改善了基線偏移現(xiàn)象的同時還能使波形與初始加速度信號的走向保持較好的一致性。

圖4 處理后的時域和頻域內(nèi)速度積分信號

圖5 處理后的時域和頻域內(nèi)位移積分信號

2.2 Northridge波的時域和頻域積分

對Northridge波（NS向，前30 s）分別進行時域和頻域的積分，得到速度時程和位移時程的信號圖，如圖6所示。

圖6 Northridge波加速度信號（NS向）

由圖7可知，加速度信號在一次積分后得到的速度信號，在頻域和時域內(nèi)都保持有較好的一致性，基線漂移現(xiàn)象不明顯。

圖7 時域和頻域內(nèi)速度積分信號

由圖8可知，時域和頻域都有著較為明顯的基線漂移現(xiàn)象，且隨著時間的推移，漂移現(xiàn)象越來越嚴重；但二者與初始加速度信號的整體趨勢保持較好的一致性。

圖8 時域和頻域內(nèi)位移積分信號

對時域去二次項趨勢項，對頻域高通濾波后得到圖9和圖10。

圖9 處理后的時域和頻域內(nèi)速度積分信號

圖10 處理后的時域和頻域內(nèi)位移積分信號

由圖9和圖10可以看出，時域基線漂移現(xiàn)象明顯改善，頻域則改善相對較?。粌烧咝盘栕呦蚺c初始加速度信號的走向都保持較好的一致性。

3 結(jié)論

通過對地震加速度時域積分和頻域積分的對比分析，再結(jié)合實例驗證，可得出以下結(jié)論。

（1）時域積分的誤差主要來源于趨勢項的積分累積，該誤差會隨著積分次數(shù)以及時間的推移而產(chǎn)生基線漂移現(xiàn)象，且積分次數(shù)越多、時間越靠后，漂移現(xiàn)象越嚴重；在進行去二次項趨勢后，積分后得到的速度信號能有較為明顯的改善，而位移信號雖然能緩解基線漂移現(xiàn)象，但是信號的整體趨勢卻與初始加速度信號可能存在較大形變。

（2）頻域積分能有效地緩解基線漂移現(xiàn)象，且其積分后的信號走向與初始加速度信號都能夠保持較好的一致性。相較于時域積分而言，頻域積分具有更強的穩(wěn)定性、準確性和適用性。

（3）頻域積分的速度和位移初始值與最終值不一定為零，此處產(chǎn)生的誤差與濾波時設置的截止頻率有關。同時，進行濾波時，發(fā)現(xiàn)低頻濾波，即高通濾波，對誤差的控制起著關鍵性的作用，因此選取合適的低頻截止頻域是頻域積分的重中之重，在實踐中也發(fā)現(xiàn)低頻截止頻率設置在加速度數(shù)據(jù)開始有較為明顯的增大時的頻率更為合適。該低頻截止頻率可以經(jīng)傅里葉變換后的頻譜圖分析得到。