傳承經(jīng)典 凸顯本質(zhì)
——2022 年新高考Ⅰ卷第21 題的探究

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、試題呈現(xiàn)

設(shè)直線l的方程為y=kx+m. 將直線l與雙曲線C聯(lián)立得: (2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0. 從而有

試題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線的斜率與直線方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,圓錐曲線中的定值,三角形的面積等知識; 在數(shù)學(xué)思想方法方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等. 綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運算求解等方面的能力,試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了解析幾何中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查. 本題對于考生運用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略以及推理論證和運算能力有較高的要求.

下面僅對問題(1)進(jìn)行解答與探究.

當(dāng)m+2k-1 = 0,即m= 1-2k時,直線l的方程為y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此時直線l過點A(2,1),不符合題意,故m+2k-1?=0. 所以k+1=0,即k=-1. 所以直線l的斜率為-1.

評注 本解法通過聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用韋達(dá)理及直線斜率的定義進(jìn)行求解. 運算量雖不小,但方法是解析幾何中的常用方法,這種通性通法在數(shù)學(xué)解題中有重要作用.所以在平時的教學(xué)中要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法),要重視知識的生成過程,盡量創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生探究知識,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

二、解法探究

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 由題設(shè)可知直線l的斜率存在,

評注 本解法采用齊次化的解法,代數(shù)變形較為簡單,運算量較少,解題過程更為簡潔. 齊次化法在解決兩直線斜率之和(積)相關(guān)的定值定點問題中常能達(dá)到化繁為簡、舉重若輕的效果.

三、問題的提出

解答完試題的問題(1)后,思考:

問題1 在試題的問題(1)中,若將點A(2,1)改為其它點,則直線l的斜率為多少?

問題2 在試題的問題(1) 中, 若將點A(2,1) 改為A(x0,y0)(y0?= 0), 并將雙曲線一般化, 則直線l的斜率為多少?

問題4 在問題2 或問題3 中,若將雙曲線改為橢圓或拋物線,又有什么結(jié)論?

四、試題的背景探析

要回答上述問題,可以從試題的命題背景進(jìn)行分析.

引理1 若兩條直線與二次曲線Γ :ax2+by2+cx+dy+e= 0(a ?=b)有四個交點,則這四個交點共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù).

引理1 的證明請查閱文獻(xiàn)[2].

推論A,B,C是圓錐曲線上的三點,且點A處的切線斜率為k,則直線AB,AC的斜率之和為0 的充要條件是直線BC的斜率為-k.

證明 必要性: 設(shè)A,B,C,D是圓錐曲線上順序的四點,若kAB+kCD=0,由引理1,可知A,B,C,D四點共圓,且kAD+kBC= 0. 當(dāng)A,B,C,D四點退化為三點A,B,C,即點A與點D重合時, 則kAD是點A處的切線斜率, 即kAD=k. 此時,k+kBC=0,即kBC=-k.

可見,試題的問題(1)是以兩個引理及推論為背景命制的.

五、試題的推廣

六、追本溯源

七、結(jié)束語

1. 要關(guān)注高考的熱點. 解析幾何中的定點、定值問題是高考的高頻考點,?？汲Ｐ? 如今年考查直線的斜率為定值;2021 年新高考Ⅰ卷的第21 題考查兩直線斜率之和為定值;2020 年新高考Ⅰ卷(山東卷)第22 題考查直線過定點及求定值. 因此要重視熱點問題的復(fù)習(xí),注意題型與解法的歸納分類,并通過有效的訓(xùn)練去掌握與提高.

2. 要重視高考試題的解讀. 高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考量,是知識、能力和思想方法的載體,具有典型性、示范性和權(quán)威性. 高考試題除了具有測試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究是重要的路徑. 所以在復(fù)習(xí)中,要加強高考題的滲透,通過高考真題的訓(xùn)練體會命題思想,善于作解后反思,方法的歸類,并對試題進(jìn)行挖掘、拓展、引申,擴大高考題的輻射面,從而實現(xiàn)高考試題功能的最大化、最優(yōu)化.