球內接n 棱錐體積之最值問題研究與教學啟示

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 陳偉連

外接球問題是高考的高頻考點,僅近三年的全國卷就一共考查了4 次. 為突破該考點,通常將其作為一個專題進行復習,而2022 年新高考Ⅰ卷第8 題就屬于該專題的范疇. 本文對本道題進行分析,并給出該題的多種解法. 接著對本題條件進行特殊化變式探究和一般化變式推廣,研究球的內接棱錐體積何時取得最大值和最小值. 最后,根據(jù)對本題的研究提出一些教學啟示,為一線教師和高三學生備考提供一些思路和幫助.

1 試題呈現(xiàn)

2 試題剖析

本題以正四棱錐的外接球為載體,考查了球心到截面距離的勾股關系、余弦定理、三角函數(shù)、四棱錐的體積、球的體積、三次函數(shù)的最值等基礎知識. 能力素養(yǎng)層面主要考查了空間想象、邏輯推理和數(shù)學運算能力,體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸的思想方法. 試題的設置簡潔明了,但跨度較大,要求學生有較強的問題分析能力和扎實的數(shù)學基礎. 此外,本題解法多樣,學生能夠從不同的角度入手,可以較好地檢驗學生對基礎知識和基本思想方法的綜合運用能力,具有較高的區(qū)分度.

本題的解題思路主要分為四步: ①求出球的半徑,明確球內接正四棱錐中的三個直角三角形: RtΔPAO′,RtΔOAO′,RtΔAO′B和等腰ΔPOA(如圖1); ②用字母表示相關的邊長和角度,構造正四棱錐體積的表達式; ③尋找各字母之間的數(shù)量關系,將多元降為一元; ④換元,并利用導數(shù)求正四棱錐體積的最小值和最大值.

圖1

圖2

圖3

3 試題解答

3.1 設邊法

解法二 (以側棱長的平方為變元) 根據(jù)題意易求球的半徑為R= 3. 設正四棱錐的高為h,底面邊長為a(如圖4),于是根據(jù)勾股定理可構建如下方程組:

圖4

3.2 設角法

4 試題推廣

評注 變式1 將四棱錐改為三棱錐,保持球的半徑不變.根據(jù)求解過程可知,正三棱錐體積取得最值時的側棱長與正四棱錐體積取得最值時的側棱長相等. 于是提出猜想: 球內接正n棱錐的體積取得最值時的側棱長只與球的半徑有關,與n的值無關. 接下來將條件一般化進行推廣探究,探究其中蘊含的本質知識.

圖5

5 教學啟示

5.1 采取“微專題”復習,實現(xiàn)考點突破

“微專題”復習是指圍繞復習的重點和關鍵點設計的、利用具有緊密相關性的知識或方法形成的專項研究,或者結合學生的疑點和易錯點整合的、能夠在短時間內專門解決的問題集[1]. 這種復習方法比較靈活,可以基于試卷評講拓展,和大專題復習相結合,有利于促進學生對數(shù)學概念與原理的理解. 例如,評講本道題時便可以采取“微專題”復習法,通過設置問題串,發(fā)揮學生的主體性,引導學生從特殊到一般進行主動探究,發(fā)現(xiàn)正n棱錐的體積取得最值時側棱的長度與球半徑的關系,突破該考點.

5.2 一題多解發(fā)散思維,多題一解總結方法

一題多解有利于加深對知識的理解,滲透數(shù)學思想方法,有利于提高思維能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識,有利于調動學習興趣,培養(yǎng)主動探究的精神[3]. 對本道題進行一題多解解題教學,有利于學生重溫球內的勾股定理、余弦定理和棱錐的體積公式等基本知識,更重要的是看到了知識的內在聯(lián)系,從整體上把握解決求球的內接正棱錐體積最值的一些基本方法,促進認知結構的完善. 但是一題多解之后,應引導學生對各種解法的思維過程進行再認識,對其進行分析、比較和概括,提煉出典型的和可遷移的解題方法. 而多題一解旨在找到求體積最值的通性通法,做到舉一反三[3],如解法二便是解該類題的通法.

5.3 注重變式探究,把握數(shù)學本質

鮑建生等學者認為,變式教學是有效教學的中國式經(jīng)驗,這是一種有意義的學習[4]. 其中,過程式變式教學策略——鋪墊,和腳手架功能類似. 在對本題進行教學時,可以參考試題推廣的研究過程,從正四棱錐到特殊化變式為正三棱錐,再一般化推廣到正n棱錐,最后推廣到普通四棱錐. 通過轉化用變式2 的結論解決變式3 的問題,經(jīng)過層層鋪墊,引導學生認識球內接n棱錐體積何時取到最大值的本質.

5.4 滲透模型思想,體會數(shù)學概括之美

弗賴登塔爾認為,學數(shù)學就是學數(shù)學化,教數(shù)學就是教數(shù)學化. 何小亞教授認為數(shù)學具有精確、嚴謹、簡潔、概括和統(tǒng)一的特點. 其中, 最精彩的是概括性, 即能夠以一個有限的模式駕馭無窮的具體[5].《義務課程標準(2022 年版)》和《普通高中課程標準(2020 年修訂)》都分別將模型意識、模型觀念和數(shù)學建模作為數(shù)學核心素養(yǎng),可見模型思想的重要性[6-7]. 他們都屬于數(shù)學化的范疇,其中垂直數(shù)學化指從現(xiàn)有的數(shù)學世界中抽象概括出更高級的數(shù)學模式的過程,是從低層數(shù)學到高層數(shù)學的過程[8]. 例如在本題的解題教學中就可以在一般化推廣后滲透模型化思想,引導學生體會數(shù)學的概括之美.